Теорема ЧЕВЫ МЕНЕЛАЯ Задача 1. На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD взяты точки X, Y, Z, K соответственно таким образом, что XZ || BC || AD и YK || AB || CD. Прямые XZ и YK пересекаются в точке P, а прямые BZ и DY — в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой. Решение. Отметим на отрезках AD и AB точки E и F B Y C соответственно так, что QE || AB и QF || AD. Тогда по G теореме Фалеса AE/ED = BQ/QZ и KE/ED = YQ/QD. Вычитая, P X получим Z A AK/ED = BQ/QZ– YQ/QD, откуда D K AK/AE = (AK/ED)(ED/AE) = 1–(YQ/QD)(QZ/BQ). Аналогично, AX/AF = 1–(YQ/QD)(QZ/BQ). Итак, AK/AE = AX/AF, откуда и следует утверждение задачи. 1. Второй способ. 2. Применим теорему Минелая B c У e C 3. к ∆КYD. Пусть АХ = а, ХВ = в, ВY = c, YC = e. b Х C1 a Z A K B c У e Найдем отношение 𝐺𝐷. 5. 1 способ. Дополнительное построение: УС1 ║BZ ║DD1 𝐶1𝑍 𝑐 = , 𝐶𝐶1 𝑒 D C C1 a Z A K D C1Z + CC1 = b → C1Z = 𝐵𝐶 . 𝑐+𝑒 𝑌𝐺 𝐺𝐷 = 𝐶1𝑍 𝑍𝐷 = 𝐵𝐶 𝐴(𝐶+𝐸) 6. 2 способ. Применим теорему Минелая 7. к ∆YDС, найдем 𝐺𝐷 = 𝐴(𝐶+𝐸) 8. ∆КYD 9. 𝐾𝑃 𝑌𝐺 𝐷𝐴 • 𝑃𝑌 𝐺𝐷 𝐴𝐾 b Х 𝑌𝐺 4. 𝑌𝐺 = 𝑎 𝑏 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑐+𝑒 𝐴(𝐶+𝐸) 𝑐 = 1, значит по теореме, обратной теореме Менелая имеем, что точки А, Р, G лежат на одной прямой. Медиана ВD и биссектриса АЕ треугольника АВС пересекаются в точке К. Прямая СК пересекает сторону АВ в точке Р. Найдите длину отрезка АР, если АВ = с и АС = b.
