Document 5027057

n
m
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ
названа по имени древнегреческого учёного
Менелая (I в.), доказавшего её для сферического
треугольника
Пусть М; Р; К – три точки, лежащие
соответственно на сторонах СА; АВ и ВС
треугольника АВС или на их
продолжениях. Точки М; Р; К тогда и
только тогда лежат на одной прямой, если
А
АР ВК СМ
 
1
РВ КС МА
М
Р
К
В
С
Доказательство необходимого условия
А
Д
М
О
Р
Е
К
В
С
СД  ДК , АО  ДК, ВЕ  ДК
РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО ГОТОВОМУ ЧЕРТЕЖУ № 2
В
а
М
в
N
а
в
А
К
В каком отношении точка К делит основание треугольника?
С
Самостоятельная работа
1 вариант
2 вариант
На сторонах АВ и АС
В треугольнике АВС
треугольника АВС даны
биссектриса АД делит
соответственно точки
ВС в отношении 2:1.
СN 1


М и N так, что АМ
В каком отношении
МВ NA 2
В каком отношении точка медиана СЕ делит эту
S – пересечения отрезков биссектрису?
ВN и СМ делит каждый
из этих отрезков?
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1-го ВАРИАНТА
В
2а
М
S
а
А
2в
N
К треугольнику АВN применим теорему Менелая.
Получим: 1 BS 1

 1
2 SN 3
BS 6

SN 1
К треугольнику АМС применим теорему Менелая.
Получим:
MS 1 3
MS 4
  1

SC 2 2
SC 3
в
С
AM BS NC


1
MB SN CA
MS CN AB


1
SC NA BM
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2-го ВАРИАНТА
В
2а
Е
Д
а
С
А
К треугольнику АВД применим теорему Менелая.
Получим:
ДО : ОА =1 :3
АЕ ВС ДО


1
ЕВ СД ОА
1 3 ДО
 
1
1 1 ОА
ЗАДАЧА № 3
Р
В
М
а
а
С
ВД
К К
К
А
Д
АМ  К
ЗАДАЧА: В треугольнике АВС отрезки
АД и ВМ, проведённые из вершин А
и В соответственно к сторонам ВС и
АС, пересекаясь в точке Р, делятся в
отношении АР:РД=3:2 и ВР:РМ=4:5. В
каком отношении точки Д и М делят
стороны треугольника, считая от С?
В
4р
Д
Р
2к
3к
5р
А
С
М