Исследовательская работа Автор: Курдюкова Екатерина Ученица 10 «Т»класса СОШ № 30 Руководитель: Курдюкова Т. М. Учитель математики Цель: Доказав теоремы Менелая и Чевы, исследовать их применение при решении задач. Задачи: Показать применение теорем Менелая и Чевы при решении различных видов задач. Сравнить решения задач с использованием теорем Менелая и Чевы и традиционные решения. Теорема Менелая C B1 BA1 CB1 AC1 1 A1C B1 A C1 B A1 C1 A B Теорема Чевы C BA1 CB1 AC1 1 A1C B1 A C1 B A1 B1 O A C1 B В работе представлены задачи на… Нахождение отношения отрезков. Нахождение площадей треугольников. Доказательство принадлежности точек одной прямой. Доказательство пересечения прямых в одной точке. Применение теоремы Менелая Отношение отрезков. Если на чертеже имеются элементы теоремы Менелая. Если нужно доказать, что какие – либо три точки лежат на одной прямой. На сторонах AB и AC ∆ABC взяты точки M и N так, что AM/MB=CN/NA=2. Отрезки BN и CM пересекаются в точке K. Найдите отношение отрезков BK/KN. C 1. BD || AC. N K A 2. ∆DKB ~∆CKN, BK:KN =BD:CN. M B D BK NC AM 1 KN CA MB NC 2 CA 3 AM 2 MB 3. ∆BMD ~∆AMC, BD:AC = BM:AM. 4. BM:AM = 1:2, 1 2 BD AC 5. CN AC 2 3 BK 3 Ответ: BN 4 Применение теоремы Чевы Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Медианы треугольника пересекаются в АА1 и ВВ1 медианы, пересекаются одной точке. в точке О. АОВ и∆ А1ОВ1подобны. С А1В1 - средняя линия, k= АВ : А1В1= 2, А1 В1 АО =2А1О ВО =2В1О т. О делит медианы АА1 и ВВ1 в О отношении 2 : 1 начиная от В А вершины. т.О делит медианы СС1 и ВВ1 в ÀÑ1 ÂÀ1 ÑÂ1 отношении 2 : 1 начиная от 1 Ñ1 Â À1Ñ Â1Ñ вершины. АА1 , ВВ1, СС1пересекаются в ÂÀ1 ÀÑ1 ÑÂ1 1 1; 1; одной точке. À1Ñ Ñ1 Â Â1Ñ ∆ Выводы: Применение теорем полезно когда необходимо «выяснить отношения» между точками и прямыми. Позволяют добиться более простых решений. Дополнительные возможности при изучении геометрии. Список литературы: Атанасян Л.С. «Геометрии 7-9кл» Кокейтер Г. С. М. и Грейтцер С. Л. «Новые встречи с геометрией» Прасолов В.В. «Задачи по планиметрии» Интернет ресурсы