Нелинейный осциллятор

Министерство образования и науки
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского»
факультет вычислительной математики и кибернетики
Курсовая работа
«Математические модели нелинейных
квадратичных осцилляторов»
Выполнил:
студент группы 83-10
Сериков Евгений Владимирович
Руководитель:
Кадина Елена Юрьевна.
Нижний Новгород 2011г.
Оглавление
Введение ........................................................................................................................ 3
Осциллятор с квадратичной нелинейностью ............................................................ 4
Нелинейный осциллятор: фазовый портрет .............................................................. 4
Построение фазового портрета консервативного нелинейного осциллятора ... 5
Литература ................................................................................................................. 15
Введение
Осциллятор (от лат. oscillo — качаюсь), физическая система, совершающая колебания.
Термином осциллятор пользуются для любой системы, если описывающие её
величины периодически меняются со временем.
Классический осциллятор — механическая система, совершающая колебания около
положения устойчивого равновесия.
Колебания осциллятора есть важный пример периодического движения и служат
точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой
физики. В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный,
физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и
напряжений настолько малых, что можно было бы элементы контура считать
линейными). Кроме этого осцилляторы применяются
для моделирования процессов
происходящих в оптике и квантовой физике.
Существуют два способа рассмотрения осцилляторов:
Консервативный случай - это случай, при котором в системе отсутствуют
диссипативные силы (вязкое трение). Диссипативным (затухающим) осциллятором
принято
называть
систему,
в
которой
присутствует
диссипативная
сила,
пропорциональная скорости движения (вязкое трение). В данной работе будет
рассматриваться только консервативный случай.
Рассмотрим уравнение консервативного осциллятора:
ẍ +f x = 0
Рассматривать всю функцию f x часто не целесообразно. Например, рассмотрим
аппарат для балансировки колес. Вращая колесо мы можем узнать всю функцию
f x она скорее всего получится сложной и рассматривать всю функцию займет много
4
времени, но при балансировке колес нам интересны те места где происходят биения
колеса. Поэтому мы можем разложить эту функцию в ряд Тейлора и взять от
разложения несколько членов.
Мы в праве выбрать начало координат, пусть оно расположено там, где
f x обращается в 0, а потенциал V x = ∫ f x dx имеет минимум.
Разложим функцию f x в ряд Тейлора.
f x = V' x = f ' 0 x
1 ''
1 '''
f 0 x2
f 0 x 3 ...
2
6
Если учесть в разложении только первый член, приходим к уравнению линейного
гармонического осциллятора
.
ẍ
f ' 0 x= 0
Как известно, это универсальная модель для описания в линейном приближении
консервативных колебаний малой амплитуды вблизи потенциального минимума.
При учете в разложении Тейлора двух членов получаем уравнение осциллятора
с квадратичной нелинейностью
.
ẍ
f' 0 x
1 ''
f 0 x 2= 0
2
Потенциальная функция которого содержит члены второй и третьей степени:
5
V x=
1 '
1 ''
f 0 x2
f 0 x3
2
3
Ясно, что осциллятор с квадратичной нелинейностью — это универсальная модель,
применимая для описания консервативных колебаний в такой ситуации, когда
амплитуда колебаний в потенциальной яме не столь мала, чтобы можно было
ограничиться линейным приближением в разложении функции f x , но и не столь
велика, чтобы стали существенными последующие члены разложения Тейлора. В
таких случаях мы будем говорить о слабой нелинейности.
Рассмотренная
модель,
однако,
заведомо
непригодна
в
одном
широко
распространенном случае, когда потенциал симметричный. Если V − x = V x
и,
соответственно, f − x = − f x , то коэффициент α обращается в нуль. Поэтому для
учета влияния нелинейных эффектов необходимо принять во внимание следующий,
кубический
член. Мы приходим к другой универсальной модели, осциллятору с кубической
нелинейностью
. Осциллятор с кубической нелинейностью называют также осциллятором Дуффинга.
6
Оптимизация нахождения решений
Рассмотрим осциллятор с квадратичной нелинейностью, но рассматривать будем около
'
''
точки в которой f x = 0 и f 0 = V 0 0 эти условия мы сможем задать, рассматривая
'
конкретную f x и перемещения начала координат. Так как f 0 0 можно обозначить
за
α
2
. Получаем формулу:
ẍ α2 x βx= 0
Пусть для определенности нас интересует вопрос о поведении решений, отвечающих
запуску в начальный момент t= 0 из заданной точки
с нулевой
x0
скоростью.
Глядя на уравнение осциллятора, можно было бы думать, что для получения
исчерпывающего
представления о динамике, например, с привлечением компьютера, потребуется
исследовать зависимость решений от трех параметров
α
2
,
β
,
x0
, т.е. провести весьма
громоздкое исследование с кропотливым перебором огромного числа вариантов.
Оказывается, можно радикально упростить как само исследование, так и последующий
анализ полученных данных, если использовать простой, но чрезвычайно эффективный
и общий прием, о котором принято говорить как о приведении уравнений к
безразмерному виду.
Введем новые переменные, X и τ , которые отличаются от присутствующих в
условии переменных координаты и времени только масштабом:
7
x= AX
, t= Bτ
где A и
- пока неопределенные постоянные. Подстановка в уравнение осциллятора
B
тогда дает
:
2
A d x 2
τ A α2 X
2
d
B
A2 βX 2= 0
или если поделить на
d2 x 2
τ B2 α 2 X
d
A
B2
, то получим
AB2 βX 2= 0
Теперь подберем постоянные A и B так, чтобы по возможности сделать
присутствующие в уравнении коэффициенты равными единице. Поскольку в нашем
конкретном
случае этих постоянных две, можно наложить два условия, а именно
:
B 2 α2 = 1 , AB 2 β= 1
Отсюда находим
:
B=
1
α
α2
A=
,
β
Окончательно можно переписать уравнение с начальными условиями в виде
:
2
d X
2
dτ
X
2
X =0
8
Новая постановка задачи содержит всего лишь один безразмерный параметр
X 0= x 0 β /α2
, представляющий собой комбинацию, составленную из параметров
исходной задачи. Теперь достаточно исследовать поведение решения уравнения
осциллятора в
зависимости от этого единственного параметра. Если имеем две системы,
характеризуемые разными значениями параметров α ,
β , x0
, но одинаковым X 0 , то их
динами
ка будет подобной в том смысле, что все величины, относящиеся к одной системе,
можно получить из величин, относящихся к другой, надлежащим пересчетом
масштаба. Параметр
X0,
следовательно, является для нашей задачи критерием
подобия.
Эта идея служит основой физического моделирования. Для того, чтобы выяснить
детали поведения системы, описываемой определенными уравнениями, но сложной,
дорогой или недоступной для прямого экспериментирования, мы можем провести
исследование специально изготовленной модели, отличающейся, например, размерами,
весом, использованными материалами, и т.д. Если критерии подобия для системы и
модели совпадают, то должны соответствовать и детали динамики.
Причем, моделируя процессы, мы можем компенсировать невозможность изменения
одних параметров за счет других. Например: моделируя процесс движения вагона по
рельсам мы легко сможем уменьшить размер вагона, размер рельсов в соответствии с
масштабом модели, но нам сложно будет изменить силу притяжения
g
, но это легко
компенсируется, например, за счет изменения скорости движения. И, если критерии
подобия для системы и
9
модели совпадают, то должны соответствовать и детали динамики.
10
Фазовый портрет
Построим фазовый портрет осциллятора с квадратичной нелинейностью
:
ẍ x x 2 = 0
График зависимости силы от смещения имеет вид параболы, а график потенциальной
1 2 1 3
функции V x = 2 x 3 x – вид кубической параболы
. В начале координат имеется локальный минимум функции V x , где будет
располагаться особая точка типа центр. При x= − 1 потенциальная функция имеет
максимум, и здесь находится особая точка седло
. Сепаратриса делит фазовую плоскость на три области. Соответственно, имеется
три разных топологических типа траекторий.
1) Замкнутые траектории, располагающиеся внутри образованной сепаратрисой
петли, охватывающей центр. Они соответствуют финитным движениям – колебаниям
вблизи локального минимума потенциала
2) Незамкнутые траектории, расположенные слева от сепаратрисы. Они отвечают
движениям по левому склону потенциального рельефа с уходом на минус
бесконечность.
3) Незамкнутые траектории, расположенные справа от сепаратрисы. Им соответствуют
движения, которые захватывают, как левый склон потенциального рельефа, так и
11
область ямы, но энергия слишком велика, чтобы произошел заход в области минимума
потенциала. Возможен также уход на
минус бесконечность.
Если умножить обе
части уравнения на ẋ , то можно один раз проинтегрировать полученное выражение и
получить первый интеграл (интеграл энергии)
.
ẋ 2
V x=E
2
Где
E
- полная энергия. Понятно, что физический смысл имеют только
движения внутри потенциальной ямы. Им соответствуют значения 0 E 1/6 .
Выражая ẋ из и разделяя переменные, получаем
:
dt= ±
dx
2 E− V x
12
Подкоренное выражение в правой части представляет собой полином который может
иметь три решения, обозначим как
x0
,
x1
и
x2
области x 1 ≤ x ≤ x 0 .
13
, причем колебания происходят в
14
2
3
При нашем начальном условии E= x 0 x0 .
Тогда легко выражаются
x 1,2=
− 2x0 3 ±
x 1, x 2
через
x0
.
2x0 3 2 — 8x 0 2x 0 3
4
И подставив и преобразовав получим:
dt= ±
3
dx
2 x 0− x x− x 1 x− x 2
Сделаем замену:
x t = x 1 a cos 2 φ t
Где a= x 0 − x 1 . При изменении
φ
π
от 0 до 2 переменная x изменяется от
Нетрудно подсчитать, что
:
x 0 − x = a sin 2 φ
,
x − x 1= a cos 2 φ ,
x − x 2 = x 0 − x 2 − asin 2 φ
,
dx= −a sin 2φdφ .
С учетом этих соотношений получаем:
15
x0
до
x1
.
dt= ±
x−x
6
dφ
m2 = 0 1
x 0 — x 2 1− m2 sin 2 φ , где
x0 − x 2
2
Очевидно, что всегда выполняется условие 0 ≤ m ≤ 1 .
16
Математическое отступление: Эллиптические интегралы
и эллиптические функции Якоби
Функция
z
F z;m =∫
0
dτ
2 2
1−τ 1−m τ
2
или
φ
F z;m =∫
0
dψ
1− m2 sin 2 ψ
называется неполным эллиптическим интегралом 1-го рода с модулем m . Переход от
2
первого ко второму осуществляется при помощи замены z= sin φ , τ = sin ψ . При 0 ≤ m ≤ 1
π
, 0 ≤ φ ≤ 2 функция F является вещественной. В дальнейшем будем предполагать эти
условия выполненными.
Функция
1
π/ 2
π
dτ
dψ
K m =F
;m = ∫
=∫
2
2 2
2
2
2
1− m τ
0 1− τ
0 1− m sin ψ
называется полным эллиптическим интегралом 1-го рода. График функции K m
приведен
ниже:
17
Нетрудно заметить, что K 0 = π /2 , lim K m→1 m = ∞ .
Пусть мы имеем соотношение
F φ ;m = t
Функция, обратная F φ ;m называется амплитудой Якоби
φ= am t ; m .
Остальные функции Якоби определяются следующим образом:
sn t ; m = sin am t ;m
- эллиптический синус или синус амплитуды.
cn t ; m = cosam t ;m - эллиптический косинус или косинус амплитуды;
dn t ; m = 1 − m2 sn 2 t ;m
- дельта амплитуды.
Важно отметить, что в двух частных случаях эллиптические функции выражаются
через элементарные.
При
:
m= 0
имеем
18
sn t ;0 = sin t , cn t ; 0 = cost , dn t ; 0 = 1 .
В другом предельном случае
:
sn t ;1 = th t
m= 1
имеем
1
, cn t ; 1 = dn t ;1 = ch 2 t
2
При 0 ≤ m ≤ 1 эллиптические функции Якоби периодичны с периодом 4 K m . Поэтому
удобно
построить их графики как функции аргумента u= t / K m .
19
Литература
1) Андронов А. А.,Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, [3 изд.], М., 1981;
2) Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959;
3) Уизем Д ж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977;
4) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М.,
1984. А. Н. Басович;
5) Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.
Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
20