28 - Sanish1.ru

Задача № 28.
Квантовый гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите
вероятность P обнаружения частицы в области a  x  a , где a - амплитуда
классических колебаний.
Решение:
Квантовый гармонический осциллятор представляет собой частицу, находящуюся в
потенциальном поле вида:
U ( x) 
kx 2 m02 x 2

2
2
(1)
График потенциальной энергии изображён на рисунке 1:
Рисунок 1
В этом случае составляют уравнение Шредингера:
m02 x 2 
 2 2m 

E

  0
2 
x 2
2


(2)
Это дифференциальное уравнение имеет решение только при дискретных значениях E .
Таким образом, энергия квантового гармонического осциллятора квантуется и может
принимать следующие значения:
1

Ev   v   0 , v  0,1, 2,...
2

(3)
В основном состоянии квантовое число v  0 , поэтому энергия квантового
гармонического осциллятора в основном состоянии равна:
E0 
0
2
(4)
Определим амплитуду классических колебаний:
0
2

m02 a 2
a
2
m0
(5)
Решения дифференциального уравнения (4) имеют вид:
2
 v ( )  e 2 H v ( )
(6)
где H v ( ) - полиномы Чебышева-Эрмита, которые определяются следующим образом:
d v e 
H v ( ) 
e
d v
2v v ! 
(1)v
где  
 0 ( x) 
2
2
(7)
x
. Для основного состояния v  0 , имеем пси-функцию:
,a 
a
m0
 x2 
exp   2 
 2a 
a 
1
(8)
Квадрат модуля пси-функции определяет плотность вероятности нахождения частицы:
0 ( x)   0 
2
 x2 
exp   2 
a 
 a 
1
(9)
Чтобы найти вероятность нахождения частицы в области a  x  a нужно
проинтегрировать (9) по пределам области:
P
 x2 
exp
   a2  dx  0.8427  84.27%
a  a
1
a
Ответ:
P  0.8427  84.27% .
(10)