обратные_тригонометрические_функции

Общеобразовательная гимназия №18
Соловей Б. Г., Федотова Т.И.
Обратные тригонометрические функции
Компьютерный набор и верстка:
Чудаков А. В.
г.КОРОЛЕВ МО
2000
1
Раздаточный материал №3 по теме:
“Обратные тригонометрические функции”
Содержание
Стр
.
§1 Простейшие тригонометрические уравнения…………………...
2
§2 Определение обратных тригонометрических функций………...
4
§3 Некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями………………………………………………….
12
§4 Производные обратных тригонометрических функций………
18
Контрольные вопросы …………………………………………..
21
Примеры и упражнения …………………………………………..
22
Ответы и указания…………………………………………………
33
Литература…………………………………………………………
37
2
§1. Простейшие тригонометрические уравнения
При решении простейших тригонометрических уравнений для нахождения неизвестных углов используются понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Напомним решения простейших тригонометрических
уравнений:
(1)
если sinx = a , то x = (-1)k arcsin a + π k;
(2)
если cosx = a , то x = ±arccos a + 2π k;
(3)
если tgx = a , то x = arctg a + π k;
(4)
если ctgx = a , то x = arcctg a + π k, k  Z.
Формулы (3) и (4) особых трудностей при использовании не вызывают,
так как тригонометрические функции y=tgx и y=ctgx в своих областях определений монотонны (то есть имеют один характер изменения функции: тангенс
возрастает, а котангенс убывает). По этой причине в пределах своего наимень  
;  и для котангенса 0;   ), эти
 2 2
шего периода, равного π (для тангенса  
функции принимают все свои значения по одному разу.
Формулы (1) и (2) представляют собой объединения двух решений: для
четного и нечетного k в формуле (1) и для разных знаков плюс и минус в формуле (2). Объединения двух решений сделаны для удобства при получении сразу всех решений; однако, при этом надо иметь ввиду, что в пределах наименьшего периода для функций y=sinx и y=cosx, равного 2π, есть частные значения
функций, равные ±1, которым соответствуют по одному значению аргумента.
Так, например, если sinx=1, то x=π/2 + 2πn, n  Z; если sinx=-1, то x=3π/2 + 2πp,
p  Z; если cosx=1, то x=2πm, m  Z; если cosx=-1, то x=π + 2π k, k  Z.
В дополнение к формулам (1)(4) удобно использовать еще одну обобщенную формулу для любых тригонометрических функций, если они встречаются в простейших тригонометрических уравнениях во второй степени. Пусть
f 2 (x)=а, где f(x) – любая тригонометрическая функция; тогда:
(5) x   arc f ( a )  k , k  Z .
3
Например, пусть tg 2x=3, тогда x   arctg 3  n, n  Z ; x  

3
 n.
Справедливость формулы (5) можно подтвердить для каждой тригонометрической функции непосредственно, учитывая, что
(6)
f 2 ( x)  f ( x) .
О наличии формулы (5) можно догадаться и из общих соображений: во-первых,
наименьший период для четных функций |sinx|, |cosx|, |tgx| и |ctgx| равен  (аргумент меняется от -/2 до /2); во-вторых, раскрытие модуля в соотношении
(6) предполагает два решения с разными знаками.
При использовании формулы (5) надо, конечно, иметь ввиду, что из соотношения f2(x)=0 следует f(x)=0 и далее используются формулы (1)(4). Например, пусть ctg2x=0, тогда ctgx=0 и x=π/2+πk, kZ, а не x=π/2+πk (если использовать механически формулу (5)). В последнем выражении одни и те же углы
по сути перечисляются дважды. Если 2(x)=1, где (x) – синус или косинус, то
(x)=1 и надо учитывать, что частные значения, равные 1, для синуса и косинуса встречаются в пределах наименьшего периода этих функций, равного 2,
по одному разу. Например, пусть sin2x=1, тогда sinx=1 и имеем два решения:
x1=π/2+2πm, mZ; и x2=3π/2+2πp, pZ. Эти решения можно объединить, что
дает x=π/2+πn, nZ, а не x=π/2+πn, что опять-таки перечисляет каждый угол
дважды. В случае, если cos2x=1, то cosx=1, что дает два решения: x1=2πk, kZ;
и x2=π+2πp, pZ; которые можно объединить: x=πm, mZ. Использование
формулы (5) дает совпадающий результат, но это возникает по той причине,
что слагаемое arccos1 равно нулю и в ответе, естественно, опускается.
4
§2. Определение обратных тригонометрических функций
Вспомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, рассматривая их как функции, называемые обратными тригонометрическими. Итак, арксинусом числа а называется такое число b из отрезка [-/2;
/2], синус которого равен а, то есть:
(7)
arcsin a=b,
(8)
где b  [-/2; /2],
(9)
причем sin b=a,
и a  [-1; 1].
(10)
Будем считать переменное число а из отрезка [-1; 1] независимым переменным (аргументом) и обозначим его, как обычно, через х. В свою очередь,
переменное число b из отрезка [-/2; /2] будем считать зависимым переменным (то есть функцией) и обозначим его, как обычно, через y. Таким образом,
имеем функциональную зависимость:
(11)
y=arcsinx,
(12)
где D(f): x  [-1; 1],
(13)
а E(f): y  [-/2; /2].
График функции y=arcsinx изображен на рис. 1 сплошной линией. Область определения этой функции составляет промежуток [-1; 1] (формула (12)),
а множество значений ограничивается промежутком [-/2; /2] (формула (13)).
Из формулы (11), согласно определению арксинуса (формулы (7) и (9)), следует, что
(14)
x=siny.
Если в формуле (14) x и y поменять ролями (то есть поменять оси координат),
то получим известную тригонометрическую функцию y=sinx с привычными
обозначениями для функции и аргумента. На рис. 1 эта функция изображена
пунктирной линией на выбранном промежутке из области определения, равном
5
[-/2;/2], где она монотонна (возрастает). Множество значений этой функции
обычно и составляет промежуток [-1; 1].
Рис. 1
Тригонометрическую функцию y=sinx будем считать прямой функцией, а
функцию y=arcsinx – ей обратной тригонометрической. Прямая и обратная ей
функции симметричны относительно прямой y=x (биссектриса первого и третьего координатных углов). Отмечаемая симметрия естественно возникает, когда
в выражении (14) x=siny меняем ролями переменные х и у. При этом множество
значений прямой функции становится областью определения обратной ей
функции, а промежуток монотонности из области определения прямой функции служит множеством значений обратной функции. Важно отметить, что характер монотонности обеих функций – прямой y=sinx и ей обратной y=arcsinx –
остается один и тот же: обе функции возрастающие.
Если рассматривать функцию y=sinx во всей ее области определения, то
обратная ей функция в силу периодичности прямой функции будет многозначна
и
обозначается
в
этом
случае
как
y  Arc sin x ;
Arc sin x   1 arcsin x  n, n  z . Но поскольку мы ограничиваемся изучением
n
однозначных функций, то рассматриваем функцию y=arcsinx как главное зна6
чение функции y=Arcsinx (при этом в вышеприведенном соотношении n=0) и
считаем, что ее множество значений ограничено промежутком [-/2; /2], который мы получаем, рассматривая прямую функцию y=sinx на участке, где она
монотонна. Из определения обратной тригонометрической функции y=arcsinx
следует, что:
(15)
sin (arcsinx) = x, |x|  1;
(16)
arcsin (sinx) = x, |x|  /2;
(17) arcsin (cosx) = /2-x, 0  x  .
Из рис. 1 видно, что функция y=arcsinx является нечетной. Это обстоятельство можно доказать и аналитически, исходя из определения нечетной
функции (f(-x) = -f(x)). Итак, докажем, что:
(18) arcsin (-x) = -arcsinx, |x|  1.
Рассмотрим синусы обеих частей равенства (18): sin (arcsin (-x)) = sin (-arcsinx).
Эта операция будет однозначной, так как E(arcsin(-x))=E(-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|1. Учитывая соотношение (15) и то обстоятельство, что
синус является функцией нечетной, имеем: -x = -sin (arcsinx), -x = -x, что и доказывает справедливость соотношения (18).
Исходя из определений арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, можно
рассмотреть обратные тригонометрические функции y=arccosx, y=arctgx и
y=arcctgx. Кстати, они еще носят название аркфункций или обратных круговых.
При этом вводятся в рассмотрение главные значения обратных тригонометрических функций, которыми и пользуются повсеместно, так как ограничиваются
изучением однозначных функций. Мы будем при определении обратных тригонометрических функций исходить из свойств хорошо известных прямых тригонометрических функций, используя при этом симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (прямая у=х), а также свойство
сохранения характера монотонности прямой функции и ей обратной.
Рассмотрим обратную тригонометрическую функцию y=arccosx. Для этого из области определения прямой функции y=cosx выбираем участок монотонности, равный промежутку [0; ]. Здесь прямая функция убывает; стало быть, и
7
обратная ей функция y=arccosx также будет убывающей, имея множество значений, равное промежутку [0; ], численно совпадающее с участком монотонности прямой функции, то есть E(arccosx): y[0; ]. Множество значений прямой функции, равное промежутку [-1; 1], переходит в область определения обратной тригонометрической функции y=arccosx, то есть D(arccosx): x[-1; 1].
На рис. 2 график прямой функции y=cosx представлен пунктирной линией, а
график обратной тригонометрической функции y=arccosx – сплошной линией.
Рис. 2
Симметричность прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов усматривается следующим образом: а) обе функции пересекаются в точке, лежащей на прямой у=х; б) верхняя
часть обратной функции (выше точки пересечения с прямой у=х) симметрична
нижней части графика прямой функции (ниже точки пересечения с прямой
у=х); в) нижняя часть графика обратной функции симметрична верхней части
графика прямой функции.
8
Итак, введена обратная тригонометрическая функция:
(19)
y=arccosx,
(20)
где D(f): x  [-1; 1],
(21)
а E(f): y  [0; ].
Из определения обратной тригонометрической функции y=arccosx следует, что:
(22)
cos (arccosx) = x, |x|  1;
(23)
arccos (cosx) = x, 0  x  ;
(24)
arccos (sinx) = /2-x, |x|  /2.
Обратная тригонометрическая функция y=arccosx не является четной или
нечетной, но удовлетворяет соотношению:
(25)
arccos (-x)=-arccosx, |x|  1.
Доказательство: рассмотрим косинусы обеих частей равенства (25):
cos(arccos (-x))=cos(-arccosx). Эта операция будет однозначной, так как функции, стоящие в обеих частях исходного соотношения, монотонны при |x|1, а их
множества значений совпадают, то есть E(arccos(-x))=E(-arccosx). Учитывая
соотношение (22), имеем: -x=-cos(arccosx), -x=-x, что и доказывает справедливость формулы (25).
Рассмотренные обратные тригонометрические функции y=arcsinx и
y=arccosx связаны между собой соотношением:
(26)
arcsin x  arccos x 

2
, | x | 1.
Доказательство: перепишем соотношение (26) в виде: arccosx = /2–
arcsinx. Рассмотрим косинусы обеих частей этого равенства:
cos(arccosx)=cos(/2 – arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как
E(arccosx)=E(/2-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|1. С учетом соотношений (22) и (15) имеем: x = sin (arcsinx), x=x, что и доказывает справедливость соотношения (26).
9
Для рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arctgx выберем участок монотонности прямой функции y=tgx, равный (-/2; /2), где эта
функция возрастает; стало быть, и обратная ей функция y=arctgx будет возрастающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции
численно будет служить множеством значений обратной функции, то есть
E(arctgx): y  (-/2; /2). Поскольку множество значений прямой функции есть
вся числовая ось по вертикали, то областью определения обратной функции будет служить вся числовая ось по горизонтали, то есть D(arctgx): xR.
Рис. 3
На рис. 3 график прямой функции y=tgx представлен пунктирной линией, а
график обратной тригонометрической функции y=arctgx – сплошной линией.
Из рисунка также видно, что функция арктангенс является нечетной, то есть:
(27)
arctg (-x) = -arctgx, x  R,
что нетрудно также доказать и аналитически, как это было сделано при обосновании формулы (18).
Итак, введена обратная тригонометрическая функция:
(28)
y=arctgx,
10
(29)
(30)
где D(f): x  R,
а E(f): y  (-/2; z/2).
Из определения обратной тригонометрической функции y=arctgx следует что:
(31)
tg (arctgx) = x, x  R;
(32)
arctg (tgx) = x, |x| < /2;
(33) arctg (ctgx) = /2 – x, 0 < x < .
Для рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arcctgx выберем из области определения прямой функции y=ctgx участок монотонности,
равный интервалу (0; ), где эта функция убывает; стало быть, обратная ей
функция y=arcctgx также будет убывающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции будет численно служить множеством значений обратной функции, то есть E(arcctgx): y(0; ). Так как множеством значений прямой функции служит вся числовая ось по вертикали, то областью
определения обратной функции будет вся числовая ось по горизонтали, то есть
D(arcctgx): xR.
Рис. 4
11
На рис. 4 представлен график прямой функции y=ctgx пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arcctgx – сплошной линией. Симметрия прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов усматривается аналогично тому, как
это было в случае с функцией y=arccosx. Обратная тригонометрическая функция y=arcctgx не является четной или нечетной, но удовлетворяет соотношению:
(34)
arcctg (-x)=-arcctgx, xR,
которое доказывается аналогично тому, как это было сделано для функции
y=arccosx (формула (25)).
Итак, введена обратная тригонометрическая функция:
(35)
y=arcctgx,
(36)
где D(f): xR,
(37)
а E(f): y  (0; ).
Из определения обратной тригонометрической функции y=arcctgx следует, что:
(38)
ctg (arcctgx) = x, x  R;
(39)
arcctg (ctgx) = x, 0 < x < ;
(40) arcctg (tgx) = /2-x, |x| < /2.
Обратные тригонометрические функции y=arctgx и y=arcctgx по аналогии
с функциями y=arcsinx и y=arccosx связаны соотношением:
(41)
arctgx+arcctgx=/2,
которое доказывается аналогично тому, как это было сделано при обосновании
соотношения (26).
Функции, обратно пропорциональные синусу и косинусу, носят соответственно названия косеканса и секанса (то есть: 1/(sinx)=cosecx и 1/(cosx)=secx).
Обратные тригонометрические функции y=arccosecx и y=arcsecx употребляются крайне редко и поэтому рассматриваться не будут.
12
§3. Некоторые соотношения между обратными
тригонометрическими функциями
Наряду с определениями обратных тригонометрических функций были
рассмотрены связи между сходными функциями одного и того же аргумента
(формулы (26) и (41)), свойство нечетности (формулы (18) и (27)) или отсутствие такового (формулы (25) и (34)), а также соотношения, вытекающие из самих определений обратных тригонометрических функций, которые в ряде случаев значительно упрощают преобразования с этими функциями (например,
формулы (15), (16), (17)) для арксинуса и подобные им формулы для других
функций).
Теперь рассмотрим некоторые соотношения между разными обратными
тригонометрическими функциями. Прежде всего, докажем, что:
(42)
sin (arccos x)  1  x 2 , | x |  1;
(43)
cos (arcsin x)  1  x 2 , | x | 1;
(44)
tg (arcctg x) 
1
, x  0;
x
(45)
ctg (arctg x) 
1
, x  0.
x
2
Доказательство формулы (42): sin (arccos x)  1  x , | x |  1. Левая часть
2
доказуемого равенства может быть представлена как 1  cos (arccos x), где
перед корнем берем знак плюс, так как по определению арккосинуса
0  arccos x   , а потому sin(arccosx)0. Далее, с учетом соотношения (22)
2
2
имеем: 1  x  1  x , что и доказывает справедливость формулы (42).
При доказательстве формулы (43) надо учитывать, что по определению
арксинуса 

2
 arcsin x 

2
, а потому левая часть соотношения (43), равная
2
cos(arcsinx), положительна и представляется как 1  sin (arcsin x) , что с уче-
13
том формулы (15) дает
1  x 2 , то есть то, что и требовалось доказать. Еще
проще устанавливаются закономерности (44) и (45). Например, если в формуле
(44): tg (arcctgx)=1/x, то левую часть можно представить как
1
, что с
ctg (arcctgx)
учетом соотношения (38) дает 1/x, то есть то, что и доказывает справедливость
формулы (44).
Если соотношения (42)(45) рассматривать с точки зрения определения обратных тригонометрических функций, то получим соответственно формулы, связывающие сходные обратные тригонометрические функции:
(46)
arccos x  arcsin 1  x 2 , 0  x  1;
(47)
arcsin x  arccos 1  x 2 , 0  x  1;
(48)
1
arcctgx  arctg , x  0;
x
(49)
arctgx  arcctg
1
, x  0.
x
В представленных соотношениях области определений заужены по следующим причинам: в формуле (46) функция арккосинус не является нечетной в
отличие от функции арксинус, а потому равенство возможно только при
0  x  1 ; в формуле (47) множество значений арккосинуса неотрицательно, а
поэтому равенство возможно только при 0  x  1 ; в формулах (48) и (49) множество значений функции арккотангенс положительно и требует того же от
множества значений функции арктангенс, что реализуется при x>0.
Кстати, ограничения x  0 в формулах (48) и (49), а также в соотношениях (44)
и (45), можно снять, если учесть, что функции y=arctgx и y=arcctgx при x   
ограничены соответственно величинами -/2 и /2 для арктангенса, а также величинами 0 и  для арккотангенса.
14
Теперь представим формулы, которые фиксируют связи между разными обратными тригонометрическими функциями. Итак, имеем:
(50)
arcsin x  arctg
x
1 x
2
, | x | 1;
1  x2
(51) arcsin x  arcctg
, 0  x  1;
x
(52)
1  x2
arccos x  arctg
,0  x  1;
x
(53)
arccos x  arcctg
(54)
arctgx  arcsin
(55)
arctgx  arccos
(56)
arcctgx  arcsin
(57)
arcctgx  arccos
x
1 x
2
, | x | 1;
x
x 1
2
, x  R;
1
x 1
2
1
x 1
2
x
x 1
2
, x  0;
, x  0;
, x  R.
Покажем справедливость некоторых формул. Рассмотрим соотношение (50): arcsin x  arctg
x
1 x
2
, при |x|<1. Возьмем тангенсы от обеих частей

x
доказуемого соотношения: tg (arcsin x)  tg arctg
1 x2


x
 , tg(arcsin x) 

1 x2

(эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотноше 
нии монотонны, а их множества значений в интервале   ;  совпадают).

Пусть arcsinx=, тогда sin =x. Итак, имеем tg 
2 2
x
1 x
2
. Так как
15
1
11 x2
x2
1
2
1

. Если 0 < x < 1, то
tg   1 
, то tg  
1  sin 2 
1 x2
1 x2
1 x2
2
tg 
x
1 x
2
x
и   arctg
1 x
2
 arcsin x. Если -1 < x < 0, то с учетом не-
четности функций y=arcsinx и y=arctgx имеем: arcsin(  x)  arctg
 arcsin x  arctg
x
1 x2
x
, arcsin x  arctg
1 x2
x
1 x
,
2
, что и требовалось доказать.
1 x2
, 0  x  1.
Рассмотрим формулу (51): arcsin x  arcctg
x
Возьмем
котангенсы
от
обеих

1 x2

ctg (arcsin x)  ctg arcctg

x

частей
доказываемого
соотношения:
2

, ctg (arcsin x)  1  x (эта операция будет

x

однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их

множества значений в полуинтервале  0;  совпадают); пусть arcsinx=, тогда

sin =x. Итак, имеем:
2
1  x2
ctg 
.
x
Так как
1
1 x2
ctg   2  1 
. При положительном x имеем:
x
x2
2
1
,
sin 2 
то
1 x 2
ctg 
x
и
ctg 2  1 
1 x2
  arcctg
 arcsin x, что и требовалось доказать. Если x отрицательx
1  x2
,
ный, то, учитывая соотношения (18) и (34), имеем: arcsin(  x)  arcctg
x
 arcsin x    arcctg
1 x2
1 x2
  , что отличается от
, arcsin x  arcctg
x
x
формулы (51) при положительном x. Учитывая доказательства формул (50) и
(51), нетрудно доказать справедливость соотношений (52)  (57).
Если стоит обратная задача: установить связь между какими-либо обратными тригонометрическими функциями, то ее всегда можно решить, полу16
чив одну из приведенных выше формул. Так, например, получим связь между
функциями арккосинус и арктангенс. Итак, пусть arccosx=arctg, где  подлежит определению. Возьмем тангенс от обеих частей равенства: tg(arccosx) =
=tg(arctg)= (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и
арктангенс монотонны, а множества их значений совпадают в полуинтервале
 
0; 2  ). Пусть arccosx=, тогда cos=x и надо определить tg; так как


1
1 x2
1 x 2
1
2
tg   1 
, то tg   2  1 
и tg 
(знак плюс берем
cos 2 
x
x2
x
2
перед корнем по той причине, что arccosx  0 и tg(arccosx)=tg  0). tg= и
1  x2
имеем окончательно: arccos x  arctg
при 0<x1, что совпадает с форx
мулой (52). Если x<0, то с учетом соотношений (25) и (27) имеем:
1 x2
1 x2
1 x2
arccos(  x)  arctg
,   arccos x  arctg
, arccos x    arctg
,
x
x
x
что отличается от формулы (52).
Получим еще связь между функциями арккосинуса и арккотангенса.
Итак, пусть arccosx=arcctg, где  подлежит определению. Возьмем котангенсы
от обеих частей равенства: ctg(arccosx)=ctg(arcctg)= (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арккотангенс монотонны, а множества
их значений в интервале (0; ) совпадают). Пусть arccosx=, тогда cos=x и
надо
определить
ctg.
Так
как
ctg 2  1 
1
,
1  cos 2 
то
x
1
1 1 x2
x2
ctg  
1 

; при 0<x<1 ctg   
, а потому
2
2
2
1 x
1 x
1 x
1  x2
2
имеем:   arccos x  arcctg  arcctg
При
отрицательном
arccos(  x)  arcctg
x
x
1 x
2
с
x
1 x2
учетом
, то есть arccos x  arcctg
формул
,   arccos x    arcctg
(25)
x
1 x
2
и
(34)
, arccos x  arcctg
x
1 x2
.
имеем:
x
1 x
2
,
17
то есть полученное соотношение при -1<x<1 совпадает с формулой (53).
Соотношения между обратными тригонометрическими функциями
необходимо учитывать при интегрировании с помощью тригонометрических
2
подстановок. Например, найти интеграл    1  x dx с помощью подстанов-
ки x=sint. Имеем: t=arcsinx и dx=cost dt, а интеграл при подстановке преобразу2
2
ется к виду:    1  sin t cos t  dt   cos t  dt. Используя формулу пониже-
ния
порядка
2 cos 2 t  1  cos 2t ,
имеем:

1
2 cos 2 t  dt 

2
1
t 1
1
1
(
1

cos
2
t
)

dt


sin
2
t

C

arcsin
x

sin t  cos t  C 
2
2 4
2
2
1
x
1
x
arcsin x  cos(arcsin t )  C  arcsin x 
1  x 2  C (с учетом соотношения
2
2
2
2

(43)).
18
§4. Производные обратных тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций можно опреде-

1 


y

лить, используя правило взятия производной от обратной функции  x
.
x y 

Например, получим производную от функции y=arcsinx: так как x=siny (из
2
2
определения функции арксинус), то xy  cos y  1  sin y  1  x , где знак
перед корнем обусловлен тем, что 

2
промежутке неотрицательный; далее yx 
(58)
 y  arcsin x 

2
, а косинус в этом
1
1

, то есть:
xy
1 x2
1
(arcsin x) 
1 x
2
, | x | 1.
Второй способ определения производных от обратных тригонометрических функций использует соотношение, вытекающее из определений этих
функций, и правило взятия производной от сложной функции (если y  f (x) , а
x   (t ) , то есть y  f  (t ), то yt  y x  xt ).
В качестве примера возьмем производную от функции y  arccos x :
так
как
cos(arccos x)  x
 sin(arccos x)  (arccos x)  1 , (arccos x)  

1
1 x
2
| x | 1 ,
при
(cos(arcco s x))  1 ,
то
1
1


sin(arccos x)
1  cos 2 (arccos x)
, где знак перед корнем обусловлен тем, что 0  y  arccos x   , а
синус в это промежутке неотрицательный. Итак, имеем:
(59)
(arccos x)  
1
1 x
2
, | x | 1.
Получим производные от функций y=tgx и y=ctgx вторым и первым
способом
соответственно.
Так
как
tg(arctgx)=x,
то
(tg (arctgx))  1 ,
19
(arctgx)
 1,
cos 2 arctgx 
(arctgx)   cos 2 arctgx ;
используя
известное
соотношение
1
1
1

, получим: (arctgx) 
, то есть имеем
2
2
1  tg arctgx  1  x 2
cos 
tg 2  1 
окончательно:
(arctgx) 
(60)
Если y=arcctgx, то x=ctgy и x y  
1
.
1 x2
1
1
2
; так как 1  ctg  
, то получа2
sin y
sin 2 
2
2
ем: xy  (1  ctg y)  (1  x ) ; далее, y x 
1
1

, то есть имеем:
xy
1 x2
(arcctgx)  
(61)
1
.
2
1 x
Рассмотрим несколько типичных задач, в которых используются производные от обратных тригонометрических функций.
Задача 1. Построить график функции y  arcsin
Решение: ОДЗ:  1 
2x
.
1 x2
2x
 1; решим два неравенства:
1 x2
x  1  0, x  12  0  x  R;
2x
2x  1  x 2
1)
 1,
 0,
2
2
1 x
1 x
1 x2
2
x  1  0, x  12  0  x  R;
2x
2x 1  x 2
2)
 1,
 0,
2
2
1 x
1 x
1 x2
2
итак, ОДЗ: x  R. Так как по определению арксинуса множеством его значений
является промежуток, равный [-/2;/2], то график исходной функции будет
лежать в этой горизонтальной полосе. Находим производную от исходной
функции:
2
y 
1
4x2
1  x 

1 x2  2x  x
1  x 
2 2


1 x2
2 1 x2



;
2
1 x2  1 x2
1 2x2  x4  4x 2 1 x
2


2 2
20
2
при 1  x  0, x  1, y   
2
 0 и функция возрастает, проходя через
1 x2
2
начало координат, так как y (0)  0; при 1  x  0, x  1, y   
2
0 и
1 x2
функция убывает, стремясь к оси абсцисс сверху при x+, и снизу при x-;
при 1-x2=0, x=1, производная не существует, а поскольку сама исходная функция определена для всех x  R, то эти точки x=1 будут критическими. Найдём
значения функции в этих точках:
y (1)  arcsin
2

2

 arcsin( 1)   arcsin 1   ; y (1)  arcsin
 arcsin 1  .
11
2
11
2
Полученных сведений достаточно, чтобы построить график данной функции,
который и представлен на рис. 5.
Рис. 5.
Задача 2. Определить экстремумы функции y=x+2arcctgx.
2
1 x2  2 x2 1

 2 ; y'>0 при x<-1 и
Решение: ОДЗ: x  R; y   1 
1 x2
1 x2
x 1
x>1, y'<0 при –1<x<1; стало быть в, точке x = -1 имеем максимум, равный
3

 1 , а в точке x = 1 имеем минимум, равный 1  .
2
2
Задача 3. Составить уравнение касательной к кривой y=arccos3x в точке
пересечения этой кривой с осью ординат.
21
Решение: ОДЗ: -1  3x  1, -1/3  x  1/3; уравнение касательной запишем
в виде: y  y0  y0  x  x0 , где точка касания имеет координаты (xo; yo); в
нашем случае: x0  0, y0  arccos 0 
y

2

2
; y  
1 3
1  9x
2
, y0  3; тогда имеем:
 3x или 6 x  2 y   .
Контрольные вопросы
1 ,  4 Каковы области определений и множества значений обратных тригоно-
метрических функций?
5 Имеет ли периодическая функция себе обратную?
6 ,  9 Каковы соотношения, вытекающие из самих определений обратных три-
гонометрических функций?
10 , 11 Каковы соотношения между сходными обратными тригонометрически-
ми функциями одного и того же аргумента?
12 , 13 Доказать нечетность функций arcsin x и arctg x
14 , 15 Доказать соотношения:
arccos(-x) =

- arccos x,
2

2
arcctg(-x) = -arcctg x,
16 Почему прямая и обратные функции симметричны относительно прямой
y=x?
17 Доказать, что производная от четной функции будет нечетной, а производ-
ная от нечетной функции будет четной.
18 ,  21 Найти производные от любой обратной тригонометрической функции
двумя способами.
22 ,  25 Установить соотношения между сходными обратными тригонометри22
ческими функциями.
26 , 27 Установить соотношения между арксинусом и другими несходными об-
ратными тригонометрическими функциями.
28 , 29 Установить соотношения между арккосинусом и другими несходными
обратными тригонометрическими функциями.
30 , 31 Установить соотношения между арктангенсом и другими несходными
обратными тригонометрическими функциями.
32 , 33 Установить соотношения между арккотангенсом и другими несходными
обратными тригонометрическими функциями.
Примеры и упражнения
Среди формул, представленных соответствующими номерами в вышеизложенном тексте, есть такие, которые доказываются по аналогии с обоснованиями других соотношений. Для лучшего усвоения изложенного материала по
обратным тригонометрическим функциям докажем и эти формулы.
Упражнение 1. Доказать, что:
а) arctg ( x)  arctgx, (27);
в ) arctgx  arcctgx 
д) arctgx  arcsin

2
, (41);
x
x 1
2
, (54);
б ) arcctg ( x)    arcctgx, (34);
1
г ) ctg (arctgx)  , (45);
x
е) arcctgx  arcsin
1
x 1
2
, (56).
Упражнение 2.Установить связь между данными обратными тригонометрическими функциями: а) арктангенс и арккосинус; б) арккотангенс и арккосинус.
Упражнение 3. Решить уравнения:
x 
а ) 4 sin 2  (  )  3;
2 3
б ) 2 cos 2 x  2tg 2 x  5; в) 2 sin 2 x  tg 2 x  0.
23
Упражнение 4. Доказать формулы для производных от обратных тригонометрических функций способами, отличными от реализованных при выводе
формул (58)(61).
Найдем производные от некоторых сложных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.
2
Пример 1. y  ? y  (arcsin x) .
Решение: y   2 arcsin x 
1
1 x
2

2 arcsin x
1 x
2
.
Пример 2. y   ? y  arctgx 2 .
Решение: y  
1
2x

2
x

.
1 x4
1 x2
Пример 3. y   ? y 
x
 arctgx.
1 x2
Решение:
1  x 2  2x  x
1
1 x2
1
1 x2 1 x2
2x 2
y 





.
(1  x 2 ) 2
1  x 2 (1  x 2 ) 2 1  x 2
(1  x 2 ) 2
(1  x 2 ) 2
Упражнение 5. Найти производные от данных функций:
а) y  x  arcsin x,
б) y 
arcsin x
,
arccos x
в) y  1  x 2 
1
,
arccos x
1 2
г ) y  arcsin( x  1), д) y  (arctg ) , е) y  ( arcsin x  arccos x) ( n ) , n  N .
x
2
Упражнение 6. Вычислить интеграл    4  x dx с помощью замены
x=2sint.
Решим некоторые уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции.
Пример 4. Решить уравнение: (arcsin x)  (arccos x) 
2
18
.
24
Решение: согласно соотношению (26) arcsin x  arccos x 

2
. Обозначим
arcsinx=z1, a arccosx=z2; тогда будем иметь симметричную (относительно переменных z1 и z2) систему:

2
z

z

,
 1 2
18

z  z   .
2
 1
2
()
Используя теорему Виета, получим квадратное уравнение:
z 
2

2
z
2
18
z1  arcsin x 
 0, где z1, 2 

3
x 

4

2
16

2
18




4 12

 
3
1

1
 arcsin x  x  ; z 2   arccos x  x  .
6
2
3
2
3
1
, x2  .
2
2
Пример 5. Решить уравнение: (arctgx)  (arcsin
x
1 x2
Решение: согласно соотношению (54): arctgx  arcsin
ем: (arctgx) 
9
. Стало быть:

Итак, окончательно имеем ответ: x1 
2
6

3
3
. Так как система (*) сим; z 2  arccos x   x 
6
2
2
метрична, то еще имеем: z1 
2
;
; далее, | arctgx |
дует, что x  3; arctgx  

3

3
; arctgx 
)
x
1 x2
2
9
.
, x  R, тогда име-

при arctgx  0, откуда сле3
при arctgx  0, тогда x   3. Итак, имеем окон-
чательно ответ: x1  3 , x 2   3.
Пример 6. Решить уравнение:
1 x2
2
(arcsin x)  (arcctg
)
, 0  x  1.
x
9
25
1 x2
 arcsin x при 0  x  1.
Решение: согласно соотношению (51) arcctg
x
Тогда имеем: (arcsin x) 
2
2
9
, | arcsin x |

3
, arcsin x 

3
(так как в формуле
(51) x неотрицательный, то соответственно и arcsinx будет тоже неотрицательный). Стало быть, x 
3
, что и является окончательным ответом.
2
2
Упражнение 7. Решить уравнения: а) (arctgx)  (arcctgx) 
б ) (arccos x)  (arcctg
x
1 x
2
)
2
16
, в ) (arcctgx)  (arcsin
1
x 1
2
)
x
x
Пример 7. Решить уравнение: arcsin 2  arccos 1  4 
2
Решение: пусть 2 x  a  0, тогда arcsin a  arccos 1  a 

3
16
2
, x  0.

.
3
; согласно формуле
(42): arcsin x  arccos 1  x 2 , тогда получаем: arcsin a  arcsin a 
arcsin a 
4
,

3
,

1
1
 a  , 2 x  , x  1, что и является окончательным ответом.
6
2
2
x
x
Упражнение 8. Решить уравнение: arctg 3  arctg 3 
Пример 8. Найти х из уравнений: а ) arcsin
x
3

6
.
x
3
 a, б ) arcctg ( x  3)   .
3
4
Решение: а) ОДЗ:  1   1,  3  x  3; далее имеем: sin a 
x
, x  3 sin a.
3
б) ОДЗ: x  R; так как 0  arcctg ( x  3)   , то данное уравнение решения не
имеет (х=).
Упражнение 9. Найти х из уравнений:
26
а) arcsin x 
1
x b

x
; б ) arccos  ; в ) arctg  a; г ) arcctg  b;
x
a c
4
a
д) arcsin( x  1) 

3
з ) arcsin( x 2  x 
; е) arccos | x |

4
; ж) arcctg (4 x  1)  1;
1
x
1
3

2
)  ; и ) arccos( x  1,1)  ; к ) arccos   .
4
a
2
2
3
Упражнение 10. Что больше х или у, если:
а) 3x 
б)
4
3
1
 arcsin(  );
 arccos(  ), 3 y 
3
2
3
2

5x 

4
 arcsin( 
2
7
2
), 10 y 
 arccos( 
).
2
4
2
Упражнение 11. Определить х из выражений:
а) sin( 5arctg (3x)) 1, б ) tg (7 arccos( 4 x))  3.
Пример 9. Решить уравнение: arcsin( 1  x)  arccos(1  x).
ОДЗ: а)  1  1  x  1,
 2   x  0,
2  x  0,
0  x  2;
б )  1  x  1  1,
 2  x  0;
Стало быть, ОДЗ состоит из одной точки х=0. Проверим это значение переменной в исходном уравнении: arcsin 1=arccos 1, /2=0, что неверно; значит, x=.
Упражнение 12. Решить уравнения:
а) arctg (1  x)  arctg (1  x), б ) arctg (  x)  arcctg (  x).
Пример 10. Решить уравнение: 2 arcsin 2 x  arccos 7 x.
Решение: ОДЗ: а)  1  2 x  1,

1
1
x ;
2
2
б )  1  7 x  1,

1
1
x ;
7
7
 1 1
 x   ; .
 7 7
Пусть arcsin2x=, тогда sin=2x; если arccos7x=, то cos=7x; с учетом введенных обозначений имеем: 2=; далее, cos2=cos (операция взятия косинуса
будет однозначной в промежутке, равном [0; ] (пересечение множеств значений функций 2arcsin2x и arccosx)). 1-2sin2=7x, 1-2*4x2=7x, 8x2+7x-1=0,
27
x1, 2 
 7  49  32  7  9 1

 ;  1; второй корень не входит в ОДЗ; стало
16
16
8
быть, x=1/8, что и является окончательным ответом.
Упражнение 13. Решить уравнения:
x
x
а ) 3 arccos x  arccos , б ) arcsin  3 arcsin x.
2
3
Упражнение 14. Решить уравнения:
а) 4 arcsin x  arccos x   , б ) arctg 2 x  arcctg 2 x   .
Рассмотрим неравенства, содержащие обратные тригонометрические
функции.
Пример 11. Решить неравенство: arcsin x  2 arccos x 
Решение: Так как arcsin x  arccos x 

 
arcsin x  2  arcsin x   ,
2
 3

3
.

при | x |  1, то имеем:
2
arcsin x    2 arcsin x 

4
, 3 arcsin x   ,
3
3
4
 4

arcsin x   . Так как     , то можно записать:
2 9
2
9
 4 
arcsin x  arcsin  sin  , откуда, учитывая, что арксинус есть функция возрас 9 
4
тающая, имеем: x  sin  . С учетом D(arcsinx) имеем окончательно:
9
4
sin   x  1.
9
Упражнение 15. Решить неравенство: arctg 2 x  2arcctg 2 x 

4
.
Для некоторых значений аргумента численные значения обратных тригонометрических функций известны (например, arcsin
1 

 , arctg 3 
и т.п.).
2 6
3
В других случаях ответы записываются в виде arccos1/8, arcctg5 и т.п. Более
сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями подлежат
упрощению.
28
1

Пример 12. Вычислить sin  2arctg .
2

Решение: Пусть arctg1/2=, тогда tg=1/2. С учетом введенного обозначения 
надо вычислить sin2. Поскольку sin 2 
sin 2 
2tg
, то имеем:
1  tg 2
2  0,5 4
 , что и является окончательным ответом.
1  0,25 5
15 

1
Упражнение 16. Вычислить: a) tg  arcsin ; б ) sin  3 arcsin
17 

2
1
;
3
2

в ) tg  0,5 arcsin ; г) tg0,5arcctg3; д) sin 2arctg5; е) cos2arctg(7);
3


 1 

ж) tg2arctg3; з) cos0,5 arccos(0,1); и ) cos 3 arccos   ; к ) sin  3 arcsin
 3 


Пример 13. Вычислить: arcsin
1
.
5
3
12
 arcsin .
5
13
Решение: Пусть arcsin3/5=, тогда sin=3/5;так как E(арксинус)=[-/2; /2], то 
принадлежит первой четверти; более того, (*) /6<</4. Пусть еще
arcsin12/13=, тогда sin=12/13,  тоже принадлежит первой четверти и удовлетворяет неравенству (**) /3<</2. Сложим неравенства (*) и (**):


  
6
4



  
3
2

3
    
2
4
Результат говорит о том, что искомый угол + лежит во второй четверти, и
для его определения надо использовать такую обратную тригонометрическую
функцию, которая имеет множество значений, охватывающее вторую четверть.
Используем арккосинус: +=arccos(cos(+)). Найдем
cos(   )  cos  cos   sin   sin  ; так как и  и  принадлежат первой чет-
29
верти, то имеем: cos  1 
9 4
144 5
 , cos   1 
 ; тогда
25 5
169 13
16
4 5 3 12
16
 16 
cos(   )   
  , а     arccos      arccos .
65
5 13 5 13
65
 65 
Упражнение 17: Вычислить:
1
1
3
5


a) arctg 4  arctg 5; б ) 3tg  2arcctg   tg arcctg ; в ) arcsin  arcsin ;
3
2
5
13


г ) arccos
2
6 1
3
4
1
 11 
 arccos
; д) arc sin  arc sin ; е) arccos    arccos ;
7
3
5
5
2 3
 14 
ж) arcsin
3
1
240
15
4
2
 2 arcsin ;
 arccos
; з ) arctg  arctg ; и ) arcsin
4
5
289
17
5
5
4
к ) 2arctg 2  arctg ; л) arctg 2,4  2arctg1,5; м) arcsin 0,8  arccos 0,6.
3
Пример 14. Доказать тождество: arctg
2
1 
 arctg  .
3
5 4
Решение: Пусть arctg2/3=, тогда tg=2/3 и /6<</4 (*); пусть arctg1/5=, тогда tg=1/5 и 0<</6 (**). Если сложить неравенства (*) и (**), то получим
/6<+<5/12, что говорит о том, что угол + находится в первой четверти;
2 1

tg  tg
10  3
3
5
далее:     arctg (tg (   ))  arctg 1  tg  tg  arctg 2 1  arctg 15  2 
1 
3 5
 arctg1 

4
, что и требовалось доказать.
Упражнение 18: Доказать тождества:
a) arcctg 3   arcctg (2  3 ) 
в ) 2arctg
1
7 
 arctg
 ;
4
23 4
г ) arctg
е) arc sin 0,6  arc sin 0,8 

2

4
; б ) arctg1  arctg 2  arctg 3   ;
3
1 
1 5 3 
 arctg  ; д) arctg 5  arctg
 ;
4
7 4
5 3 6
.
Пример 15: Вычислить: a)
arccos(cos (2arctg ( 2  1))).
30
Решение: пусть arctg ( 2  1)   , тогда tg  ( 2  1), 0   

6
; имеем:
1  tg 2
arccos(cos (2arctg ( 2  1)))  arccos(cos 2 )  arccos

1  tg 2
 arccos
1  ( 2  1) 2
1  ( 2  1) 2
 arccos
1  2  2 2 1
1 2  2 2 1
 arccos
2 1
2 2
 arccos
2 
 .
2
4

 1 
б ) sin 2  arctg 3  arcctg    .
 2 

1
2
Решение: с учетом соотношения (34) будем иметь: sin  arctg 3    arcctg ;
2

вычислим: arctg 3  arcctg
1
 arctg 3  arcctg 2     , то есть: arctg3= и
2
tg=3, причем /3<</2; arctg2=, tg=2, /3<</2; стало быть, угол + будет во второй четверти и для его определения используем арккотангенс; имеем:
    arcctg (ctg (   ))  arctg
   arcctg1   

4

1  tg  tg
1 2  3
 arcctg
 arcctg (1) 
tg  tg
23
3
; далее имеем окончательно:
4
2

1
 3

  
sin 
    sin 2       sin   .
4
2
 4

 4 
2
1
15 

1
Упражнение 19: Вычислить: а) sin  2arctg   tg arcsin ;
2
17 

2

1
3
 1 
1

б ) sin 2  arctg  arctg    ; в ) cos arccos  2arctg  2.
2
5
2

 3 

Пример 16: Выразить: а ) arcsin
3
 1
и б ) arccos   через значения
5
 3
каждой и трех других обратных тригонометрических функций.
Решение: а) с учетом формул (47), (50) и (51) имеем:
3
9
4
arcsin  arccos 1  x 2  arccos 1 
 arccos ;
5
25
5
31
3
x
3 5
3
arcsin  arctg
 arctg
 arctg ;
5
5 4
4
1 x2
3
1 x2
4
arcsin  arcctg
 arcctg ;
5
x
3
б) с учетом формул (46), (52) и (53), а также соотношения (25) имеем:
1
1
2 2
 1
arccos      arccos    arcsin 1     arcsin
;
3
9
3
 3
1 x2
 1
arccos      arctg
   arctg 2 2 ;
x
 3
x
2
 1
arccos      arcctg
   arcctg
.
2
4
 3
1 x
Упражнение 20: Выразить данное числовое выражение через значения
каждой из трёх других обратных тригонометрических функций:
а) arccos
12
5
3
 7 
 7 
; б ) arctg ; в ) arcctg ; г ) arctg    ; д) arcctg   .
13
12
4
 24 
 24 
Упражнение 21: Имеют ли смысл данные выражения:


 4
а) arcsin 3 , б ) arcsin    , в ) arcsin 3  3 , г ) arcsin  ?
 3
Пример 17. Чему равен arcsin(sin10) ?
Решение: так как sin 10  sin 3  10  3   sin   10  3  
  sin 10  3   sin 3  10, то arcsin(sin 10)  arcsin sin 3  10  3  10, ибо
 1  3  10  1 и можно использовать соотношение (16): arcsin(sinx)=x.
Пример 18. Чему равен arccos(cos 5) ?
Решение: arccos(cos5)=arccos(cos(2-(2-5)))=arccos(cos(2-5))=2-5, что удовлетворяет E(арккосинус)=[0;].
Упражнение 22: Чему равен: а) arcsin sin 3;


б) arcsin sin 5; в) arccoscos10; г) arcsin sin 16; д) arctg tg 5 .
Пример 19. Построить график функции y=arcsin (sinx).
32
Решение: Функция определена на всей числовой оси, то есть x  R, имеет
период, равный 2. Поэтому достаточно построить график на промежутке, равном [-/2;3/2]. На отрезке [-/2;/2] по определению арксинуса имеем
arcsin(sinx)=x, а потому графиком данной функции здесь будет служить прямая
y=x. Если же x[/2;3/2], то x-[-/2;/2], и из равенства sin(-x)=sinx следует, что arcsin(sinx)=arcsin(sin(-x))=-x, то есть здесь графиком данной функции
служит прямая y=-x+. График функции y=arcsin(sinx) изображён на рис. 6.
Рис. 6.
Упражнение 23: Построить графики функций:
а) y  arcsin cos x; б) y  arccoscos x.
Представим еще пример использования обратной тригонометрической
функции при решении тригонометрического уравнения с параметром.
Пример 20. Найти значения параметра "р", при которых уравнение
4 sin x  9 cos x  p имеет решение.
Решение: используем прием введения вспомогательного угла:
4
9
p
sin x 
cos x 
;
97
97
97
A2  B 2  16  81  97 ,
пусть
4
 sin  , а
97
9
97
sin   sin x  cos   cos x 
x     arccos
 cos  , тогда получаем:
p
97
, cos( x   ) 
p
,
97
p
p
 2k ; k  Z , x    arccos
 2k. Исходя из определе97
97
33
p
 1, откуда  97  p  97 , что и является
97
ния арккосинуса, имеем:  1 
окончательным ответом.
Ответы и указания
Упр. 1. Доказательство всех представленных соотношений аналогично
тому, как это было сделано при выводе формул: а) (18), б) (25), в) (26), г) (44),
д) (50), е) (51).
Упр. 2:
а) arctgx  arccos
1
x2 1
, x  0, 55; б ) arcctgx  arccos
x
x2 1
, x  R, 57.
4

Упр. 3: а) x1  2n; x2    2k ; n, k  Z ; б ) x  k  ; k  Z ;
3
3
2
решение: 2 cos 2 x  2tg x  5; ОДЗ: x 
так как cos 2 

 n, n  Z ;
2
1  tg 2
1  tg 2 x
,
2
 2tg 2 x  5; обозначим tgx=t, тото имеем:
2
2
1  tg 
1  tg x
1 t2
 2t 2  5;
гда 2
2
1 t
так
как
1  t 2  0,
то
2  2t 2  2t 2  2t 4  5  5t 2 , 2t 4  5t 2  3  0;
гда 2 z 2  5 z  3  0, и далее: z1, 2 



 

2 1  t 2  2t 2 1  t 2  5 1  t 2 ,
пусть
z  t 2  0,
то-
5  25  24 5  7
1

 3;  ; второй корень
4
4
2
(отрицательный) не подходит, а потому
x   arctg 3  n, n  Z ; и x  n 

3
z  t 2  tg 2 x  3,
стало быть,
.
в) x=k, k  Z.
34
Упр. 5: а) y   arcsin x 
в) y  
1  x  arccos x 
2
1  x 2  arccos x 
2
Упр. 6:   2 arcsin
x
1 x2
, г) y 
, б) y 
1
2x  x 2

2arccos x 
, д) y  
2
1 x2
 2arctg
1 x2
1
x,
е) y   0.
x x

4  x 2  C.
2 2
Упр. 7: а) x  1,
б) x  
2
,
2
в ) x  0.
1
Упр. 8: x  .
2
Упр. 9: а ) x 
b
x
b
2
; б ) x  a cos , a  0, c  0,  1   1, 0    ;
2
c
a
c
в) x  ctga,0  a   ; г ) x  a  ctgb, 0  b   , a  0; д) x  1 
е) x  
3
, 0  x  2;
2
2
, | x | 1; ж) x  , так как E (arcctg ) : (0;  ); з) x1  0, x2   1,
2
и) x  , так как | D(arccos  ) | 1; к) x  , так как 0  E (arccos  )   .


Упр. 10: а) x  y  . б ) x  y   .
10
3
1 
1

Упр. 11: а ) x  tg , б ) x  cos .
3 10
4
21
2
Упр. 12: а) x  0, б ) x    1 (знак плюс перед корнем берется по
той причине, что функции арктангенс и арккотангенс сопоставимы только при
положительных значениях аргументов).
Упр. 13: а) x1, 2  
Упр. 14: а) x  1,
5
;
6
б ) x1  0, x2,3  
5
.
8
б ) x  .
Упр. 15: x  R.
35
Упр. 16: а )
3 5
; ;
5 3
23
; (напомним формулы тройного угла:
27
б)
3 5
; (напомним
2
sin 3  3 sin   4 sin 3  , cos 3  4 cos 3   3 cos  ); в )
полезные формулы для тангенса половинного аргумента:
tg

2
sin 
1  cos  

; г )
1  cos 
sin  

ж )  0,75;
з ) 0,3 5 ;
и)
Упр. 17: а)  arctg
д)  arcsin
и)  ;
7
;
25
к)  ;
е)

3
л)  ;
Упр. 19: а ) 1,4;
Упр. 20: а) arcsin
10  3;
23
;
27
1
;
21
;
5
;
13
д)
е)  0,96;
к ) 0,568.
б )  4,25;
ж ) arccos
в ) arcsin
2 5
;
5
56
;
65
з) arctg
г)

6
;
19
;
17
м)   arccos 0,28.
б)
1
;
2
в )  0,4 5.
5
5
12
5
12
12
, arctg , arcctg ; б ) arcsin , arccos , arctg ;
13
12
5
13
13
5
4
3
4
7
24
24
, arccos , arctg ; г )  arcsin ,  arccos ,  arcctg ;
5
5
3
25
25
7
24
7
24
д)   arcsin
,   arccos ,   arctg .
25
25
7
в ) arcsin
Упр. 21: нет, так как D(арксинус)=[-1; 1].
Упр. 22: а)   3; б ) 5  2 ; в) 4  10; г ) 5  16;
д) 5   .
Упр. 23: а) рис. 7; б) рис. 8.
36
Рис. 7
Рис. 8
37
Литература
1. Панчишкин А.А. ,Шавгулидзе Е.Т., Тригонометрические функции в задачах.
– М.: Наука, 1986г.
2. Кулагин Е.Д. и др. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф,
1999г.
3. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – Под редакцией
Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1988г.
4. Черкасов О.Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к
экзамену. – М.: Рольф,1997г.
5. Соболев С.К. Пособие по математике для поступающих в ВУЗ. Часть III . –
М.: МГТУ, 1996г.
38