Приложение 1. Решение. 1. Вычислить

Приложение 1.
1. Вычислить 𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝟑).
Решение.
Пусть 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔3 = 𝛼, где α∊(0;𝝅) такой, что 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 3. Нужно вычислить 𝑠𝑖𝑛4𝛼. Используя формулу
синуса двойного угла, имеем:
𝑠𝑖𝑛4𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼, 𝛼 ∊ 𝑅.
1
Если 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 3, то 𝑡𝑔𝛼 = 3.
2𝑡𝑔𝛼
1−𝑡𝑔2 𝛼
𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1+𝑡𝑔2 𝛼 , 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1+𝑡𝑔2 𝛼 , 𝑠𝑖𝑛2𝛼 =
𝟐𝟒
1
3
1
1+
9
2∗
3
= 5 , 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =
1
9
1
1+
9
1−
4
24
= 5 , 𝑠𝑖𝑛4𝛼 = 25.
Ответ: 𝟐𝟓.
2. Найдите область определения функции 𝒚 = (𝟒𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝟑)𝟎.𝟓.
Решение.
По определению степени с дробным положительным показателем имеем:
4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3 ≥ 0.
𝐷(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠) = [−1; 1] , Е(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠) = [0; 𝜋]. Тогда составим систему неравенств и решим ее.
√3
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 2
2
4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 3 ≥ 0
|𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥| ≥ √3/2
√3
{ 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋 <=> { 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋 <=> 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ − √3 <=> { 2 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋
2
[
|𝑥| ≤ 1
|𝑥| ≤ 1
|𝑥| ≤ 1
0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋
{
|𝑥| ≤ 1
Учитывая условие монотонности 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 (монотонно убывает на области определения), получим:
{
𝑐𝑜𝑠
√3
2
|𝒙| ≤ 𝟏
≥ cos(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) ≥ 𝑐𝑜𝑠𝝅 <=> {
Ответ: [-1;
−1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐𝑜𝑠
√3
2
|𝒙| ≤ 𝟏
<=> −1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐𝑜𝑠
√3
.
2
√𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝟐 ].
Приложение 2.
1. Дайте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. (Арксинусом
𝜋 𝜋
числа а называется угол из промежутка [− 2 , 2 ] такой, что синус этого угла равен а.
Арккосинусом числа а называется угол из промежутка [0,𝝅] такой, что косинус этого угла
𝜋 𝜋
равен а. Арктангенсом числа а называется угол из промежутка (− 2 , 2 ) такой, что тангенс
этого угла равен а. Арккотангенсом числа а называется угол из промежутка (0,𝝅) такой, что
котангенс этого угла равен а).
2. Что является областью определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса?
(D(sin)=[-1,1], D(cos)=[-1,1], D(tg)=R, D(ctg)=R).
3. Что является областью значений этих функций?
𝜋 𝜋
𝜋 𝜋
(E(sin)= [− 2 , 2 ] , E(cos)= [0,𝝅], E(tg)= (− 2 , 2 ), E(ctg)= (0,𝝅)).
4. Найдите область определения функции:
1 1
1). 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛3𝑥,
𝐷(𝑦) = [− 3 ; 3]
2). 𝑦 = 2𝑡𝑔2 3𝑥,
3). 𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛5𝑥 + 4,
𝜋
𝐷(𝑦) = 𝑅 \{ 6 +
𝐷(𝑦) = 𝑅
Приложение 3.
Карточка №1.
𝜋
Построить график функции 𝑦 = arccos(𝑥 − 2) + 3 .
𝜋𝑛
3
| 𝑛𝜖𝑍}
Карточка №2.
Вычислить:
1
7√2
Ответ:( ).
10
Ответ: 7-2𝝅.
1. sin (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 ).
7
2. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡𝑔7).
Карточка №3.
Закончить тождество:
sin(arcsina) =
cos(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑎) =
𝑡𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎) =
𝑐𝑡𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑎) =
arcsin(𝑠𝑖𝑛𝛼) =
arccos(𝑐𝑜𝑠𝛼) =
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑡𝑔𝛼) =
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑡𝑔𝛼) =
cos(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎) =
sin(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑎) =
Приложение 4.
Математический диктант
1 вариант
1. Вычислите arcsin(𝑠𝑖𝑛5)
2. Найдите ООФ
𝑥
𝑦 = 2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2
2 вариант
1. Вычислите arccos(𝑐𝑜𝑠13)
2.Найдите ООФ
1
𝑦 = 3 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑥
3.Решите уравнение
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(5𝑥 + 4) = 4
3. Решите уравнение
𝜋
arcsin(3𝑥 − 5) = 6
Приложение 5.
Ответы на математический диктант
1 вариант
2 вариант
1. 5-2𝝅
2. 𝐷(𝑦) = [−2; 2]
3.
1.13-4𝝅
1 1
2. 𝐷(𝑦) = [− ; ]
4 4
3
3. −
5
11
6
Приложение 6.
1
1
32
Найти: 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 5 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 43.
1
Решение.
𝜋 𝜋
1
1
𝜋 𝜋
Пусть 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 5 = 𝛼, 𝛼 ∊ (− 2 ; 2 ) , такой, что 𝑡𝑔𝛼 = 5 , 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4 = 𝛽, 𝛽𝜖 (− 2 ; 2 ) , такой, что 𝑡𝑔𝛽 =
1
32
𝜋 𝜋
32
, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 43 = 𝛾, 𝛾 ∊ (− 2 ; 2 ) , такой, что 𝑡𝑔𝛾 = 43 .
Найти: 2α+β- 𝛾.
𝑡𝑔2𝛼+𝑡𝑔(𝛽−𝛾)
tg(2α+β- 𝛾)=1−𝑡𝑔2𝛼𝑡𝑔(𝛽−𝛾).
4
2𝑡𝑔𝛼
𝑡𝑔𝛽−𝑡𝑔𝛾
tg2α=1−𝑡𝑔2 𝛼, tg(β- 𝛾)=1+𝑡𝑔𝛽𝑡𝑔𝛾.
tg2α=
1
5
1
1−
25
2∗
5
= 12, tg(β- 𝛾)=
tg(2α+β- 𝛾)=
5
85
−
12 204
5 85
1+
12204
1 32
−
4 43
1 32
1+ ∗
4 43
85
=− 204.
1020−1020
= 12∗204+5∗85 = 0.
Значит, 2α+β- 𝛾=arctg0=0.
Ответ: 0.
Приложение 7.
Решить уравнение:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 (3𝑥 + 2) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3𝑥 + 2) = 0.
Решение.
Пусть 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3𝑥 + 2) = 𝑡, 𝑡 ∊ (− 2 ; 2 ) , такой, что 𝑡𝑔𝑡 = 3𝑥 + 2.
Тогда уравнение примет вид: t2+2t=0, корнями которого являются числа t=0 и t=-2. t=-2 не
𝜋 𝜋
удовлетворяет условию 𝑡 ∊ (− 2 ; 2 ).
𝜋 𝜋
2
Возвращаясь к уравнению замены, получим, что 3x+2=tg0, 3x+2=0, x=− 3.
𝟐
Ответ: − 𝟑.
Приложение 8.
Решение заданий по рядам:
1 ряд: Решить уравнение arctg(x2-3x-3)=0.
Решение.
arctg(x2-3x-3)=0. Используя тождество 𝑡𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎) = 𝑎, имеем:
tg (arctg(x2-3x-3))= x2-3x-3. Значит, x2-3x-3=tg0, x2-3x-3=0.
3 + √21
𝑥=
2
3 − √21
𝑥=
2
[
𝟑+√𝟐𝟏 𝟑−√𝟐𝟏
Ответ: 𝟐 , 𝟐 .
2 ряд: Решить уравнение 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0.
Решение.
2
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0.
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥=0
𝑥=1
[𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥=−1
[𝑥=−𝑐𝑜𝑠1
𝑥=1
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1) = 0 <=> {
<=> {
<=> [𝑥=−𝑐𝑜𝑠1
.
|𝑥| ≤ 1
|𝑥| ≤ 1
Ответ: 1, -cos1.
3 ряд: Решить уравнение 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 5𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0.
Решение.
2
2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 5𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0.
𝜋 𝜋
Пусть 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥=t, где t∊[- 2 , 2 ], тогда уравнение примет вид 2t2-5t+2=0, корнями которого
1
𝜋 𝜋
являются числа 2 и 2. Число 2не принадлежит отрезку [− 2 , 2 ], тогда, возвращаясь к уравнению
1
1
замены, получим, что 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2 , 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 2.
𝟏
Ответ: 𝒔𝒊𝒏 𝟐.
Приложение 9.
𝑥
Решить уравнение: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + arccos (𝑥 +
√3
)
2
𝜋
= 6.
Решение.
𝑥
𝜋
√3
)
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + arccos (𝑥 +
= 6.
Возьмем синус от обеих частей уравнения, получим:
𝑥
√3
𝜋
sin(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + arccos (𝑥 + 2 )) = 𝑠𝑖𝑛 6 .
Раскроем правую часть, используя синус формулу синуса суммы двух углов, получим:
𝑥
sin (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2) cos(arccos (𝑥 +
𝑥
𝑥 2
√3
))
2
𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2) 𝑠𝑖𝑛(arccos (𝑥 +
(𝑥 +
√3
)
2
+ √1 − ( ) . √1 − (𝑥 +
(𝑥 +
2
√3
)
2
= −√1 − (2) . √1 − (𝑥 +
2
𝑥
2
𝑥 2
√3 2
)
2
√3
)
2
1
= 2.
1
= .
√3 2
)
2
2
1
+ 2.
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим, что корнями уравнения являются числа 0 и
−√3.
Проверяя найденные значения переменной, получаем, что решением исходного уравнения
является единственное число 0.
Ответ: 0.
Приложение 10.
Домашнее задание:
𝜋
1. Решить уравнение: arccos(𝑥 2 + 4𝑥 − 1) − 3 .
Учесть, что |𝑥 2 + 4𝑥 − 1| ≤ 1.
2. Решить уравнение: arccos(2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 0,1) = arccos(𝑥 + 2𝑥 2 + 0,1).
Взять косинус от левой и правой части уравнения, учесть, что |𝑥 + 2𝑥 2 + 0,1| ≤ 1.
2
3. Доказать тождество: 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠√3 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
2
Обозначить 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠√3 = 𝛼, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
√6+1
2√3
√6+1
2√3
𝜋
= 6.
= 𝛽, взять косинус от обеих частей равенства.
4. Повторить определение обратных тригонометрических функций, их графики и свойства,
повторить методы решения уравнений.