ts_321

3.2. Прохождение детерминированных сигналов через линейные устройства
3.2.1. Основные понятия и соотношения
Различают следующие основные задачи динамики.
3.2.1.1. Экспериментальное определение динамических
характеристик устройства
Устройство рассматривается как “черный ящик” и оценивается его реакция на испытательные сигналы (t) и
1(t). Зная в результате эксперимента весовую функцию g(t) или переходную функцию h(t), можно на основании (3.6)
или (3.9) определять или комплексный коэффициент передачи К(j) или передаточную функцию К(р).
3.2.2.2. Определение спектра выходного сигнала
Спектр выходного сигнала y(t) находится на основании (3.1). Решение данной задачи в общем случае имеет вид
(3.15)
Fу ( j)  K ( j)  Fx ( j)  K ( j)  Фx(t ) .
или, учитывая (3.6), Fу ( j)  Фg(t )  Фx(t ) .
(3.16)
Выбор алгоритма решения зависит от вида заданной динамической характеристики устройства.
Спектр амплитуд и фаз выходного сигнала можно выразить через соответствующие частотные характеристики
воздействия и устройства. На основании (3.2), (3.15) и (1.8) имеем
F y ( j)  A y ()e
j y ()
 K ()e j() A x ()e
j x ()
 A x ()K ()e

j (  )   x (  )
.
Отсюда следует
A y ( )  A x ( ) K (  ) ;
(3.17)
 y (  )   x (  )  (  ) .
(3.18)
В случае ЛУ с переменными параметрами, когда коэффициент передачи зависит от времени и равен K (t ) , целесообразно сначала находить отклик устройства во временной области, а затем, используя прямое преобразование
Фурье, спектр выходного сигнала
(3.19)
Fy ( j)  Фy(t )  ФK (t )  x(t ) .
3.2.1.3. Определение выходного сигнала у(t) при заданных входном сигнале x(t)
и характеристиках устройства К(j) или К(р)
Эту задачу можно решать тремя методами.
1. Спектральный метод. Алгоритм решения определяется равенством






y(t )   1 F y ( j)   1 F x ( j)  K ( j)   1 K ( j)  x(t ) .
(3.20)
Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального представления сигнала поясняет схема на
рис.3.2.1. Решение задачи сводится к следующему. Определяется спектр входного сигнала. Умножая его на комплексный коэффициент передачи, находят спектр выходного сигнала. Затем, применив обратное преобразование Фурье,
получают отклик устройства.
y(t) Fy(j)
x (t)  Fx(j)
K(j)
Fy(j)= Fx(j)•K(j)
Рис.3.2.1
2. Операторный метод. Порядок решения следует из равенства


y(t )  L1Y( p)  L1X( p)  K ( p)  L1 K ( p)  L x(t ) .
(3.21)
Этот метод подобен спектральному и отличается применением преобразования Лапласса.
3. Временной метод. Так как
F y ( j)  F x ( j)  K ( j)  F x ( j)  F g ( j) ,
где F g ( j) - спектральная функция импульсной функции g(t), то согласно теореме о свертке
t
F x  j   F g  j   x gt  d  

0
t
 xt  gd  xt  gt  ,
0
где  - обозначение свертки двух функций.
t
Следовательно, yt   x g t  d   xt  gt .

0
(3.22)
3.2.1.4. Оценка динамической погрешности преобразования
Качество работы реального устройства в динамическом режиме оценивается динамической погрешностью, которая обычно устанавливается путем сопоставления результатов преобразования входного сигнала для идеального и
реального устройства. Под динамической погрешностью во временной области понимают разность откликов реального и идеального ЛУ, т.е.
(t )  y ре ал(t )  y ид е ал(t ) .
(3.23)
Динамическую погрешность можно определить и в частотной области как преобразование Фурье функции (t ) ,
а именно




F   j  K  j  K ид  j F x  j или  p  K  p  K ид  p X p ,
(3.24)
где K(j) и Kид(j) - комплексные частотные коэффициенты передачи соответственно реального и идеального


устройств. При этом (t )  Ф 1 F  ( j) . Отсюда следует, что динамическая погрешность зависит как от характеристик устройства, так и от вида входного сигнала.
Вид комплексного коэффициента передачи идеального устройства зависит от характера его преобразования
(масштабирование, дифференцирование, интегрирование и т.д.) и от формулировки требований, предъявляемых к
операции преобразования.
В технике наиболее распространенной операцией является масштабирование. Масштабирующее устройство
(датчик) должно обеспечивать неискажаемую передачу входного сигнала. Для этого достаточно, чтобы отклик был
точной копией входного сигнала. При этом допускается различие в амплитуде, так как важна форма, а не величина
отклика. Кроме того, часто допускается запаздывание во времени выходного сигнала относительно воздействия.
Поэтому можно считать, что сигнал x(t) передается без искажений, если отклик устройства y(t )  K  x(t  t 0 ) ,
где K - масштабный коэффициент, равный частотному коэффициенту передачи K(0) на нулевой частоте, и t 0 - время
запаздывания. На основании свойства временного сдвига преобразования Фурье имеем
F y ( j)  K ид ( j)F x ( j)  K (0)F x ( j)e
 jt 0
.
Следовательно, при масштабировании идеальное (неискажающее) устройство должно иметь комплексный коэффициент передачи
K ид ( j)  K ид ()  e
j ид ( )
 K (0)e
 jt 0
.
(3.25)
Отсюда следует, что АЧХ такого утройства должна быть постоянна на всех частотах и равна K(0), т.е. K ид ()  K (0) .
С другой стороны, ФЧХ должна быть линейной функцией частоты, т.е.  ид ()    t 0 . Если запаздывание выходного сигнала недопустимо, то ФЧХ  ид ()  0 .
3.2.1.5. Определение энергетических характеристик выходного сигнала
Задача определения энергетических характеристик выходного сигнала решается на основании теоремы Парсеваля и понятия энергетических характеристик в частотной области. В результате на выходе имеем:
а) спектральную плотность энергии
2
2
E y ()  F y ( j)  K ( j)F x ( j)  K 2 ()E x ()  K p ()E x () ,
где E x () - спектральная плотность энергии входного сигнала, E x ()  F x ( j)
2
(3.26)
 A 2x () ;
2
K p ()  K ( j)  K 2 () - частотный коэффициент передачи мощности;
б) энергию
1
Ey 



0

2

1
1
F y ( j) d  
K 2 ()E x ()d  
K 2 ()A 2x ()d  ;




0
(3.27)
0
в) спектр плотности мощности
2
S y ()  lim
Fy
t m 
tm
2
( j)
tm
K ( j)F y
 lim
t m 
tm
( j)
tm
 K 2 ()S x () ,
(3.28)
где S x () - спектральная плотность мощности входного сигнала;
г) среднюю мощность

Py 

1
1
S y ()d  
K 2 ()S x ()d  .



0

0
Для периодических сигналов формула (3.29) с учетом (1.10) приводится к виду
(3.29)

Py 

k 0
K 2 ( k )Px ( k )  a 20x K 2 (0) 
1
2

 A 2kx K 2 ( k ) .
(3.30)
k 1
3.2.1.6. Коррекция динамических характеристик устройства
При разработке масштабирующих устройств для улучшения их динамических свойств стремятся по возможности получить постоянную АЧХ в широком диапазоне частот. Расширение полосы пропускания устройства можно достигнуть путем включения корректирующих звеньев со специально подобранной комплексной частотной характеристикой. Корректирующие звенья обычно включают последовательно и в виде отрицательной обратной связи
(рис.3.2.2).
x(t)
“-”
y(t)
x(t)
K(j)
y(t)
K(j)
K1(j)
Koc(j)
Рис.3.2.2
Условие последовательной идеальной коррекции
K  ( j)  K  const , где K  ( j)  K ( j)K 1 ( j) .
Отсюда следует, что последовательное корректирующее звено должно иметь комплексный коэффициент передачи
вида
K
.
(3.31)
K 1 ( j) 
K ( j)
В случае коррекции посредством отрицательной обратной связи, когда
K ( j)
,
K  ( j) 
1  K ( j)K oc ( j)
необходимо выполнение условия K(j)Koc(j)>>1. Тогда получим
1
,
K  ( j) 
K oc ( j)
(3.32)
т.е. частотные характеристики скорректированного устройства определяются звеном обратной связи. В частности, при
Koc(j)= получим идеальную коррекцию путем введения отрицательной обратной связи
K  ( j)  1 .
