МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)»
(СПбГЭТУ «ЛЭТИ»)
ОТЧЕТ
по курсовой работе
на тему:
Исследование линейной цепи в переходных
-------------------------------------------------------------------------------------------------------и установившимся периодическом режимах.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Дисциплина
Теоретические основы электротехники
-----------------------------------------------------------------------------------------------------для подготовки бакалавров по направлению
«Электроэнергетика и электротехника»
Профиль подготовки
«Электропривод и автоматика»
Факультет Электротехники и автоматизации
Кафедра Робототехники и автоматизации производственных систем
Выполнил:
Студент(ы) группы ___3403___
__Троицкий Г.М._____
_____________
Ф.И.О.
подпись
Проверил:
Соклакова М.В.
_____________
подпись
«
» ___________ 201__г.
Санкт-Петербург
2015
1
СОДЕРЖАНИЕ
Исходные данные…………………………………………………………………………...…….3
Нормирование параметров цепи…………………………………………………………………4
1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
1.1. Уравнения состояния цепи для t>=0…….…………………………………………………..5
1.2. Аналитическое решение ……………………………………………………………………..6
1.3. Численное решение методом Эйлера………………………………………………………..8
1.4. Аналитические и численные решения уравнений состояния……………………………...9
2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии
2.1. Определение функции HI(S)……………………………………………….…........................11
2.2. Нахождение нулей и полюсов функции…………………………………………………….12
2.3. Определение переходной и импульсной характеристики……………………….…….......12
2.4. Изображение заданного входного воздействия………………………….……………..…..13
2.5. Определение тока на выходе цепи……………………………………...……….…………..13
2.6. Графики переходной и импульсной характеристик, входного и выходного сигнала……15
3. Качественный анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии
3.1. Частотные характеристики функции передачи……………………………………………..18
3.2. Полоса пропускания цепи…………………………………………………………………....19
3.3. Амплитудный и фазовый спектры апериодического входного сигнала………………….20
3.4. Заключение об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи………………………...21
4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии
4.1. Разложение в ряд Фурье входного периодического сигнала…………...………………....20
4.2. Разложение в ряд Фурье выходного периодического сигнала…………...……………….22
4.3. График входного и выходного периодических сигналов…………………..……………..24
Выводы…………………………………………………………………………………………....25
Список использованной литературы…………..………………………………………………..26
2
Исходные данные
Цель работы: практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей.
Исходная цепь:
Целью курсовой работы является практическое освоение современных методов
количественного и качественного анализа линейной электрической цепи при различных
воздействиях в переходном и установившемся режимах с применением вычислительной
техники.
𝑹𝟏 = 𝑹𝟑 = 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟑 Ом, 𝑹𝟐 = 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟑 Ом,
𝑪𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟔 Ф, 𝑳𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟑Гн
𝟑
𝑹н = 𝟏𝟎 Ом,
𝒊𝟎 (𝒕) = 𝑰𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕,
𝒖𝟎 (𝒕) = 𝑼𝟎 𝜹𝟏 (𝒕)
−𝟑
𝑼𝟎 , В = 𝟔, 𝑰𝟎 , А = 𝟒 ∙ 𝟏𝟎 , 𝑰𝒎 , А = 𝟒 ∙ 𝟏𝟎−𝟑
𝒕и , с = 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟓 ,
𝑻, с = 𝟏𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟓
3
Нормирование параметров цепи
𝑅б , 𝑇б – независимые величины, где
𝑹б = 𝑹𝑯 = 𝟏𝟎𝟑 Ом,
𝒕б = 𝟏𝟎−𝟓 𝒄.
𝑈б = 𝑅б · 𝐼б .
Получим следующие значения нормированных параметров:
𝑅1
𝑅1∗ =
=
𝑅б
𝑅2
𝑅2∗ =
=
𝑅б
𝑅3
𝑅3∗ =
0,5·103
103
1·103
103
= 0,5 ;
=1 ;
= 0,5 ;
𝑅б
103
𝑅
𝑅н∗ = 𝑅н = 103 = 1 ;
б
𝐿∗ = 𝑅
𝐶∗ =
𝐼∗ =
𝐿
=3 ;
б 𝑡б
𝐶𝑅б
𝑡б
𝐼𝑅б
𝑈б
= 3,3 ;
=4 ;
𝑈
𝑈0∗ = 𝑈 = 6 ;
б
𝑡и∗ = 10 ;
𝑇∗ = 15 .
Для простоты записи знак нормировки «*» в дальнейшем опускаем.
4
5
6
7
1.3 Численное решение методом Эйлера.
𝑖𝐿 ((𝑛 + 1)𝛥𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑛𝛥𝑡) + 𝛥𝑡 𝑖𝐿 ′(𝑛𝛥𝑡)
𝑈𝐶 ((𝑛 + 1)𝛥𝑡) = 𝑈𝐶 (𝑛𝛥𝑡) + 𝛥𝑡 𝑈𝐶 ′(𝑛𝛥𝑡)
1
𝜏 = − = 6.369
𝑝
𝜏=
2𝜋
𝜔
4
=5
3𝜏 = 19.107
1
𝛥𝑡 = 𝑚𝑖𝑛{6.369; 5}
5
8
Δt
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
15
15,5
16
16,5
17
17,5
18
18,5
19
19,5
20
20,5
21
21,5
22
22,5
23
23,5
24
24,5
25
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Uc ч
0,941385
0,992272
1,087792
1,221312
1,385695
1,573545
1,777439
1,990149
2,204824
2,415156
2,615512
2,801039
2,96773
3,112466
3,233031
3,328091
3,397158
3,440532
3,459217
3,454839
3,429538
3,385867
3,32668
3,255025
3,174039
3,086854
2,996503
2,905846
2,8175
2,733789
2,656699
2,587857
2,528507
2,479518
2,441383
2,414243
2,397914
2,391917
2,395519
2,40778
2,427591
2,453726
2,484886
2,51974
2,55697
2,595304
2,633548
2,670619
2,70556
2,737556
iL ч
2,4895
2,174573
1,885598
1,628564
1,408028
1,2271
1,087491
0,989579
0,932518
0,914366
0,932242
0,982486
1,060831
1,162582
1,282784
1,416389
1,558407
1,704042
1,848816
1,988666
2,120026
2,239883
2,345816
2,436016
2,509278
2,564991
2,603095
2,624041
2,62873
2,61845
2,594801
2,55963
2,514949
2,462866
2,405517
2,345001
2,283325
2,222353
2,163766
2,109031
2,059375
2,015774
1,978944
1,949346
1,927194
1,91247
1,904946
1,904208
1,909682
1,92067
Uc ан
0,965751
1,034827
1,141509
1,2788
1,439643
1,617119
1,804617
1,995982
2,185626
2,36862
2,540756
2,698578
2,839396
2,961273
3,062995
3,144024
3,20444
3,244872
3,266417
3,270563
3,259102
3,234054
3,197583
3,151923
3,099314
3,041935
2,981858
2,920998
2,861085
2,803629
2,749913
2,700977
2,657617
2,620392
2,589635
2,565467
2,547819
2,536453
2,530987
2,530923
2,535671
2,544575
2,556941
2,572055
2,589209
2,607716
2,626929
2,646252
2,665151
2,683164
iL ан
2,499969
2,202012
1,934422
1,701092
1,504567
1,346118
1,225849
1,142825
1,095205
1,080397
1,095207
1,135992
1,198806
1,279541
1,374057
1,478294
1,588374
1,700688
1,811961
1,919304
2,020251
2,112779
2,195315
2,266724
2,3263
2,37373
2,409065
2,432677
2,445213
2,447547
2,440733
2,425958
2,404492
2,377647
2,346737
2,31304
2,277772
2,242055
2,206903
2,173202
2,141703
2,113015
2,087603
2,065794
2,047782
2,033638
2,023319
2,016685
2,013512
2,013505
9
1.4 Графики численных и аналитических решений.
Зависимость Uc(t)
3,5
3
Uc
2,5
2
Uc ч
1,5
Uc ан
1
0,5
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Зависимость iL(t)
2,5
2
1,5
iL
iL ч
1
iL ан
0,5
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Разброс численного и аналитического решения обусловлен тем, что шаг вычисления слишком
большой.
10
11
12
13
2.5 Плоскость комплексной частоты
14
2.6 График переходной и импульсной характеристик.
График входного и выходного сигналов.
15
3. Качественный анализ цепи частотным методом при апериодическом
воздействии
3.1. Частотные характеристики функции передачи
Обобщённая частотная характеристика (АФХ):
𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑆)|𝑆=𝑗𝜔
=
1
44,55(𝑗𝜔)2 +13,95∙(𝑗𝜔)+5,5
1
= (5,5−44,55𝜔2)+𝑗∙(13,95∙𝜔)
График АФХ имеет полярный вид и строится по следующей формуле: 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐴(𝜔) ∙ 𝑒 𝑗∙Φ(𝜔) ,
где 𝐴(𝜔) – амплитудно-частотная характеристика;
Ф(𝜔) – фазо-частотная характеристика.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):
𝐴(𝜔) = |𝐻 (𝑗𝜔)| =
1
√(5,5−44,55𝜔2 )2 +(13,95∙𝜔)2
.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ):
13,95 ∙ 𝜔
Ф(𝜔) = arg(𝐻(𝑗𝜔)) = Фчисл (𝜔) − Фзнам (𝜔) = 0 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
)
5,5 − 44,55𝜔 2
16
АЧХ и ФЧХ
АФХ
17
3.2. Полоса пропускания цепи
Полосу пропускания определяем на уровне
𝐴𝑚𝑎𝑥 (𝜔)
√2
= 0,707 ∙ 0,228 = 0,161
Полоса пропускания: ∆𝜔ПП = 0,416 − 0 = 0,416
3.3. Амплитудный и фазовый спектры апериодического входного сигнала
Определим спектральные характеристики входного сигнала.
Комплексный спектр импульсного воздействия равен:
𝐼0 (𝑗𝜔) = 𝐼0 (𝑆)|𝑆=𝑗𝜔 =
=
=
4
𝑗𝜔
16
𝜔
4
𝑗𝜔
· (𝑒
−5·(𝑗𝜔)
2
∙ 𝑒 −𝑗∙5𝜔 · (𝑒 −2,5𝑗𝜔 − 𝑒 2,5𝑗𝜔 ) =
∙ 𝑒𝑗(90−5𝜔) · (𝑠𝑖 𝑛(2,5𝜔))
2
− 1) =
4
𝑗𝜔
4
𝑗𝜔
·(
𝑒 −2,5𝑗𝜔
𝑒 2,5𝑗𝜔
−
𝑒 2,5𝑗𝜔
𝑒 2,5𝑗𝜔
2
) =
∙ 𝑒 −𝑗∙5𝜔 · (−2𝑗 · 𝑠𝑖 𝑛(2,5𝜔))2
2
Амплитудный спектр одиночного импульса воздействия:
𝐴0 (𝜔) = |𝐼0 (𝑗𝜔)| = |
16
𝜔
2
∙ (𝑠𝑖 𝑛(2,5𝜔)) |
Фазовый спектр одиночного импульса воздействия:
Ф0 (𝜔) = arg(𝐼0 (𝑗𝜔)) = 𝜋/2 − 5𝜔 ,
(𝑠𝑖 𝑛(2,5𝜔))2 ≥ 0
18
3.4. Заключение об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи
График амплитудного спектра одиночного импульса воздействия:
Ширина спектра импульсного входного сигнала, определенная по 10%-му
амплитудному
критерию (см. Рисунок 14, а), ∆𝜔сп = [0,02; 9,625] .
Сравнение ширины спектра воздействия ∆𝜔сп = [0,02; 9,625] и полосы пропускания
∆𝜔пп = [0; 0,416] цепи показывает, что спектр входного не укладывается в полосу
пропускания, следовательно, сигнал будет иметь искажения.
19
4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии
4.1. Разложение в ряд Фурье входного периодического сигнала
Для получения спектральных характеристик входного периодического сигнала
используем связь спектральных характеристик одиночного и периодического
сигналов.
Амплитудный спектр входного периодического сигнала:
𝐴0 𝑘 =
2
∙ 𝐴 (𝜔)|𝜔=𝑘∙𝜔1
𝑇 0
Фазовый спектр входного периодического сигнала:
Ф0 𝑘 = Ф0 (𝜔)|𝜔=𝑘∙𝜔1 , где 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 ; где 𝑁– число гармоник отрезка ряда
Фурье.
Число гармоник отрезка ряда Фурье определяется шириной спектра по уровню
0,1 ∙ 𝐴0𝑚𝑎𝑥 𝑘 аналогично Пункту 3.4.
Частота основной гармоники:
𝜔1 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
15
≈ 0.419 .
Значения амплитуд 𝐴0 𝑘 и фаз Ф0 𝑘 гармоник ряда Фурье приведены в Таблице 4.
Таблица дискретных спектров входного периодического сигнала
Ω
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A0k
0
0,419
0,838
1,257
1,676
2,095
2,514
2,933
3,352
0
3,819949124
1,907973806
1,39724E-06
0,95598661
0,762388383
2,79447E-06
0,546848507
0,475991506
Ф0k
1,57
-0,525
-2,62
-4,715
-6,81
-8,905
-11
-13,095
-15,19
20
График амплитудного и фазового спектра периодического входного сигнала
Запишем отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий входное периодическое
воздействие при N=3:
𝑁
𝐴0
𝑖0_пер (𝑡) ≈ 0 + ∑ 𝐴0 𝑘 ∙ cos(𝑘𝜔1 𝑡 + Ф0 𝑘 )
2
𝑘=1
21
4.2. Разложение в ряд Фурье выходного периодического сигнала
Запишем выражения для амплитудного и фазового дискретных спектров реакции
при периодическом воздействия, а также выражение отрезка ряда Фурье:
𝐴𝑅н 𝑘 = 𝐴0 𝑘 ∙ 𝐴(𝑘𝜔1 )
Ф𝑅н 𝑘 = Ф0 𝑘 + Ф(𝑘𝜔1 )
𝜔1 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
15
𝑖𝑅н_прибл (𝑡) ≈
ряда Фурье.
≈ 0.419– частота основной гармоники.
𝐴𝑅н 0
2
+ ∑𝑁
𝑘=1 𝐴𝑅н 𝑘 ∙ cos(𝑘𝜔1 𝑡 + Ф𝑅н 𝑘 ) , где 𝑁– число гармоник
Результаты всех вычислений сведены в Таблице 4, а на Рисунке 16(а, б)
построены дискретные амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.
Результаты всех вычислений
ω
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A0k
0
0,419
0,838
1,257
1,676
2,095
2,514
2,933
3,352
0
3,81994912
1,90797381
1,40E-06
0,95598661
0,76238838
2,79E-06
0,54684851
0,47599151
Ф0k
1,57
-0,525
-2,62
-4,715
-6,81
-8,905
-11
-13,095
-15,19
АЧХ
ФЧХ
Анk
Фнk
0,18182
0
0
1,57
0,15901 -1,185
0,607392
-1,71
0,03532
-2,71
0,067393
-5,33
0,01488
-2,87
2,08E-08 -7,585
0,0082
-2,95
0,007842
-9,76
0,0052
-2,99
0,003965 -11,895
0,00359
-3,01
1,00E-08 -14,01
0,00263 -3,155
0,001439 -16,25
0,00201
-3,05
0,000957 -18,24
22
График амплитудного и фазового спектра периодического выходного сигнала
Таким образом, получим:
23
4.3. Графики входного и выходного периодических сигналов
График входного периодического сигнала
График аппроксимации выходного сигнала при периодическом воздействии
24
Выводы:
Освоили основные методы анализа линейных электрических цепей, а именно:
1) Временная область;
2) Операторный метод;
3) Частотный метод;
4) Гармонический анализ.
В процессе частотного метода было определено искажение сигнала после
сравнения ширины спектра и полосы пропускания. В ходе гармонического анализа
были так же получены искаженные сигналы, что связано со способом их
нахождения.
25
Список используемой литературы
1. Анализ электрических цепей. Учебное пособие к курсовой работе по
теоретической электротехнике / Под ред. Бычкова Ю.А., Соловьевой Е.Б.,
Чернышева Э.П. СПб.: СПбГЭТУ ≪ЛЭТИ≫, 2011. – 176 с.
2. Основы теоретической электротехники / Ю. А. Бычков, В. М.
Золотницкий, Э. П. Чернышев, А. Н. Белянин. – СПб.: Издательство
«Лань», 2008.
3. Теоретические основы электротехники. Справочник по теории
электрических цепей / Под ред. Ю.А. Бычкова, В.М. Золотницкого, Э.П.
Чернышева. – СПб.: Питер, 2008.
4. Сборник задач по основам теоретической электротехники: Учебное
пособие / Под ред. Ю.А. Бычкова, В.М. Золотницкого, Э.П. Чернышева,
А.Н. Белянина, Е.Б. Соловьевой. – СПб.: Издательство «Лань», 2011.
26
