МНОЖЕСТВА ЖЮЛИА И ИХ ДОПОЛНЕНИЯ

МНОЖЕСТВА ЖЮЛИА И
ИХ ДОПОЛНЕНИЯ
Андреев А.Д.
Группа 441, Специальность 09.02.03 «Программирование в компьютерных
системах»
Научный руководитель: Чемкаева Д.В.
ФРАКТАЛ
Фрактал — математическое множество,
обладающее свойством самоподобия.
Термин «фрактал» введён Бенуа
Мандельбротом в 1975 году.
МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА
ФРАКТАЛЫ В КОМПЛЕКСНОЙ
ДИНАМИКЕ
• Пусть F(z) — многочлен, 𝑧0 — комплексное число. Рассмотрим
следующую последовательность:
𝑧0 , 𝑧1 = 𝐹 𝑧0 , 𝑧2 = 𝐹(𝐹 𝑧0 =F(𝑧1 ), 𝑧3 = 𝐹(𝑧2 ), …
МНОЖЕСТВО ЖЮЛИА
2
𝑓 𝑧 =𝑧 +𝑐
Квадратичный
комплексный полином
Множество Жюлиа полинома f(z) = z2 + c - такое
подмножество множества комплексных чисел, для каждой
точки которого, поведение функции под действием
итераций является хаотичным, т.е. небольшие изменения в
начальных условиях в некоторой небольшой окрестности
начальной точки, значительно влияют на траекторию.
ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА
ЖЮЛИА
•𝑅 =
𝑛
1+ 1+4 𝑐
2
• 𝑓 (𝑧0 ) > 𝑅 ⟹ 𝑧0 ∉ 𝐾(𝑓)
R – Радиус шара
K(f) – Заполненное множество
АЛГОРИТМ
1. Выбираем с для задания полинома f(z) = z2 + с
2. Вычисляем R для заданного полинома f(z) = z2 + с
3. Выбираем параметр maxIter для обозначения максимальной
итерации. Чем maxIter выше, тем лучше точность, и тем
медленнее алгоритм
4. Генерируем массив цветов, всего maxIter штук. От менее яркого
к более яркому цвету обозначим то, на сколько далеко точка
расположена от множества Жюлиа
5. Для каждой точки вычисляем является ли она частью
заполненного множества Жюлиа или нет, а так же номер
итерации на которой порог был превышен
6. Если |z| > R то используем первый цвет, далее используем тот
цвет, на каком номере итерации был превышен порог
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
• Арнольд, К. Язык программирования Java / К. Арнольд, Д. Гослинг. - СПб.: Питер,
2012. - 304 с.
• Божокин, СВ. Фракталы и мультифракталы / С.В. Божокин, В.А. Паршин. – М.:
Наука, 2011. - 128 с.
• Мандельброт, Б. Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса
/ М.М. Мандельброт. - М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. - 392
с.
• Монахов, В. Язык программирования Java и среда NetBeans / В. Монахин. СПб: БХВ-Петербург, 2011. - 704 с.
• Морозов, А.Д. Введение в теорию фракталов / А.Д. Морозов. – М.: Институт
компьютерных исследований, 2012. - 160 с.
• Ричард, М. Фракталы и хаос в динамических системах / М. Ричард. - М.:
Постмаркет, 2012. - 352 с.
• Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. - М.: Мир, 2011. - 261 с.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ