РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ЛЕКЦИЯ 1.1. ВВЕДЕНИЕ ВО ФРАКТАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ СОДЕРЖАНИЕ 01 Введение. История возникновения. 02 Основные определения. 03 Классификация фракталов. 04 Примеры фракталов. Введение. 01 История возникновения. Фрактальная геометрия – это область математики, которая изучает геометрические фигуры, которые имеют фрактальную структуру. Фракталы характеризуются тем, что они имеют бесконечное количество масштабах. деталей на всех Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, создавая повторяющиеся структуры на разных уровнях. Например, кровеносная система и система альвеол человека или животных, снежинки, листья растений, кроны деревьев, горы, береговые линии океанов, облака и многие другие природные объекты также могут иметь фрактальную структуру. Основные 02 определения. Квазифрактал отличается от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы, и т.д.) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Мультифрактал – комплексный фрактал, который может детерминироваться не одним единственным алгоритмом построения, а несколькими последовательно сменяющими друг друга алгоритмами. Предфрактал – это самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется в упрощенном виде при уменьшении масштаба в конечное число раз. Количество уровней масштаба, на которых наблюдается подобие, называется порядком предфрактала. При порядке, стремящемся к бесконечности, предфрактал переходит во фрактал Фрактал – это геометрическая фигура, содержащая детализированную структуру в сколь угодно малых масштабах, обычно имеющая фрактальную размерность, строго превышающую топологическую размерность. Многие фракталы кажутся похожими в различных масштабах, как показано на последовательных увеличениях множества Мандельброта. Классификация 03 фракталов. Существуют следующие виды фракталов: • Геометрические фракталы. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трёхмерном случае), называемой генератором. • Алгебраические фракталы. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. • Стохастические фракталы. Получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. Примеры 04 фракталов. СНЕЖИНКА КОХА Снежинка Коха – один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. СКАТЕРТЬ И КОВЕР СЕРПИНСКОГО Еще один прорыв в мире фракталов случился через 10 лет после открытия кривой Коха, в 1915 году, когда Вацлав Серпинский построил свой знаменитый треугольник, а год спустя – свой ковер. КРИВАЯ ЛЕВИ Идея самоподобных кривых была продолжена Полем Леви, который в своей статье 1938 года «Плоские или пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, похожих на целое», описал новую фрактальную кривую, кривую Леви С. ГУБКА МЕНГЕРА Губка Менгера представляет собой обобщение ковра Серпинского на трехмерное пространство. Объем губки равен нулю, но она имеет бесконечно большую площадь. Впервые губка Менгера была описана Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологической размерности. МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга. МНОЖЕСТВО ЖЮЛИА Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жюлиа. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жюлиа это «если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные?» Фрактал Мандельброта – это, на самом деле, множество фракталов Жюлиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жюлиа. ПАПОРОТНИК БАРНСЛИ Одним из наиболее ярких примеров среди различных систем итерируемых функций, несомненно, является открытая М. Барнсли система из четырех сжимающих аффинных преобразований, аттрактором для которой является множество точек, поразительно напоминающее по форме изображение листа папоротника. КРИВАЯ ПЕАНО «ДРАКОН» Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на кривую Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. КРИВАЯ МИНКОВСКОГО Кривая Минковского – это фрактал, впервые предложенный и названный в честь Германа Минковского. Инициатором является отрезок линии, а генератором является ломаная линия, состоящая из восьми частей длиной в одну четвертую. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящее время для ученых изучение фракталов – это не просто новая область знаний. Это открытие нового типа геометрии, описывающего мир вокруг нас и который можно увидеть не только в учебниках, но и в природе, и везде в бесконечной Вселенной. Галилео Галилей сказал, что «великая книга Природы написана на языке геометрии». Теперь можно с уверенностью сказать, что она написана на языке фрактальной геометрии. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
