Амиргамзаев Ю.Г., учитель математики МКОУ «ЩаринскаяСОШ » с.Щара Лакский район РД Монотонность функции Точки экстремума, экстремумы функции Монотонность функции Повторим теорию Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких , что x1>x2, выполнено неравенство f(x1)> f (x2 ) y 1 0 1 y Монотонность функции Повторим теорию Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких , что x1>x2, выполнено неравенство f(x1)< f (x2 ) y 1 0 1 y Достаточный признак возрастания (убывания)функции Если f‘ (x)> 0 в каждой точке интервала P , то функция возрастает на P. f‘ (x) | + + | | f (x) Если f‘ (x)< 0 в каждой точке интервала P , то функция убывает на P. f‘ (x) f (x) - | | - | Исследование функции на монотонность с помощью производной y x 4 8x 2 8 D(y)=R y y 4 x 3 16 x 4 x 16 x 0 3 4 x( x 4) 0 2 x1 2 x2 0 x3 2 y - | -2 + | 0 - | 2 Функция убывает на промежутке ? Функция возрастает на промежутке ? + x Функция y=f(x) задана на отрезке [a; b].На рисунке изображен график ее производной. Исследуйте на монотонность функцию y=f(x). В ответе укажите количество промежутков, на которых функция убывает. y Функция возрастает убывает y f (x) f‘f‘(x)< (x)>00 при при x a;0 x c; b Ответ: 1 1 a 0 1 с b y На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания. y y = f /(x) 4 3 1 3 2 1 2 2 3 1 4 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5 f/(x) f(x) x 1 2 3 4 5 6 7 1 4 Функция у = f(x) определена на промежутке на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой y функции. 4 /(x) y = f 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 f/(x) f(x) -6 x -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 3 2 На рисунке изображен график функции y=f(x). Укажите длину наибольшего промежутка возрастания этой функции. y y f (x) 1 Ответ: 4 0 1 x Функция y=f(x) задана на промежутке (-6; 5).На рисунке изображен график ее производной. Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. y f‘ (x)< 0 y f (x) 1 0 Ответ: 4 1 x Классная работа № 283(а,б) № 285(а,б) Домашняя работа № 283(в,г) № 285(в,г) Точки экстремума, экстремумы функции y Точка x0 называется точкой максимума f(x0) функции, если для всех x из некоторой f(x0)≥ f (х ) окрестности выполнено неравенство : f(x0)≥ f (х ) f(x0)- максимум функции 1 0 1 x0 y Точки экстремума, экстремумы функции Точка x0 называется точкой минимума функции, если для всех x из некоторой окрестности выполнено неравенство : f(x0)≤ f (х ) f(x0)- минимум функции y 1 x0 0 1 y f(x0)≤ f (х ) f(x0) x max xmin Точки экстремума y min y max Экстремумы функции Критические точки Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. этой Необходимое условие экстремума Если точка x0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f‘ (x), то она равна нулю: f‘ (x)= 0 Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0, а f‘(x)>0 на интервале (a;x0) и f‘(x)<0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой максимума функции f f f - | -2 + | 0 - | 2 + x max Упрощенное правило: Если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума . Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0, а f‘(x)<0 на интервале (a;x0) и f‘(x)>0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой минимума функции f. f f - | -2 xmin + | 0 - | 2 + xmin Упрощенное правило: Если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума . Найдите точки экстремума функции f f(x)=3x-x3 D(y)=R f f‘ (x)=3-3x2 Критические точки f‘ (x)= 0 x=±1 f‘ (x)- не существует Таких значений x нет. + | -1 xmin Ответ: | 1 - x max xmin 1 x max 1 x График функции y xmin1 √3 0 1 x max x Классная работа № 290(а,б) № 292(а,б) Домашняя работа № 290 (в,г) № 292(в,г)