Алгоритм нахождения экстремумов функции и интервалов ее

Алгоритм нахождения экстремумов функции и интервалов ее
монотонности с помощью первой производной
1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
2. Найти производную функции f '(x).
3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области
определения функции, в которых производная f '(x) обращается в нуль или не существует.
4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f '(x) в промежутках,
на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x).
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой
максимума, минимума или не является точкой экстремума.
Помни: критическая точка x0 есть точка минимума, если она отделяет промежуток,
в котором f '(x)<0, от промежутка, в котором f '(x)>0, и точка максимума - в
противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической
точкой x0, знак производной не меняется, то в точке x0 функция экстремума не
имеет.
6. Вычислить значения функции в точках экстремума.
7. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.
____________________________________________________________________________
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x3–3x2 и найти ее промежутки
монотонности.
Решение:
1) Функция определена для всех х R. Найдем производную: f '(x)=3x2–6x.
2) Из уравнения 3x2–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x1=0 и x2=2.
3) Так как при переходе через точку x1=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в
этой точке функция имеет максимум.
4) При переходе через точку x2 =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в
точке x2 = 2 у функции минимум.
5) Составим таблицу:
x
(   ;0]
0
[0; 2]
2
[2; +  )
f '(x)
+
0
–
0
+
f (x)
↑
fmax(0) = 0
↓
fmin(2) = – 4
↑
6) Таким образом, данная функция в промежутке от   < x  0 возрастает, в промежутке
от 0  x  2 убывает, а в промежутке от 2  x < +  опять возрастает.
Ответ: (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;
функция возрастает (   ;0] и [2; +  ), функция убывает [0; 2].
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) =
х
и найти ее промежутки
х 4
2
монотонности.
Решение:
1) Функция определена для всех х R, кроме х  2.
2) Найдем производную: f '(x)=


1 х2  4  х  2х
х
2
4

2

 х2  4
х
2
4

2

х2  4
х
2
4

2
.
3) Заметим, что производная не обращается в ноль и отрицательна для всех х  R, кроме
х  2 . Значит, точек экстремума нет, и функция является убывающей на всей области
определения.
4) Таким образом, данная функция убывает на промежутках:
  < x <-2; -2<x<2 и 2<x< +  .
Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (   ;-2) , (-2; 2) и (2; +  ).
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию f(x) = lg( x 2  9) и найти ее промежутки
монотонности.
Решение:
1) Функция определена если x 2  9  0 , т.е. на интервалах (-  ; -3) и (3; +  ).
2x
2) На каждом из этих интервалов функция имеет производную f ( x) 
.
( x  3)( x  3)
3) Заметим, что производная не обращается в ноль на интервалах (-  ; -3) и (3; +  ),
значит, точек экстремума нет.
4) Так как f ( x)  0 для любых x >3 и f ( x)  0 для x < -3, то функция убывает на
промежутке (-  ; -3) и возрастает на промежутке (3; +  ). Функция не определена на
отрезке [-3; 3].
Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (-  ; -3), возрастает (3; +  ).
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию f(x) = 25  х 2 и найти ее промежутки
монотонности.
1) Функция определена, если 25  x 2  0 , т.е. на промежутке [-5; 5].
 2x
х
2) Найдем производную функции f ( x) 
.

2 25  х 2
25  х 2
3) f ( x)  0 при х = 0, значит 0 – критическая точка.
4) Так как при переходе через точку x =0 производная меняет знак с плюса на минус, то в
этой точке функция имеет максимум.
5) Таким образом, данная функция в промежутке от -5  x  0 возрастает, в промежутке от
0  x  5 убывает.
Ответ: (0; 5) – точка максимума; функция возрастает [-5;0] и функция убывает [0; 5].
Приложение.
Схематическое изображение графиков функций, рассмотренных в примерах 1-4.
Пример 1.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 2.