Метод приближенного определения корней

Масленников Валерий Викторович
НИЯУ «МИФИ», г. Москва
Метод
приближенного определения корней
кубического уравнения с
положительными коэффициентами и
комплексно-сопряженными корнями
Схема Рауха
τ1  R1C ; τ 2  R2C (C1  C2  C ); K оу 
K0
T
; x
1  pT
τ1
Характеристическое уравнение в идеальном случае 1  2 1 p   1 2 p
Добротность полюса
2
0
2
q0  0.5
1
При учете частотных свойств ОУ характеристическое уравнение принимает вид
1
T   2  2 1 1  K 0 
1  K0
p
 21   2  T  1 2 1  K0  p 2  1 2T
1  K0
1  K0
p3  0
Добротность полюса можно рассчитать по следующей приближенной формуле
q p  q0
q0 f p
x
1
 q0 (1 
)
K0
f1
Точная формула для расчета добротности схемы Рауха при
учете частотных свойств операционного усилителя,
полученная с использованием формул Кардано
qp 
 4 T  2 1   2   ( K 0  1 1 2 )  
3
23

3 3 4T 1 2
2  2 T  2 1   2    K 0  1 1 2   3T 1 2 T  2 1  K 0  1   2 
2
2
 T  2     ( K  1) 

3
T


T

2

K

1



T
2




K

1













1
2
1
0
2
1
2
0
1
2
1
2
0
1 2

 
 3

3

3T 1 2

6 2T 1 2
3 4T 1 2


2


3T 1 2 T  2 1  K 0  1   2   T  2 1   2    K 0  1 1 2 

3  3

 6 2T 1 2
3 3 4T 1 2


4 3T 1 2 T  2 1  K 0  1   2   T  2 1   2    1 2  K 0  1 

2 3
2


T 3 16 13  2 23  3 1 2 2  6 12 2  

 


  3T 2 1 2  2 2  2 K 0  1  2 1 2  4 K 0  1  4 12  K 0  1   

2
3
 3T 12 2 2  2  2 K 0 2  K 0  1  2 1  K 0  1  2 13 23  K 0  1 




3
2



3
3
3
2
2
T
16


2


3



6





1
2
1
2
1
2




2
2
2
  3T  1 2  2  2 K 0  1  2 1 2  4 K 0  1  4 1  K 0  1   

2
3
 3T 12 2 2  2  2 K 0 2  K 0  1  2 1  K 0  1  2 13 23  K 0  1 








2
,


Устойчивые полиномы
ax  bx  cx  d  0
3
2
a  0, b  0, c  0, d  0
bc  ad
При этом уравнение будет иметь два комплексно-сопряженных и
один отрицательный действительный корень, если выполняется
условие
b c  18abcd  4b d  4ac  27a d
2 2
3
3
2
2
Комплексно-сопряженные корни
a2 x  a1 x  a0  0
2
x1,2 
a1  j 4a0 a2  a12
2a2
x1.2    j 
  2  2

cos  
2  2
0 | x1,2 |  2   2   ,
2  2
1
q0 

.
2
2cos 
a0 a2
a0
0 
, q0 
.
a2
a1
x1,2  
0
2q0
j
0 4 q  1
2
0
2q0
Нормированный вид кубического
уравнения
b 2 c
d
x  x  x 0
a
a
a
 x  x1  x  x2  x  x3   0, где x1,2    j x3  
3
2
2
2
х

х
х

х

х

2

x




, H ( x)  ( x  x3 )
 1  2 
x
x

p

, q0 = 0
2
 2   2 0

p
2
2
F ( p)  0 ( p   1), H  p    p0     0  p  1  , где 1 
0
q
1
1
3
2
2
x  0 (  1 ) x  0 (1  ) x  103  0, где
F ( x) 
q0
b
1
 0 (  1 ),
a
q0
q0
1
c
2
 0 (1  ),
a
q0
d
 103
a
q0 x 3  0 (1  1q0 ) x 2  02 (q0  1 ) x  q0103  0
Параметры, определяющие границы
целесообразного применения
предложенных формул:
b d (q01 +1) 1
Z= 3 =
3
ac
(q0 +1 )
3
3
(q0 +2 )
ac
Y= 3 =
b d (q02 +1)3 2
При 1 = 2 = 1
Пусть 2 =
1
1
, получаем
3
Z = Y =1
3
Формулы для определения частоты
действительного корня
1
1
2
2
x  0 (  1 ) x  0 (1  ) x  103  0
q0
q0
3
1  1
1  b a
1  1
1  d c
10 
1  q01
1 
 1 (1  1 )
q0
1 
1  1
2
q01
1

q0  1 1   2
ab  ad

2ac
1 
2 
1
q01
1
q0
Формулы для определения частоты
комплексно-сопряжённых корней
1
1
2
2
x  0 (  1 ) x  0 (1  ) x  103  0
q0
q0
3
q01
1

1  q01
1  1
1  1
d
01 
b
01 
1  1
c
02 
a
q0  1
02 
 1  2
q0
03 
01  02
2
1 d
c
 (

)
2 b
a
1 
2 
1
q01
1
q0
Формулы для определения
добротности комплексносопряжённых корней
1
1
2
2
x  0 (  1 ) x  0 (1  ) x  103  0
q0
q0
3
3
2
b bd
(1  q01 ) q01 (1  q01 )
(1


)
2
1
1  1 q1 
q1 
 q0
2
bc  ad
q01  q0  1
1   2  1 2
c ca
1  1 q2 
bc  ad
1 
1
q01
q2 
(q0  1 ) q0 (q0  1 )
2 
q012  q0  1
1
q0
3
(1   2 ) 2 1
 q0
1   2  1 2
12 
2
1
Формулы для определения
добротности комплексносопряжённых корней
q3  q1  q2 
(1  q01 ) q01 (1  q01 )  (q0  1 ) q0 (q0  1 )
q012  q0  1
Заключение
Предложенные формулы:
• достаточно просты и удобны;
• обеспечивают приемлемую погрешность в
большинстве случаев;
• позволяют проводить анализ и оптимизацию
как технических систем, так и физических
объектов;
• могут служить для получения начальных
условий при проведении численных расчетов
на ЭВМ
БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ!
ССЫЛКИ
• Ляпунов А.М. Избранные труды – М.: АН СССР, 1948. –
542 с.
• Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория
автоматического управления техническими системами:
Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГТУ, 1993. - 493 с., ил.
• Справочник по теоретическим основам
радиоэлектроники. Под редакцией Б.Х. Кривицкого. Т.2
– М.: Энергия, 1977. – 471 с.
• Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по
математике. – Изд. 7-е – М.: ГИТТЛ, 1957 – 609 с.
• Масленников В.В., Сироткин А.П. Избирательные RCусилители. – М.: Энергия, 1980. – 216 с.: ил.
ССЫЛКИ
• http://mas.phpdp.com/Mr_J_Parasuraman/img35.jpg
Доказательства
#
#