Задания: по теме: «Булева алгебра. Операционное исчисление» по дисциплине
«Математические основы автоматического управления»
1. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формулы:
𝑓 ≡⌝ ((𝑥 → (𝑦 → 𝑧)) → ((𝑥 → 𝑦) → (𝑥 → 𝑧))).
Привести формулу к виду КНФ или ДНФ. Найти СКНФ. Построить релейно-контактную
схему.
Решение
Произведем логические преобразования, учитывая, что 𝑥 → 𝑦 ≡ 𝑥̅ ∨ 𝑦 и используя законы
поглощения, де Моргана
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑓 ≡ ((𝑥̅
∨ (𝑦̅ ∨ 𝑧)) ∨ ((𝑥̅
∨ 𝑦) ∨ (𝑥̅ ∨ 𝑧))) = ((𝑥 ∧ (𝑦
̅ ∨ 𝑧)) ∨ (𝑥𝑦̅ ∨ (𝑥̅ ∨ 𝑧))) =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
((𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅) ∨ (𝑥𝑦̅ ∨ 𝑥̅ ∨ 𝑧)) = ((𝑥
∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅) ∨ (𝑦̅ ∨ 𝑥̅ ∨ 𝑧)) =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑥
∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅) ∧ (𝑦
̅ ∨ 𝑥̅ ∨ 𝑧) = (𝑥̅ ∨ 𝑦̅ ∨ 𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧̅) =
(𝑥̅ (𝑦̅ ∨ 𝑦)(𝑧̅ ∨ 𝑧) ∨ 𝑦̅(𝑥̅ ∨ 𝑥)(𝑧̅ ∨ 𝑧) ∨ 𝑧(𝑥̅ ∨ 𝑥)(𝑦̅ ∨ 𝑦) ∨ 𝑥𝑦𝑧̅) =
= 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧 ∨ 𝑥𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧̅ = 1
Таким образом, доказана тождественная истинность заданной формулы.
Для проверки составим таблицу истинности:
(𝑥 → 𝑦)
(𝑥 → 𝑧)
(𝑥 → 𝑦) → (𝑥 → 𝑧)
x y z (𝑦 → 𝑧) 𝑥 → (𝑦 → 𝑧)
f
0 0 0
1
1
1
1
1
1
0 0 1
1
1
1
1
1
1
0 1 0
0
1
1
1
1
1
0 1 1
1
1
1
1
1
1
1 0 0
1
1
0
0
1
1
1 0 1
1
1
0
1
1
1
1 1 0
0
0
1
0
0
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
Таблица истинности подтверждает тождественную истинность заданной формулы.
В результате СКНФ: 𝑓 ̅ = 0 .
Соответственно, ДНФ, она же СДНФ:
𝑓 = 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧 ∨ 𝑥𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧̅ ∨ 𝑥𝑦𝑧
Релейно-контактная схема тождественно истинной функции – проводник от напряжения
высокого уровня на выход схемы, поскольку функция проводимости 𝑓 = 1 .
2.
Решить дифференциальное
уравнение
операторным методом:
х'' + 2х'-3х = е3t, х(0) = 1, х'(0) = -1.
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
𝐿[𝑥(𝑝)] = 𝑋(𝑝); 𝐿[𝑥′(𝑝)] = 𝑝𝑋(𝑝) − 𝑥(0) = 𝑝𝑋(𝑝) − 1;
1
𝐿[𝑥′′(𝑝)] = 𝑝2 𝑋(𝑝) − 𝑝𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) = 𝑝2 𝑋(𝑝) − 𝑝 + 1; 𝐿[𝑒 3𝑡 ] = 𝑝−3.
Запишем уравнение для изображений:
𝑝2 𝑋(𝑝) − 𝑝 + 1 + 2(𝑝𝑋(𝑝) − 1) − 3𝑋(𝑝) =
𝑝2 𝑋(𝑝) + 2𝑝𝑋(𝑝) − 3𝑋(𝑝) =
1
⇒
𝑝−3
1
+ 𝑝 + 1.
𝑝−3
2. Решим уравнение для изображений:
𝑋(𝑝)(𝑝2 + 2𝑝 − 3) =
1
𝑋(𝑝) =
+𝑝+1
𝑝−3
𝑝2 +
2𝑝 − 3
=
1
+𝑝+1
𝑝−3
1 + (𝑝 − 3)(𝑝 + 1)
𝑝2 − 2𝑝 − 2
=
(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3)
Разложим на простые дроби
𝑝2 − 2𝑝 − 2
𝐴
𝐵
𝐶
=
+
+
(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) (𝑝 − 1) (𝑝 + 3) (𝑝 − 3)
𝑝2 − 2𝑝 − 2
𝐴(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) + 𝐵(𝑝 − 1)(𝑝 − 3) + 𝐶(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)
=
(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3)
(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3)
2
2
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑝 + (−4𝐵 − 3𝐶)𝑝 + (−9𝐴 + 3𝐵 − 3𝐶)
𝑝 − 2𝑝 − 2
=
(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3)
(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3)
Решив систему найдем А, В, С:
𝐴+𝐵+𝐶 =1
{ −4𝐵 + 2𝐶 = −2
−9𝐴 + 3𝐵 − 3𝐶 = −2
А=3/8; В=13/24; С=1/12.
Получили изображение:
𝑝2 − 2𝑝 − 2
3 1
13 1
1
1
𝑋(𝑝) =
=
+
+
(𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) 8 (𝑝 − 1) 24 (𝑝 + 3) 12 (𝑝 − 3)
3. Найдем оригинал для функции Х(р):
𝑥(𝑡) = 𝐿−1 [𝑋(𝑝)] = 𝐿−1 [
Ответ:
3
13
1
𝑥(𝑡) = 8 𝑒 𝑥 + 24 𝑒 −3𝑥 + 12 𝑒 3𝑥
3 1
13 1
1
1
+
+
]
8 (𝑝 − 1) 24 (𝑝 + 3) 12 (𝑝 − 3)
