Задача Определить площадь круга методом Монте

Метод Монте Карло
Вероятностная модель вычисления
площадей геометрических фигур
Название метода происходит от названия столицы
Монако, Монте-Карло, где при игре в рулетку и
шарик останавливается в случайном месте.
Ме́тод Мо́нте-Ка́рло— общее название
группы численных методов,
основанных на получении большого
числа реализаций случайного
процесса, который формируется
таким образом, чтобы его
вероятностные характеристики
совпадали с аналогичными
величинами решаемой задачи.
Используется для решения задач в
различных областях физики, химии,
математики, экономики,
оптимизации, теории управления и
др.
Случайные числа
можно сравнить со
снежинками,
падающими
случайным образом
во время снегопада.
Чем больше снежинок
упало, тем более
равномерно
покрывается
площадка
Описательная
модель
Поместим геометрическую фигуру
(автомобиль )внутрь квадрата.
Будем случайным образом бросать
точки-снежинки в этот квадрат,
т.е. с помощью генератора
случайных чисел задавать
координаты точек внутри
квадрата.
Будем считать, что отношение
числа точек, попавших внутрь
фигуры (на автомобиль), к
общему числу точек, попавших в
квадрат, приблизительно равно
отношению площади
фигуры(автомобиля) к площади
квадрата.
Это отношение тем точнее, чем
больше количество точек.
Задача
Определить площадь круга
методом Монте-Карло
Y
1
R
0
1
X
Формальная модель
Пусть центр круга радиусом R
совпадает с началом
координат. Круг вписан в
квадрат со стороной 2 R.
Площадь квадрата вычислим по
формуле
S1= 4 R2
Задача
Определить площадь круга
методом Монте-Карло
Пусть N – количество точек,
которые случайным образом
генерируются внутри квадрата.
Условие попадания случайной
точки в квадрат:
Y
1
-R<=X<=R
R
0
Формальная модель
1
X
-R<=Y<=R
Формальная модель
Задача
Определить площадь круга
методом Монте-Карло
Пусть M – количество точек,
попавших внутрь круга.
Их координаты удовлеворяют
условию:
X2+Y2<=R2
Y
1
R
0
1
х
Задача
Определить площадь круга
методом Монте-Карло
Y
1
R
0
1
X
Формальная модель
Предположим, что
отношение площадей
круга S2 и квадрата S1
равно отношению количества
точек М, попавших внутрь
круга, к количеству точек N,
попавших внутрь квадрата:
S2
M

S1
N
Задача
Определить площадь круга
методом Монте-Карло
Y
1
R
0
1
X
Формальная модель
Тогда площадь круга
можно вычислить по
формуле:
S2=S1*M/N= 4R2*M/N
Задача
Определить площадь круга
методом Мнте-Карло
Y
1
R
0
1
X
Формальная модель
Более того, таким способом
можно вычислить значение
числа π .
Подставим в формулу значение
площади круга
S2= π *R2
и получим формулу для
вычисления числа π :
π *R2= 4R2*M/N;
π =4*M/N.
Задание 1:
Составить программу на языке
программирования Паскаль, позволяющую
методом Монте-Карло
определять площадь круга единичного радиуса и
уточнять число π.
Исследовать, как зависит точность получаемого
числа π
от количества случайных точек.
Задание 2:
В программе Microsoft Office Excel
произвести расчеты площади круга
единичного радиуса и числа π .
Провести исследование, как зависит точность
вычислений от количества точек.