УрГУПС

Iкурс
УрГУПС
2014
ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ


1.
Определите, является ли функция ln tg x  1  tg 2 x чётной, нечётной
или ни той, ни другой.
(4 балла)
2.
Центр круга лежит в первой координатной четверти и имеет координаты a; b  . Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим S  общую площадь тех частей круга, в которых координаты имеют
одинаковый знак, а S  - общую площадь тех частей круга, в которых
координаты имеют противоположные знаки. Найти S   S .
(7 баллов)
3.
При каком x функция f x   x 2  3x  9  x 2  27
наименьшее значение? Найти это значение.
принимает
(5 баллов)
4.
Найти кратчайшее расстояние от окружности x 2  y 2  49  0 до прямой  3x  4 y  40  0.
(8 баллов)
Найти f 0  , если f x   3x  2 f x 2   2.
(4 балла)
5.
6.
x
Найти xlim
 
2014
ln x
(4 балла)
.


7.
Найти наименьшую длину отрезка, проходящего через точку M 1; 3 3 , (10 баллов)
концы которого лежат на положительных значениях осей Ox и Oy.
8.
Найти вторую производную функции
y
1
2
3
4
x 1
2
x3
4
1
1
9.
(6 баллов)
x3 x4 x5
3
4
.
5
Построить график функции
(5 баллов)
1
f x    9  x 2  4 5  x 2  9  x 2  4 5  x 2 .

2
Решить уравнение x  x   2. (Здесь символ x  – целая часть числа x,
например: [1,5]=1, [-2,8]= - 3, [ 26 ]=5).
(7 баллов)
2
10.
ВСЕГО:
60 баллов