Задачи на смеси и сплавы

Решение текстовых задач
арифметическим способом
Фомина Н.М.
В традиционном российском школьном обучении
математике текстовые задачи всегда занимали особое
место.


Немаловажную роль играло приучение школьников к
переводу текста на язык арифметических действий,
уравнений, неравенств, графических образов.
Использование арифметических способов решения задач
способствовало общему развитию учащихся, развитию не
только логического, но и образного мышления, лучшему
освоению естественного языка, а это повышало
эффективность обучения математике и смежных дисциплин.
Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль
в процессе обучения в России и им отводилось так много
времени при обучении математике в школе.
Известно, что исторически долгое время математические
знания передавались из поколения в поколение в виде списка
задач практического содержания вместе с их решениями
http://www.shevkin.ru/favicon.ico
(ЕГЭ) Задача 1.
Купили 36 акций по 100 и по 125 рублей.
Общая стоимость акций составила 4000 р.
Сколько было акций по 125 р.?
Решение.
1) 36 * 100 = 3600 (р.) – стоили бы все акции, если
бы за них заплатили по 100 р.;
2) 4000 – 3600 = 400 (р.) – надо доплатить за
акции по 125 р.
3) 125 – 100 = 25 (р.) – надо доплатить за каждую
акцию по 125 р.;
4) 400 : 25 = 16 (акций) – по 125 р.
Ответ. 16 акций по 125 р.

Задача 2. Из пункта A в пункт B одновременно выезжают два
велосипедиста. Скорость одного из них на 3 км/ч меньше
скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в
В, сразу же повернул обратно и встретил другого
велосипедиста через 1 ч 20 мин после выезда из А. На каком
расстоянии от пункта В произошла встреча?
 Решение.
1) 3 * 1 1/3 = 4 (км) – на 4 км один
велосипедист проехал больше,
чем другой за 1 1/3 ч;
2) 4 : 2 = 2 (км) – расстояние от
пункта В до места встречи.
Ответ: 2 км.
Задачи на смеси и сплавы



Когда-то они имели исключительно практическое
значение, но со временем потеряли свою практическую
актуальность и используются в процессе обучения как
средство развития обучаемых, а на конкурсных экзаменах
– как средство проверки мыслительных способностей и
элементарной обученности. Не случайно эти задачи
постоянно присутствуют в конкурсных заданиях вузов.
Для решения задач на смеси и сплавы нужно уметь
рассуждать и уметь решать задачи на дроби и проценты,
на составление уравнений и их систем.
Но вернемся в те далекие времена, когда задачи на
смеси и сплавы были исключительно арифметическими и
отвечали на практически важные вопросы: помогали
определить процентное содержание какого-либо
компонента в смеси, сплаве, цену единицы массы товара
каждого сорта и т.д.
Задачи на смеси и сплавы
(ЕГЭ) Задача 3. Даны два куска с различным содержанием
олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова. Второй,
массой 200 г, содержит 40 % олова. Сколько процентов
олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?





Решение.
1) 300 * 0,2 + 200* 0,4 = 140 (г) – было
олова до сплавления в двух кусках;
2) 200 + 300 + 500 (г) – масса куска после
сплавления;
3) 140 * 100 : 500 = 28% - олова содержит
сплав.
Ответ: 28% олова содержит сплав.
(МГУ) Задача 4. Сколько литров воды нужно выпарить из 20
литров раствора, содержащего 80% воды, чтобы получить
раствор, содержащий 75% воды?







Решение.
Сначала выразим в % содержание примеси в водном
растворе:
было 100% - 80% = 20%,
стало 100% - 75% = 25%.
Чтобы содержание примеси увеличилось в 25 : 20 = 1,25
раза, нужно объем раствора уменьшить в 1,25 раза:
20 : 1,25 = 16 л, то есть нужно выпарить 20 – 16 = 4 л
воды.
Ответ: 4 л воды
(ВШЭ) Задача 5. В двух сплавах меди и цинка отношение меди к
цинку 4 : 3 и 2 : 3 соответственно. После совместной переплавки
140 кг первого сплава, 150 кг второго и некоторой массы чистой
меди получили сплав, в котором меди на 20 кг больше, чем цинка.
Найти массу нового сплава.






Решение.
Сначала определим, сколько килограммов цинка
содержал полученный сплав:
3/4 * 140 + 3/5 * 150 = 150 (кг).
По условию задачи, меди он содержал на 20 кг больше, то
есть 170 кг. Тогда масса полученного сплава равна
150 + 170 = 320 кг.
Ответ: масса нового сплава 320 кг.
(ЕГЭ) Задача 6. Свежие яблоки содержат 76% воды. При
сушке потеряли 68% массы. Сколько % воды содержат
сушеные яблоки?
Сухое
вещество
32%
68%
Вода

Вода

испарилась



Решение.
Вода составляет 76% массы яблок, 68% из них
испарилось,
76% - 68% = 8 % - составляет масса воды в сушенных
яблоках;
100% - 68% = 32% - составляет масса сушеных яблок;
Масса воды составляет 8% : 32% = 0,25 = 25% массы
сушеных яблок.
Ответ: 25% воды содержат сушеные яблоки.
Задача 8. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он
немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%.
Определите массу арбуза
Решение.
 Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией
прямоугольников.
99% вода
1% сухое вещество

98% вода
2% сухое вещество

При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества”
равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается
неизменной.

1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;

2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;
3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза. Ответ: 10 кг.
 Сайт: фестиваль педагогических идей «Открытый урок» Решение
текстовых задач.
 http://festival.1september.ru/articles/516575/pril1.pps

(ЕГЭ) Задача 9.На ферме родилось несколько поросят одинакового веса и
несколько ягнят одинакового веса.
Три поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг.
Сколько кг весит один поросёнок и один ягненок?
Решение.
 Определим суммарный вес всех животных. Получим, что 5
поросят + 5 ягнят весят 22 + 23 = 45кг.
Тогда 1 поросёнок + 1 ягнёнок весят 45 : 5 = 9 кг. А
2 поросёнка + 2 ягнёнка весят в 2 раза больше, т.е.
9 * 2=18 кг.

Если от трёх поросят и двух ягнят (22 кг) отнять двух поросят
и двух ягнят (18 кг), то получим одного поросенка весом 22 18 = 4 кг. А т.к. поросёнок + ягнёнок весят вместе 9 кг, то
один ягнёнок весит 9 - 4 = 5кг.
Ответ: 4 кг и 5кг.
(ЕГЭ) Задача 9.На ферме родилось несколько поросят одинакового веса и
несколько ягнят одинакового веса.
Три поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг.
Сколько кг весит один поросёнок и один ягненок?

Решение. Пусть х кг весит поросёнок, y кг весит ягнёнок.
Получим систему:
{ 3х + 2у = 22,
{ 2х + 3у = 23.
Сайт: Поступи в ВУЗ. Вопросы « Алгебра Арифметика +
ГИА » Задачи на тему Ферма с решениями арифметическим
способом Если вас привлекает решение задач не только
арифметических, но и логических, то зайдите на странички
нашего сайта. Многие задачи - с решениями или с ответами.
Пишите свои решения, предлагайте свои задачи.
http://www.postupivuz.ru/194.htm
Задача на работу
(ЕГЭ) Задача 10. Первая бригада может выполнить задание за 20 ч,
а вторая – за 30 ч. Сначала первая бригада выполнила ¼ задания,
а остальную часть задания две бригады выполнили при совместной
работе. За сколько часов было выполнено задание?









Решение.
Р = А/t, А=1.
1) 1/20 (задания) – первая бригада за один час;
2) 1/30 (задания) – вторая бригада за один час;
3) 1/20 + 1/30 = 5/60 = 1/12 (задания) – 1 бр. и 2 бр. за
один час работая вместе;
4) ¼ *20 = 5 (ч) – выполнит первая бригада ¼ задания;
5) ¾ : 1/12 = 9 (ч) – выполнит первая и вторая бригада ¾
задания;
6) 5 + 9 = 14 (ч) (1/4 * 20 + ¾ : 1/12 = 5 + 9 = 14 ч)
Ответ: 14 часов.
Заключение

Анализ задач, предлагаемых на ЕГЭ, на предварительном
этапе отбора абитуриентов и на конкурсных экзаменах,
показывает, что большая доля конкурсных текстовых
задач решается арифметическими способами, с
применением линейного, квадратного, рационального
уравнения или их систем, а в качестве усложнения
каждого из этих приемов применяются «лишние»
неизвестные, чему в большинстве учебников не обучают.
Все это надо иметь ввиду учителю уже на самом раннем
этапе обучения школьников математике, чтобы уже в
пятых-шестых классах показывать учащимся
разнообразные способы решения текстовых задач, чтобы
готовить своих учеников и к конкурсным испытаниям тоже.
Информационные источники

Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе
математики. М., «Первое сентября», 2006.
Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе
математики. М., «Первое сентября», 2009
http://www.postupivuz.ru/194.htm
http://festival.1september.ru/articles/516575/pril1.pps
http://www.shevkin.ru/favicon.ico

Сборники тестовых заданий для подготовки к ГИА и ЕГЭ



