f `` (x)

Дисциплина Дифференциальное
Исчисление (ДИ)
(Приложения производной)
Кафедра высшей
математики
ТПУ
Лектор:
доцент
Тарбокова
Татьяна
Васильевна
1
Производные высших порядков
2
Примеры
x /
1
x 1 1
x
y  (ln sin ) 
cos   ctg ;
x
4
4
4
4
4
sin
4
1
x /
1
1
1
//
y  ( ctg )  
 
4
4
2 x 4
2 x
4 sin
16 sin
4
4
/
3
Пример
4
§ Теоремы о среднем значении
(Ролля, Лагранжа, Коши)
для дифференцируемых функций
Условия монотонности функции
5
6
7
Теорема Ферма
Пусть функция y= f(x) имеет в точке x0∈(a,b) локальный экстремум и
дифференцируема в этой точке.
Тогда f '(x0) = 0
y
M
Замечание
y
y=x3
x
X0 X0+Δx
x
8
Теорема Ролля
Пусть функция y=f(x)
а) непрерывна на отрезке [a, b]
б) дифференцируема на интервале (a, b)
в) f( a ) = f( b )
Тогда найдется хотя бы одна точка С∈(a, b), такая, что f '(С) = 0
Возможные случаи: 1. m = M;
2. m < M.
f(a)=f(b)>m
или
y
f(a)=f(b)< M
y
M
m
a
b
x
a
b
x
9
Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)
Пусть функция y = f( x )
а) определена и непрерывна на отрезке [a, b]
б) дифференцируема на интервале (a, b).
Тогда найдется хотя бы одна точка С∈(a, b), такая, что
f (C ) 
f (b)  f (a )
ba
y
Геометрически
B
A
f(b)-f(a)
a
tga=f '(C)
b-a
a
C
C1 C2 b
x
10
Теорема Коши
Пусть функции f( x ) и g( x )
а) непрерывны на отрезке [a, b]
б) дифференцируемы на интервале (a, b) и g'( x ) ≠ 0.
Тогда найдется хотя бы одна точка С ∈ (a, b), такая, что
f (b)  f (a) f (C )

g (b)  g (a) g (C )
11
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
12
§ Теорема Лопиталя (правило Лопиталя)
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки
g'(x) ≠ 0 в окрестности x=a.
Если lim f ( x )  0 и lim g ( x )  0 и существует
x a
x a
то существует конечный предел
lim
xa
f ( x)
,
g ( x)
lim
xa
x=a и
f ( x)
A ,
g ( x)
причем
f ( x)
f ( x)
lim
 lim
A
x  a g ( x)
x  a g ( x )
Замечание 1. Если f' (x) и g' (x) удовлетворяют условиям теоремы
Лопиталя, в окрестности точки x=a, то правило Лопиталя применяется
к отношению производных:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
 lim
 lim
 и т.д.  А
x a g ( x)
x a g ( x)
x a g ( x)
13
Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в случае x→∞ ,т.е. если
lim f ( x)  lim g ( x)  0
x 
x 
Теорема. (Правило Лопиталя для случая ∞/∞ )
Пусть функции f(x) и g(x)
а) дифференцируемы в окрестности точки x = a
f ( x )  lim g ( x )  
б) xlim
 a
x a
в) g'(x) ≠ 0 в окрестности x=a.
f ' ( x)
A
г)  lim
x  a g ' ( x)
тогда существует конечный предел
lim
xa
f ( x)
lim
x  a g ( x)
, причем
f ( x)
f ( x)
 lim
A
x

a
g ( x)
g ( x)
14
Правило Лопиталя
15
Правило Лопиталя
16
Примеры
17
Примеры
18
Примеры
19
§ Формула Тейлора и Маклорена
Определение. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n
a0 , a1 , …, an – коэффициенты многочлена, n – натуральные числа.
где
Многочлен полностью определяется своими коэффициентами.
Определение. Многочленом (полиномом) по степеням (x – x0) называется
функция
Pn ( x ) = a0 + a1 ( x – x0 ) + a2 ( x – x0 ) 2+ … + an ( x – x0 ) n .
Определение. Формула
(n)
P( x0 )
P
( x0 )
P( x)  P( x0 )  P( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
2!
n!
называется формулой Тейлора для многочлена Pn(x) .
20
Теорема.
f ( x ) определена на интервале (a, b), имеет в точке x  (a, b)
производные до n+1 - го порядка включительно. Тогда при x → x0
функция f(x) сходится к своему многочлену Тейлора, и можно записать
Пусть функция
///
( n)
f / ( x0 )
f // ( x0 )
f
(
x
)
f
( x0 )
2
3
0
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x 0 ) n  Rn ( x )
1!
2!
3!
n!
Формула называется формулой Тейлора для функции
f ( x ).
Теорема.
f ( x ) и её многочленом Тейлора P ( x ) является б.м.
функцией более высокого порядка малости по сравнению с ( x – x0 )n
Разность между функцией
f (x) – P (x) = Rn(x) = O ((x – x0)n )
Rn(x) - остаточный член
в форме Пеано
в форме Лагранжа
Rn(x) = O ((x – x0)n )
f ( n1) (x )
Rn ( x) 
( x  x0 ) n , где x0<x<x
(n  1)!
21
P( x0 )
P ( n ) ( x0 )
2
P( x)  P( x0 )  P( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n
2!
n!
f  ( x0 )
f ( n) ( x0 )
f ( n1) ( x0 )
2
n
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) n1  ...
2!
n!
(n  1)!
f(x)=P(x)+Rn(x)
y
y=f(x)
Rn(x)
f(x)
P(x)
x0
x
x
22
Формула Маклорена – частный случай формулы Тейлора при
x3 x5 x7
x 2 n1
n1
sin x  x     ...  (1)
 Rn ( x)
3! 5! 7!
(2n  1)!
P2(x)
P1 ( x)  x
P3(x)
y
x3
P2 ( x)  x 
3!
P1(x)
P4(x)
sinx
-π
x0 = 0
0
π
x3 x5
P3 ( x)  x  
3! 5!
x3 x5 x7
P4 ( x)  x  

3! 5! 7!
x
23
Стандартные разложения Маклорена
2 n 1
x3 x5
n 1 x
sin x  x    ...  (1)
 Rn
3! 5!
(2n  1)!
2n
x2 x4
x
cos x  1  
 ...  (1) n
 Rn
2! 4!
(2n)!
n
x 2 x3
x
ln( 1  x)  x 
  ...  (1) n 1
 Rn
2
3
n
x 2 x3
xn
x
e  1 x 
  ... 
 Rn
2! 3!
n!
(1  x) m  1  mx 
Уметь получать разложения
m(m  1) 2 m(m  1)( m  2) 3
x 
x  ...
2!
3!
x3 x5
sh x  x    ...
3! 5!
x2 x4
ch x  1 

 ...
2! 4!
24
§ ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Определение. Функция y=f(x) называется
а) возрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2 f(x1)<f(x2);
b) убывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2 f(x1)>f(x2);
c) невозрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b) при x1< x2 f(x1)≥f(x2);
а) неубывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2 f(x1)≤f(x2).
Пример невозрастающей функции
y
y=f(x)
f(x1)= f(x2) > f(x3)
x1 < x2 < x3
x
25
Определение. Говорят, что f '(x) меняет знак в точке x0 , если существует
окрестность точки x0: (x0-δ, x0+δ), в которой при x<x0 f '(x) сохраняет один знак,
а при x>x0 – противоположный.
Определение. Точки, в которых f '(x) =0 называются стационарными точками.
Определение. Точки, в которых f '(x) =0 или не существует, называются
критическими точками.
Возможные варианты стационарных и критических точек
y
стационарные f '(x)=0
экстр.
x0
нет экстр.
x0
x
y
критические f '(x)
экстр.
x0

y
нет экстр.
x0
x
критические f '(x)
экстр.
x0

нет экстр.
x0
26
x
Теорема. (1ый Достаточный признак существования экстремума)
Пусть y=f(x) непрерывна в интервале, содержащем критическую точку x0,
дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме может быть
самой x0, тогда
а) если при переходе слева направо через x0 производная f '(x) меняет
знак с «+» на «-», то в точке x0 функция f(x) имеет максимум;
b) если знак производной меняется с «-» на «+», то в точке x0 функция
f(x) имеет минимум.
Теорема. (Второй достаточный признак существования экстремума)
Если в критической точке x0 функции y=f(x) обращается в ноль не только
первая производная, но и все последующие до (n-1)-й включительно, т.е.
f '(x0)= f '' (x0)= f ''' (x0)=…= f (n-1)(x0)=0,
а
f (n)(x0)≠0,
тогда x0 будет точкой экстремума, если n – четное;
x0 не будет точкой экстремума, если n – нечетное.
Характер экстремума определяется знаком f (n)(x0)≠0.
При f (n)(x0)<0 - в x0 максимум,
при f (n)(x0)>0 - в x0 минимум.
27
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
y
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на
(a,b), если
все точки кривой лежат ниже любой её касательной на (a,b).
Кривая называется выпуклой.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вниз на (a,b),
если
все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом
интервале.
Кривая называется вогнутой.
a
x
b x
a
x
b x
y
Теорема. (Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой)
Пусть y = f (x) непрерывна на [a,b], и имеет в (a,
порядка включительно, тогда
b)
производную до второго
а) если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции
отрицательна: f '' (x) < 0, то кривая на (a, b) выпукла;
b) если во всех точках интервала вторая производная положительна:
f '' (x) > 0,
f (x)
то кривая на (a, b) вогнута.
28
Определение. Точка (x0;y0) графика непрерывной
y
функции f(x), отделяющая интервал выпуклости
от интервала вогнутости этой функции, называется
точкой перегиба графика функции.
x
x
Следствие из достаточного условия выпуклости и вогнутости кривой.
(Необходимое условие существования точки перегиба)
Если точка
является точкой перегиба графика функции,
то вторая производная функции в этой точке равна нулю или
не существует.
Теорема. (Достаточное условие существования точки перегиба)
Пусть в точке x0 выполнены необходимые условия существования точки перегиба, и пусть
при переходе через эту точку
графика функции.
f '' (x) меняет знак, тогда точка x0 является точкой перегиба
29
Асимптоты кривых
y
Определение. Прямая называется асимптотой
y = f ( x ), если расстояние от точки
M кривой f ( x ) до данной прямой → 0 при
неограниченном удалении т. М от начала
кривой
f(x)
O
M
x
координат.
Опр. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x),
если хотя бы один из пределов lim f ( x) или lim f ( x) равен ∞ или - ∞.
x a
x a
y = k x + b называется наклонной асимптотой графика
f ( x ) при x → ± ∞, если lim  f ( x)  {kx  b}   0
Опр. Прямая
функции
x 
Теорема. (Критерий существования наклонной асимптоты)
Для того, чтобы прямая y = k x + b была наклонной асимптотой,
необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
f ( x)
lim
k
x 
x
lim  f ( x)  k x   b
x 
30
Исследование функции без применения
производной
31
Исследование функции с применением
производной
32
Исследование функции с применением
производной
33
Пример
34
Пример
35
Пример
36
Пример
37
Пример
38
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ
39