ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
§1 Определенный интеграл: определение,
геометрический смысл, свойства.
Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена на отрезке
𝑎; 𝑏 . Выполним следующие действия:
1. Разобьем отрезок
𝑎; 𝑏
с помощью точек
𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 на 𝑛 частичных отрезков 𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ,
где 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏.
Обозначим
∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
и пусть
∆= 𝑚𝑎𝑥 ∆𝑥𝑖 .
2. На каждом отрезке 𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 выберем точку 𝑐𝑖 ∈
𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 и составим сумму
𝑛
𝑆𝑛 = 𝑓 𝑐1 ∙ ∆𝑥1 + ⋯ + 𝑓 𝑐𝑛 ∙ ∆𝑥𝑛 =
𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 ,
𝑖=1
которая называется интегральной суммой функции
𝑦 = 𝑓 𝑥 ; она зависит от способа разбиения и выбора
точек 𝑐𝑖 .
Если существует предел интегральной суммы при
условии, что число частичных отрезков стремится к
бесконечности, а длина наибольшего из них – к нулю,
то есть
𝑛
lim
𝑛→∞
∆→0 𝑖=1
𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 = 𝐼,
не зависящий от способа разбиения отрезка 𝑎; 𝑏 и
выбора промежуточных точек 𝑐𝑖 , то говорят, что
функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) интегрируема по Риману на отрезке
𝑎; 𝑏 ,
а сам предел называют определенным интегралом
функции 𝑓(𝑥) в пределах от 𝑥 = 𝑎 до 𝑥 = 𝑏 и
обозначают
𝑏
𝐼=
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
𝑎
При этом числа 𝑎 и 𝑏 называются соответственно
нижним и верхним пределами интегрирования.
Теорема (существования определенного интеграла).
Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке 𝑎; 𝑏 ,
то определенный интеграл
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 существует.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Фигура, ограниченная графиком функции 𝑦 = 𝑓 𝑥 , прямыми 𝑥 =
𝑎, 𝑥 = 𝑏 и осью 𝑂𝑥, называется криволинейной трапецией.
Пусть при 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 𝑓(𝑥) ≥ 0. Тогда произведение 𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖
равно площади прямоугольника с основанием ∆𝑥𝑖 и высотой 𝑓 𝑐𝑖 ,
а сумма
𝑛
𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖
𝑖=1
представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры
и приближенно равна площади криволинейной трапеции:
𝑛
𝑆 ≈ 𝑆𝑛 =
𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 .
𝑖=1
Если ∆𝑥𝑖 уменьшать, то точность последнего
приближенного равенства будет увеличиваться. Таким
образом, в предельном случае
𝑛
𝑆 = lim 𝑆𝑛 = 𝑛→∞
lim
𝑛→∞
𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 = 𝐼,
(∆→0) 𝑖=1
то есть
𝒃
𝑺=
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 .
𝒂
Итак, определенный интеграл от неотрицательной
функции численно равен площади криволинейной
трапеции (геометрический смысл определенного
интеграла).
Свойства определенного интеграла.
1.
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑓
𝑎
𝑡 𝑑𝑡,
т.е. определенный
интеграл не зависит от обозначения переменной.
2.
𝑎
𝑓
𝑎
3.
𝑏
𝑓
𝑎
4.
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 = 0.
𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑓
𝑏
𝑐
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 .
𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏
𝑓
𝑐
𝑥 𝑑𝑥 .
5.
𝑏
𝐶
𝑎
6.
𝑏
𝑎
∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 ∙
𝑏
𝑓
𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑑𝑥 .
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 ±
𝑏
𝑔
𝑎
𝑥 𝑑𝑥.
7. Если 𝑓 𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) ≤ 0 при ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 и 𝑎 < 𝑏,
то
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0 .
𝑎
8.
𝑎
𝑓
−𝑎
𝑥 𝑑𝑥 = 2
𝑎
𝑓
0
𝑥 𝑑𝑥 , если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥)
четна на −𝑎; 𝑎 .
9.
𝑎
𝑓
−𝑎
−𝑎; 𝑎 .
𝑥 𝑑𝑥 = 0, если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) нечетна на
§2 Методы вычисления определенного
интеграла.
1.Формула Ньютона-Лейбница.
Если 𝐹 𝑥 − первообразная функции 𝑓 𝑥 , то
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 |𝒃𝒂 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 .
𝒂
Пример.
1
1
3𝑥 2 − 5 𝑑𝑥 = 3
0
1
𝑥 2 𝑑𝑥 − 5
0
𝑑𝑥 =
0
𝑥3 1
= 3 ∙ |0 − 5𝑥|10 = 13 − 03 − 5 1 − 0 = −4,
3
2. Метод поднесения под знак дифференциала и
замены переменной.
𝑡=𝜑 𝑥
𝑏
𝑓 𝜑(𝑥) ∙ 𝜑 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 = 𝑎
𝑎
𝑑 𝜑(𝑥)
𝛽
=
𝑓 𝑡 𝑑𝑡.
𝛼
𝑥=𝑏
𝑡=𝜑 𝑎 =𝛼 =
𝑡=𝜑 𝑏 =𝛽
Пример.
𝜋
2
0
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =
𝜋
2
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑑(𝑠𝑖𝑛𝑥) =
0
𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
= 𝑥 = 0  𝑡 = 𝑠𝑖𝑛0 = 0 =
𝑥 = 𝜋2  𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜋2 = 1
𝑡4 1 1
1
= |0 = − 0 = .
4
4
4
1
𝑡 3 𝑑𝑡 =
0
3. Метод замены переменной.
𝑥 = 𝜑 𝑡  𝑑𝑥 = 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
𝑡 = 𝜑 −1 𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
=
−1
𝑥 =𝑎𝑡 =𝜑
𝑎 =𝛼
𝑎
𝑥 = 𝛽  𝑡 = 𝜑 −1 𝑏 = 𝛽
𝛽
𝑓 𝜑(𝑡) ∙ 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡.
=
𝛼
Пример.
𝑥 = 𝑡 2  𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡
4
𝑑𝑥
𝑡= 𝑥
=
=
𝑥 =0𝑡 =0
0 1+ 𝑥
𝑥 =4𝑡 =2
2
=2
0
2
0
2𝑡𝑑𝑡
=
1+𝑡
1
2
2
∙
𝑡
−
ln
1
+
𝑡
|
1−
𝑑𝑡 =
0 =
1+𝑡
= 2 ∙ 2 − 𝑙𝑛3 − 0 − 𝑙𝑛1
= 2 2 − 𝑙𝑛3 .
Замечание. Важно: при замене переменной в
определенном интеграле соответствующим образом
меняются пределы интегрирования.
4. Интегрирование по частям.
Пусть функции 𝑢 = 𝑢 𝑥 , 𝑣 = 𝑣(𝑥) имеют непрерывные
производные на отрезке 𝑎; 𝑏 . Тогда справедлива
формула
𝑏
𝑏
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑏𝑎 −
𝑎
𝑣𝑑𝑢.
𝑎
Пример.
𝜋
2
0
𝑢 = 4𝑥 + 1  𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥
1
4𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 =
=
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥  𝑣 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥
2
= 4𝑥 + 1 ∙
𝜋
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥|02
2
=0
= −2
𝜋
2
0
=
−
𝜋
21
0
2
𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∙ 4𝑑𝑥 =
𝜋
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −2 ∙ − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 |02 =
2
𝜋
𝑐𝑜𝑠2𝑥|02
= 𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠0 = −1 − 1 = −2.
§3. Применение определенного интеграла к задачам
геометрии.
1.Вычисление площадей плоских фигур.
Рассмотрим следующие случаи.
1) Фигура ограничена непрерывной линией 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 ≥ 0 для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 и
отрезком оси абсцисс.
𝑏
𝑆=
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
2) Фигура ограничена непрерывной линией 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 ≤ 0 для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 и
отрезком оси абсцисс.
𝑏
𝑆=−
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
3) Фигура ограничена двумя непрерывными линиями
𝑦 = 𝑓1 𝑥 , 𝑦 = 𝑓2 𝑥 𝑓1 𝑥 ≤ 𝑓2 𝑥 для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏
и
прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.
𝑏
𝑆=
𝑓2 𝑥 − 𝑓1 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
4) Фигура ограничена непрерывной линией
𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑔 𝑦 ≥ 0 для 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑑 , прямыми 𝑦 =
𝑐, 𝑦 = 𝑑 и отрезком оси ординат.
𝑑
𝑆=
𝑔 𝑦 𝑑𝑦
𝑐
5) Фигура ограничена непрерывной линией
𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑔 𝑦 ≤ 0 для 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑑 , прямыми 𝑦 =
𝑐, 𝑦 = 𝑑 и отрезком оси ординат.
𝑑
𝑆=−
𝑔 𝑦 𝑑𝑦
𝑐
6) Фигура ограничена двумя непрерывными линиями 𝑥 =
𝑔1 𝑦 , 𝑥 = 𝑔2 𝑦 𝑔1 𝑦 ≤ 𝑔2 𝑦 для 𝑦 ∈ 𝑐; 𝑑
и
прямыми 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑.
𝑑
𝑆=
𝑔2 𝑦 − 𝑔1 (𝑦) 𝑑𝑦
𝑐
7) Если кривая задана параметрическими уравнениями
𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , то площадь криволинейной
трапеции, ограниченной прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, осью
абсцисс и кривой, находят по формуле
𝛽
𝑦 𝑡 𝑥 ′ 𝑡 𝑑𝑡,
𝑆=
𝛼
где 𝛼 и 𝛽 определяются из равенств
𝑥 𝛼 = 𝑎, 𝑥 𝛽 = 𝑏
𝑦 𝑡 ≥ 0 для 𝑡 ∈ 𝛼; 𝛽 .
Примеры. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями.
1) 𝑦 = 1 −
Решение.
𝑥 2,
𝑦=
1
𝑥
, 𝑥=
1
,𝑥
2
=1
Воспользуемся формулой из п.3:
𝑏
𝑆=
𝑓2 𝑥 − 𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
1
=
1
2
1
− 1 − 𝑥2
𝑥
1
𝑑𝑥 =
1
2
1
− 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥 =
𝑥
𝑥3 1
= 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 +
|1 =
3 2
1
= 𝑙𝑛1 −1 + −
3
=0
1 1 1
𝑙𝑛 − +
=
2 2 24
=−𝑙𝑛2
2
11
5
= − + 𝑙𝑛2 +
= 𝑙𝑛2 −
≈ 0,48 кв. ед.
3
24
24
2)𝑦 2 = 2𝑥 + 1, 𝑥 − 𝑦 = 1
Решение.
Найдем точки пересечения кривых.
𝑥 =𝑦+1
𝑦 2 = 2𝑥 + 1
 2

𝑥−𝑦 =1
𝑦 =2 𝑦+1 +1
𝑥 =𝑦+1
𝑥 =𝑦+1
 2
 𝑦1 = −1 
𝑦 − 2𝑦 − 3 = 0
𝑦2 = 3
𝑥1 = 0
𝑦1 = −1
𝑥2 = 4
𝑦2 = 3
Графиком функции
𝑦 2 = 2𝑥 + 1
или
𝑥=
1 2
𝑦
2
−
1
2
является парабола, ветви которой вытянуты вдоль оси
𝑂𝑥, вершина находится в точке
1
− ;0
2
.
График функции 𝑥 − 𝑦 = 1 − прямая, для построения
которой достаточно знать координаты двух точек.
Например, 0; −1 , (4; 3).
Воспользуемся формулой из п.6.
𝑥−𝑦 =1 𝑥 =𝑦+1
𝑔2 𝑦
𝑑
𝑆=
𝑔2 𝑦 − 𝑔1 𝑦
𝑐
𝑑𝑦 =
𝑦2
1 2 1 =
= 2𝑥 + 1 𝑥 = 𝑦 −
2
2
𝑔1 𝑦
3
1 2 1
𝑦+1−
𝑦 −
2
2
=
−1
3
=
−1
1 2 3
𝑦− 𝑦 +
𝑑𝑦 =
2
2
𝑑𝑦 =
𝑦2 𝑦3 3
=
−
+ 𝑦 |3−1 =
2
6 2
9 9 9
1 1 3
16
= − + −
+ −
=
кв. ед.
2 2 2
2 6 2
3
2.Вычисление объемов тел вращения.
1)Криволинейная трапеция, ограниченная кривой 𝑦 =
𝑓(𝑥) и прямыми 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, вращается вокруг
оси 𝑂𝑥.
𝑏
𝑓 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑉=𝜋
𝑎
2)Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми 𝑥 =
𝑎, 𝑥 = 𝑏 и кривыми 𝑦 = 𝑓1 𝑥 , 𝑦 = 𝑓2 𝑥 (𝑓1 𝑥 ≤
𝑏
𝑉=𝜋
𝑎
𝑓22 𝑥 − 𝑓12 𝑥
𝑑𝑥
3) Криволинейная трапеция, ограниченная кривой
𝑥 = 𝑔(𝑦) и прямыми 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑐, 𝑥 = 𝑑, вращается
вокруг оси 𝑂𝑦.
𝑑
𝑔2 𝑦 𝑑𝑦
𝑉=𝜋
𝑐
4)Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми 𝑦 =
𝑐, 𝑦 = 𝑑 и кривыми 𝑥 = 𝑔1 𝑦 , 𝑥 = 𝑔2 𝑦 (𝑔1 𝑦 ≤
𝑏
𝑉=𝜋
𝑎
𝑔22 𝑦 − 𝑔12 𝑦
𝑑𝑦
Замечание. При вычислении объемов тел вращения нет
необходимости изображать сами тела; достаточно
построить только фигуры, которые будут вращаться.
Пример. Вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси 𝑂𝑥 фигуры, ограниченной
линиями 𝑦 =
1 2
𝑥
2
и 2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0.
Решение.
Найдем точки пересечения кривых, для чего решим
систему уравнений
1 2
𝑦= 𝑥

2
2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0
1 2
𝑦= 𝑥
2
1 2
2𝑥 + 2 ∙ 𝑥 − 3 = 0
2

𝑦=
1 2
𝑥
2

𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0
Изобразим линии.
1 2
𝑦= 𝑥
2

𝑥1 = −3
𝑥2 = 1
𝑥1 = −3
𝑦1 = 4,5
𝑥2 = 1
𝑦2 = 0,5
𝑦=
1 2
𝑥
2
− уравнение параболы, вершина которой
находится в точке 𝑂 0; 0 , ветви направлены вверх вдоль
оси 𝑂𝑦.
2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 − уравнение прямой, которая
проходит через точки −3; 4,5 и 1; 0,5 .
Воспользуемся формулой:
𝑏
𝑉=𝜋
𝑎
1
𝑉=𝜋
−3
1
=𝜋
−3
𝑓22 𝑥 − 𝑓12 𝑥
3
−𝑥
2
2
1 2
−
𝑥
2
𝑑𝑥.
2
𝑑𝑥 =
9
1 4
2
− 3𝑥 + 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 =
4
4
9
3 2 1 3
1 5 1
= 𝜋 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 |−3 =
4
2
3
20
9 3 1 1 27 27
243
=𝜋
− + −
+
+
+9−
=
4 2 3 20 4
2
20
2
= 18 𝜋 куб. ед.
15
3.Вычисление длины дуги плоской кривой.
1)Длина дуги 𝐴𝐵 кривой, заданной уравнением 𝑦 = 𝑓(𝑥),
содержащаяся между точками с абсциссами 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏,
причем функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет непрерывную
производную в указанном промежутке, определяется по
формуле:
𝑏
𝑙=
1 + 𝑓′(𝑥)
𝑎
2
𝑑𝑥.
2) Длина дуги 𝐴𝐵 кривой, заданной уравнением 𝑥 =
𝑔(𝑦), содержащаяся между точками с ординатами 𝑦 =
𝑐, 𝑦 = 𝑑, причем функция 𝑥 = 𝑔(𝑦) имеет
непрерывную производную в указанном промежутке,
определяется по формуле:
𝑑
𝑙=
1 + 𝑔′(𝑦)
𝑐
2
𝑑𝑦.
3) Длина дуги 𝐴𝐵 кривой, заданной параметрическими
уравнениями
𝑥=𝑥 𝑡
, 𝑡 ∈ 𝛼; 𝛽 ,
𝑦 = 𝑦(𝑡)
где 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 − непрерывно дифференцируемые
функции, вычисляется по формуле:
𝛽
𝑙=
𝑥′(𝑡)
𝛼
2
+ 𝑦′(𝑡)
2
𝑑𝑡
Пример.
Найти длину дуги кривой 𝑦 = 𝑙𝑛 1 − 𝑥 2
от 𝑥 = 0 до 𝑥 = 0,5.
Решение.
Воспользуемся формулой
𝑏
𝑙=
1 + 𝑓′(𝑥)
𝑎
2
𝑑𝑥.
𝑓′
𝑥 = 𝑙𝑛 1 −
0,5
𝑙=
0
𝑥2
2𝑥
1+ −
1 − 𝑥2
0,5
=
0
′
1
2𝑥
=
∙ −2𝑥 = −
2
1−𝑥
1 − 𝑥2
2
0,5
𝑑𝑥 =
0
4𝑥 2
1+
1 − 𝑥2
1 − 𝑥 2 2 + 4𝑥 2
𝑑𝑥 =
2
2
1−𝑥
2
𝑑𝑥 =
0,5
=
0
0,5
=
0
0,5
=
0
1 − 2𝑥 2 + 𝑥 4 + 4𝑥 2
𝑑𝑥 =
2
2
1−𝑥
𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1
𝑑𝑥 =
2
2
1−𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = −
2
1−𝑥
0,5
0
0,5
0
𝑥2 + 1
1 − 𝑥2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
2
𝑥 −1
2
2
𝑑𝑥 =
0,5
=−
0
2
1+ 2
𝑑𝑥 =
𝑥 −1
0,5
=−
0,5
𝑑𝑥 −
0
2
𝑥 2 −1
=
2
(𝑥−1)(𝑥+1)
0
=
2
𝑑𝑥 = 𝐼
2
𝑥 −1
𝐴
𝐵
+
𝑥−1
𝑥+1
=
2 = 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵(𝑥 − 1)
𝑥 = −1: 2 = −2𝐵
𝐵 = −1

𝑥 = 1: 2 = 2𝐴
𝐴=1
𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1)

(𝑥−1)(𝑥+1)
Таким образом,
2
1
1
=
−
.
2
𝑥 −1 𝑥−1 𝑥+1
𝐼=
−𝑥|0,5
0
0,5
−
0
1
1
−
𝑑𝑥 =
𝑥−1 𝑥+1
= −0,5 − 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 1 |0,5
0 =
= −0,5 + 𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛3 − 0,5.
§4 Несобственные интегралы.
Несобственными интегралами называются интегралы с
бесконечными пределами и интегралы от неограниченных
функций.
I. Интегралы с бесконечными пределами
(несобственные интегралы 1-го рода).
Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна при 𝑥 ∈ 𝑎; +∞).
Тогда несобственный интеграл 1-го рода от функции 𝑓(𝑥)
в пределах от 𝑎 до +∞ определяется равенством:
+∞
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑎
𝑏→+∞ 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
(𝟒. 𝟏)
Если предел в правой части равенства (4.1) существует
и конечен, то несобственный интеграл называется
сходящимся, если же этот предел не существует или
бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Геометрический смысл.
Если непрерывная функция 𝑓(𝑥) ≥ 0 на промежутке
𝑎; +∞) и интеграл
+∞
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 сходится, то он равен
площади бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Аналогично определяется несобственный интеграл 1-го
рода на промежутке (−∞; 𝑏]:
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
−∞
𝑎→−∞ 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
(𝟒. 𝟐)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными
пределами определяется формулой:
+∞
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−∞
𝑐
= lim
𝑎→−∞ 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim
𝑏→+∞ 𝑐
где 𝑐 − произвольное число.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,
(𝟒. 𝟑)
Замечание. Несобственный интеграл
+∞
𝑓
−∞
𝑥 𝑑𝑥
сходится, если сходятся оба интеграла в правой части
равенства (4.3), и расходится, если хотя бы один
расходится.
Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или
установить их расходимость.
+∞
𝟏)
𝑒
𝑑𝑥
= lim
4
𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 𝑏→+∞
−3
= lim
𝑏→+∞
1
= − lim
3 𝑏→+∞
𝑙𝑛𝑥
−3
1
𝑙𝑛𝑏
𝑏
𝑒
𝑏
𝑒
1
𝑙𝑛𝑥
1
∙ 𝑑𝑥 =
4 𝑥
𝑑 𝑙𝑛𝑥
1
= − lim
3 𝑏→+∞
1
−
3
𝑙𝑛𝑒
3
1
𝑙𝑛𝑥
𝑏
=
3
𝑒
= ln +∞ = +∞ =
=1
1 1
1
1
=−
−1 =− 0−1 = .
3 ∞
3
3
0
𝟐)
0
𝑥 ∙ 𝑥 2 + 9𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞ 𝑎
−∞
1
= ∙ lim
2 𝑎→−∞
=
1
= ∙ lim
3 𝑎→−∞
𝑥2 + 9
3
2
0+9
3
2
𝑥2 + 9
1
2
∙ 𝑥𝑑𝑥
=
1
2 +9
𝑑
𝑥
2
0
1 2
= ∙ lim
2 3 𝑎→−∞
𝑥2 + 9
3
0
𝑎
𝑎
3
−
𝑎2
+9
= −∞ интеграл расходится.
3
1
= ∙ 27 − ∞ =
3
+∞
𝟑)
−∞
𝑥 2 𝑑𝑥
=
3
𝑥 +1
=
1
= lim
3 𝑎→−∞
0
𝑎
0
𝑥 2 𝑑𝑥
+
3
−∞ 𝑥 + 1
𝑥 2 𝑑𝑥
+∞
0
1
= 𝑑 𝑥3 + 1
3
𝑑 𝑥3 + 1
1
+ lim
3
𝑥 +1
3 𝑏→+∞
1
= lim ln 𝑥 3 + 1
3 𝑎→−∞
0
𝑎
𝑥 2 𝑑𝑥
=
3
𝑥 +1
=
𝑏
0
𝑑 𝑥3 + 1
=
3
𝑥 +1
1
+ lim ln 𝑥 3 + 1
3 𝑏→+∞
𝑏
0
=
1
1
3
= lim 0 − ln 𝑎 + 1 + lim ln 𝑏 3 + 1 − 0 =
3 𝑎→−∞
3 𝑏→+∞
=−∞
=+∞
= −∞ + ∞.
Исходный интеграл расходится, так как расходится
каждый из интегралов в правой части последнего
равенства, а достаточно расходимости только одного.
Признаки сходимости и расходимости интегралов с
бесконечными пределами.
1.Признак сравнения.
Пусть для 𝑥 ∈ 𝑎; +∞) непрерывные функции
𝑓 𝑥 и 𝑔(𝑥) удовлетворяют условию
0≤𝑓 𝑥 ≤𝑔 𝑥 .
Тогда из сходимости интеграла
сходимость интеграла
интеграла
+∞
𝑔
𝑎
+∞
𝑓
𝑎
+∞
𝑓
𝑎
+∞
𝑔
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 следует
𝑥 𝑑𝑥 ; а из расходимости
𝑥 𝑑𝑥 следует расходимость интеграла
𝑥 𝑑𝑥 , причем
+∞
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 ≤
+∞
𝑔
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 .
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл
+∞
1
1
𝑑𝑥.
3
𝑥
𝑥 (2 + 5 )
Решение.
Применим признак сравнения. При 𝑥 ∈ 1; +∞)
1
𝑥 3 (2+5𝑥 )
<
1
.
𝑥3
Исследуем на сходимость интеграл
+∞ 1
𝑑𝑥.
3
1
𝑥
+∞
1
1
𝑑𝑥 = lim
3
𝑏→+∞
𝑥
1
1
= − lim
2 𝑏→+∞ 𝑥 2
=
1
−
2
𝑏
1
𝑏
1
𝑥 −2
1
𝑑𝑥 = lim
3
𝑏→+∞ −2
𝑥
𝑏
=
1
1
1
= − lim
−1 =
2
2 𝑏→+∞ 𝑏
1
2
∙ 0−1 = 
интеграл
+∞ 1
𝑑𝑥
1
𝑥3
сходится, а, значит, сходится и
исходный интеграл, причем
+∞
1
1
1
𝑑𝑥 < .
3
𝑥
𝑥 (2 + 5 )
2
2. Предельный признак сравнения.
Пусть для 𝑥 ∈ 𝑎; +∞) непрерывные функции
𝑓 𝑥 и 𝑔(𝑥) удовлетворяют условию
𝑓 𝑥 > 0,
𝑔 𝑥 >0
и существует конечный предел
𝑓(𝑥)
lim
= 𝑘,
𝑥→+∞ 𝑔(𝑥)
0 < 𝑘 < +∞
то интегралы
+∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 и
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл
+∞
1
1
𝑑𝑥.
3
2
9𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 + 7
Решение.
Применим предельный признак сравнения. При 𝑥 ∈ 1; +∞)
1
1
𝑓 𝑥 = 3
> 0 и 𝑔 𝑥 = 3 > 0,
2
9𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 + 7
𝑥
причем
+∞ 1
𝑑𝑥
3
1
𝑥
сходится (см. пример 2).
𝑓(𝑥)
𝑥3
∞
lim
= lim
=
=
3
2
𝑥→+∞ 𝑔(𝑥)
𝑥→+∞ 9𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 + 7
∞
= lim
1
5 1
7
𝑥→+∞ 9+ + 2 + 3
𝑥 𝑥
𝑥
=
1

9
исходный интеграл тоже сходится.
3. Если интеграл
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
сходится, то сходится и интеграл
+∞
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
(последний в этом случае называют абсолютно
сходящимся).
II. Интегралы от неограниченных функций
(несобственные интегралы 2-го рода).
Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏) и
в точке 𝑥 = 𝑏 имеет бесконечный разрыв. Тогда
несобственный интеграл 2-го рода от функции 𝑓(𝑥)
определяется равенством
𝑏
𝑏−𝜀
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎
𝜀→+0 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
(𝟒. 𝟒)
Если предел в правой части равенства (4.4) существует
и конечен, то несобственный интеграл называется
сходящимся, если же этот предел не существует или
бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Геометрический смысл.
Если непрерывная функция 𝑓 𝑥 > 0 на промежутке
𝑎; 𝑏) и интеграл
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 сходится, то он равен
площади бесконечно высокой криволинейной трапеции.
𝑏−𝜀
Аналогично, если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна для
𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏] и в точке 𝑥 = 𝑎 терпит бесконечный разрыв,
то несобственный интеграл 2-го рода от функции 𝑓(𝑥)
определяется равенством
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎
𝜀→+0 𝑎+𝜀
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
(𝟒. 𝟓)
Если функция 𝑓(𝑥) имеет бесконечный разрыв во
внутренней точке 𝑐 отрезка 𝑎; 𝑏 и непрерывна при 𝑥 ∈
𝑎; 𝑐) ∪ 𝑐; 𝑏 , то несобственный интеграл определяется
формулой
𝑏
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑐
𝑐−𝜀1
= lim
𝜀1 →+0 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
(𝟒. 𝟔)
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim
𝜀2 →+0 𝑐+𝜀
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
Замечание. Несобственный интеграл
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
сходится, если сходятся оба интеграла в правой части
равенства (4.6), и расходится, если хотя бы один из них
расходится.
Признаки сходимости и расходимости несобственных
интегралов от неограниченных функций аналогичны
признакам сходимости интегралов с бесконечными
пределами.
Пример 4. Вычислить несобственные интегралы или
доказать их расходимость
𝟏)
3
2
1
𝑑𝑥
−𝑥 2 + 3𝑥 − 2
.
Подынтегральная функция
1
−𝑥 2 +3𝑥−2
непрерывна для 𝑥 ∈ (1; 1,5] и в точке 𝑥 = 1 терпит
бесконечный разрыв. Поэтому воспользуемся
равенством (4.5).
3
2
1
=
−𝑥 2
= lim
𝑑𝑥
−𝑥 2
+ 3𝑥 − 2
3
2
= lim
𝜀→+0 1+𝜀
1
3
+ 3𝑥 − 2 = − 𝑥 −
4
2
3
2
𝜀→+0 1+𝜀
𝑑 𝑥−
1
2
2
𝑑𝑥
3
2
3
− 𝑥−
2
2
2
= lim
𝜀→+0
−𝑥 2
1
=
2
+ 3𝑥 − 2
2
=
3
− 𝑥−
2
3
𝑥−
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
1
2
2
=
3
2
=
1+𝜀
= lim
𝜀→+0
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 3
3
2
1+𝜀
=
= lim 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛0 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 1 + 𝜀 − 3
𝜀→+0
𝜋
𝜋
= 0 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖 𝑛 −1 = − −
= .
2
2
=
1
𝟐)
0
𝑑𝑥
3
2 − 4𝑥
Подынтегральная функция
1
3
2−4𝑥
непрерывна для 𝑥 ∈
0; 0,5) ∪ (0,5; 1] и в точке 𝑥 = 0,5 терпит бесконечный
разрыв. Поэтому воспользуемся равенством (4.6).
1
0
𝑑𝑥
3
2 − 4𝑥
0,5
=
0
𝑑𝑥
3
2 − 4𝑥
1
+
0,5
𝑑𝑥
3
2 − 4𝑥
=
1
= − lim
4 𝜀1→+0
1
− lim
4 𝜀2→+0
1
= − lim
4 𝜀1 →+0
0,5−𝜀1
2 − 4𝑥
1
−3
𝑑(2 − 4𝑥) −
0
1
2 − 4𝑥
1
−3
𝑑(2 − 4𝑥) =
0,5+𝜀2
2 − 4𝑥
2
3
2
3
0,5−𝜀1
1
− lim
4 𝜀2 →+0
0
2 − 4𝑥
2
3
2
3
1
=
0,5+𝜀2
1 3
= − ∙ lim
4 2 𝜀1→+0
1 3
= ∙ lim
4 2 𝜀2→+0
3
= − lim
8 𝜀1→+0
3
− lim
8 𝜀2→+0
3
3
3
4−
3
2 − 4𝑥
2 − 4𝑥
2
2
0,5−𝜀1
0
1
3
=
0,5+𝜀2
2 − 4 0,5 − 𝜀1
2
2 − 4 0,5 + 𝜀2
3
3
3
=− ∙ 0− 4 − ∙
8
8
3
−
3
− 4 −
2
4 − 0 = 0.
=
𝟑)
1
2
0
𝑑𝑥
2𝑥 − 1
2
Подынтегральная функция
𝑥∈
1
0;
2
и в точке 𝑥 =
1
2
1
2𝑥−1 2
непрерывна для
терпит бесконечный разрыв.
Поэтому воспользуемся равенством (4.4).
1
2
0
𝑑𝑥
2𝑥 − 1
2
1
= lim
2 𝜀→+0
1
−𝜀
2
0
1
1
= − lim
2 𝜀→+0 2𝑥 − 1
1
= − lim
2 𝜀→+0 2
=
1 1
−
2 −0
1
2𝑥 − 1
=
0
−𝜀 −1
+1 =
1
−
2
интеграл расходится.
𝑑 2𝑥 − 1 =
1
2−𝜀
1
1
2
2
+1 =
∙ −∞ = +∞