лекция 2( Теория множеств)

Введение в теорию
множеств
1
Георг Кантор
(03.03.1845 - 06.01.1918)
немецкий математик.
2
Понятие множества
• Под «множеством» мы понимаем соединение в некое
целое M определённых хорошо различимых
предметов m нашего созерцания или нашего
мышления (которые будут называться «элементами»
множества M).
(Г. Кантор).
• Множество есть совокупность различных
элементов, мыслимая как единое целое.
(Б. Расселл)
• Каждый сам знает, что он понимает под множеством.
(Э. Борель)
5
Введение в теорию множеств
1. Основные определения, терминология
Под
множеством А мы понимаем совокупность объектов
произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х).
Обозначение
1)
Указанием определяющего свойства
A  x P x 
2)
Перечислением элементов
A  x , x ,..., x 

1

Пример 1
2

n

B  x x2  2x  3  0
B  3;1
Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые
бесконечные множества. Так,
N={1,2,3,...,n,...}
Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.
6
Определение 1
Множество А называется подмножеством В, если для любого
х ( x  A  x B )
Обозначение:
A  B
Другими словами, символ " A  B " есть сокращение для
высказывания  x  A  x  B
Теорема 2
Для любых множеств А, В, С верно следующее:
а) A  A ;
б) A  B и B  C  A  C .
7
Определение 3
Множества А и В называются равными, если они состоят из
одних и тех же элементов (A=В). Другими словами,
обозначение А=В служит сокращением для высказывания
.
 x  A  x  B
Пример
Указать равные множества
A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0},
E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}.
Теорема 4
Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда
A B
и B A
Доказательство
Доказательство этого факта основано на том, что
эквивалентность X  Y равносильна конъюнкции двух
импликаций  X  Y Y  X 
8
Определение 5
A  B тогда и только тогда, когда A  B и A  B .
Теорема 6
Для любых множеств А, В, С, если A  B и B  C , то A  C
Определение 7
Множество называется пустым, если оно не содержит ни
одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству
(для любого х).
Обозначение:  .
9
2. Операции над множествами
Определение 1
Объединением двух множеств А и В называется
множество A  B  x x  A  x  B
x  A  B  x  A  x B
A
B
A B
Пусть
Пример
А={1,2,3,4},
B={2,4,6,8},
A  B = {1,2,3,4,6,8}.
тогда
10
Объединение множеств
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда:
а) A  A  A
– идемпотентность объединения;
б) A  B  B  A – коммутативность объединения;
в)  A  B  C  A  B  C  – ассоциативность объединения;
г) A    A ;
д) A  B    A  B  
11
Пересечение множеств
Определение 4
Пересечением множеств А и В называется множество
A  B  x x  A  x  B
B
A
A B
Пример
Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда
A  B = 1,7,8
12
Пересечение множеств
Теорема 5
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) A  A  A - идемпотентность пересечения;
б) A  B  B  A - коммутативность пересечения;
в)  A  B  C  A   B  C
- ассоциативность
пересечения;
г) A    
13
Объединение и пересечение множеств
Теорема 6
1)
A B  A
2)
A  A B
3)
A   B  C   A  B   A  C
4) A  B  C    A  B   A  C 
14
Разность множеств, дополнение, симметрическая
разность
Определение 1
Разностью множеств A и B называется множество
A \ B  x | x  A и x  B .
B
A
A\ B
Пример
Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10},
B\A={2,5,6}.
15
Разность множеств
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
1) A \ A  
2) A \ B    A  B
3) A \ B  C    A \ B \ C
4)  A  B \ C   A \ C   B \ C
Теорема 3 (законы Моргана)
а) A \ B  C    A \ B   A \ С 
б) A \ B  C    A \ B   A \ С 
16
Множество U назовем "универсальным", если оно
содержит все элементы и все множества являются
его подмножествами. Понятие "универсального
множества" у нас будет зависеть от круга задач,
которые мы рассматриваем. Довольно часто под
универсальным множеством понимают множество
R –– множество вещественных чисел или
множество С – комплексных чисел. Возможны и
другие примеры. Всегда в контексте необходимо
оговорить, что мы понимаем под универсальным
множеством U.
17
Дополнение множеств
Определение 4
Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U
(или просто дополнением А) называется множество .
A  {x | x  A}
A
A
Пример
Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных
чисел, то – множество A иррациональных чисел
18
Дополнение множеств
Теорема 5
1) A  A
2) U  
3)   U
Теорема 6(законы Моргана для дополнений)
а)
б)
A B  A B ;
A B  A B .
19
Симметрическая разность
• Определение 7
• Симметрической разностью множеств A и B
называют множество
A  B   A  B \  A  B
A
B
A  B
• Задача (3 балла).
• Доказать, что A  B  ( A \ B)  ( B \ A)
20
Парадокс Расселла
• Пусть K — множество всех множеств,
которые не содержат себя в качестве
своего элемента. Содержит ли K само
себя в качестве элемента?
21
Другие формулировки парадокса
Расселла
• Парадокс Брадобрея:
– Одному деревенскому брадобрею приказали «брить
всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам
бреется», как он должен поступить с собой?
• Парадокс Мэра:
– В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны
жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров»,
где должен жить мэр Города мэров?
• Парадокс библиотеки:
– Некая библиотека решила составить библиографический
каталог, в который входили бы все те и только те
библиографические каталоги, которые не содержат ссылок
на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на
себя?
22
Решение задач
23
1. Вычисление множеств
Дано
U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11},
A={1;2;3;7;9},
B={3;4;5;6;10;11},
C={2;3;4;7;8},
D={1;7;11}.
Вычислить множества
1) A  B  1;2;3;4;5;6;7;9;10;11
2)( A  С )  D
 1;2;3;4;7;8;9 D  1;7
3) ( A \ D )  C
 2;3;9C  2;3;4;7;8;9
4) ( B 
 C )  D  2;5;6;7;8;10;11 D  7;11
5)
B \ C  ( D \ A)  5;6;10;11 ( D \ A)  1;2;3;4;7;8;9 11  
2. Выражение множеств
Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9},
A={1, 2, 3, 5},
B={2, 4, 6, 8},
C={1, 3, 5, 7},
D={4, 5, 7, 8}.
Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества.
1) {1,2,3,4,5,7,8}= A  D
2) {4,7,8}= D \ A
3) {2,5,6,7}= B 
D
4) {2,5}= A \ (C \ D )
5) {5,7,9}=  A  D  ( A  B)
6) {4,5}=
Невозможно выразить через данные множества, так как элементы 4 и 8
одновременно принадлежат или не принадлежат данным множествам.
3. Изображение множеств с помощью кругов
Эйлера
Изобразить с помощью кругов
Эйлера следующие множества:
A
1)
B
( A  B)  C
C
A
2)
B
( A  B)  С
C
3. Изображение множеств с помощью кругов
Эйлера
3) B  C \  A  D
4)  A 
 C   D \ A \ C 
4. Выражение множеств, заданных с помощью
кругов Эйлера
A
B
 A  C  \ B  B \  A  C 
C
4. Выражение множеств, заданных с помощью
кругов Эйлера
B  C  \ D  (D \ A \ C)
A \ D  C \ B  D
Декартово произведение
Декартово произведение
Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество,
состоящее из элементов а и b, в котором зафиксирован порядок расположения
элементов. Отметим два характерных свойства упорядоченных пар:
1) a; b  b; a, если a  b
  

2) a; b  x; y  a  x  b  y
Определение 1
Декартовым произведением множеств А и В называется множество


A  B  a; b a  A, b  B
Пример
Пусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогда
A  B  {(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)};
B  A  {(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}.
Очевидно, что, вообще говоря, B  A  A  B
Декартово произведение
Определение 2
а) Множество
A1  A2 ... An  a1; a2 ;...; an  a1  A1 , a2  A2 ,..., an  An 
называется декартовым произведением n множеств;
б) An  A  A... A - (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества
А;
Пример
Пусть
Тогда
A1  1;2;3,
A2  *;, A3  ;
A1  A2  A3  (1;*; ), (1;*;), (1;; ), (1;;), (2;*; ), (2;*;), (2;; ), (2;;), (3;*; ), (3;*;), (3;; ), (3;;)
Декартово произведение
Пример
Очевидно, что
R  R  R 2, где R- множество действительных чисел,
описывает множество всех точек декартовой плоскости
Задача
Изобразить множество
(1;3]  [0;2)
Решение
y
2
-1
0
3
x
Декартово произведение
Теорема 3
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда
A  B  C    A  B   A  C 
A  B  C    A  B   A  C 
A   B \ C   A  B \  A  C
Декартово произведение
Теорема 4
Если множество А состоит из m элементов, а В – из n элементов, тогда
A B
состоит из mn элементов.
Доказательство
ММИ по числу элементов множества B.
 A  B  a; b0  a  A
1) n=1. B  b0
то есть AB имеет m=m*1 элементов.
2) Допустим, что теорема верна при n=k.
3) И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть

 
где
B'  b1 ; b2 ;...; bk 
Тогда


B  b1 ; b2 ;...; bk ; bk 1 ;  B'bk 1

A  B  A  B'bk 1   A  B' A  bk 1 
, где
A  B' A  bk 1  
поэтому множество АВ состоит из mk+m=m(k+1) элементов.