лекция 6(тм Дек. пр)

Теория множеств.
Решение задач
1. Вычисление множеств
Дано
U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11},
A={1;2;3;7;9},
B={3;4;5;6;10;11},
C={2;3;4;7;8},
D={1;7;11}.
Вычислить множества
1) A  B  1;2;3;4;5;6;7;9;10;11
2)( A  С )  D
 1;2;3;4;7;8;9 D  1;7
3) ( A \ D )  C
 2;3;9C  2;3;4;7;8;9
4) ( B 
 C )  D  2;5;6;7;8;10;11 D  7;11
5)
B \ C  ( D \ A)  5;6;10;11 ( D \ A)  1;2;3;4;7;8;9 11  
2. Выражение множеств
Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9},
A={1, 2, 3, 5},
B={2, 4, 6, 8},
C={1, 3, 5, 7},
D={4, 5, 7, 8}.
Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества.
1) {1,2,3,4,5,7,8}= A  D
2) {4,7,8}= D \ A
3) {2,5,6,7}= B 
D
4) {2,5}= A \ (C \ D )
5) {5,7,9}=  A  D  ( A  B)
6) {4,5}=
Невозможно выразить через данные множества, так как элементы 4 и 8
одновременно принадлежат или не принадлежат данным множествам.
3. Изображение множеств с помощью кругов
Эйлера
Изобразить с помощью кругов
Эйлера следующие множества:
A
1)
B
( A  B)  C
C
A
2)
B
( A  B)  С
C
3. Изображение множеств с помощью кругов
Эйлера
3) B  C \  A  D
4)  A 
 C   D \ A \ C 
4. Выражение множеств, заданных с помощью
кругов Эйлера
A
B
 A  C  \ B  B \  A  C 
C
4. Выражение множеств, заданных с помощью
кругов Эйлера
B  C  \ D  (D \ A \ C)
A \ D  C \ B  D
Декартово произведение
Декартово произведение
Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество,
состоящее из элементов а и b, в котором зафиксирован порядок расположения
элементов. Отметим два характерных свойства упорядоченных пар:
1) a; b  b; a, если a  b
  

2) a; b  x; y  a  x  b  y
Определение 1
Декартовым произведением множеств А и В называется множество


A  B  a; b a  A, b  B
Пример
Пусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогда
A  B  {(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)};
B  A  {(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}.
Очевидно, что, вообще говоря, B  A  A  B
Декартово произведение
Определение 2
а) Множество
A1  A2 ... An  a1; a2 ;...; an  a1  A1 , a2  A2 ,..., an  An 
называется декартовым произведением n множеств;
б) An  A  A... A - (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества
А;
Пример
Пусть
Тогда
A1  1;2;3,
A2  *;, A3  ;
A1  A2  A3  (1;*; ), (1;*;), (1;; ), (1;;), (2;*; ), (2;*;), (2;; ), (2;;), (3;*; ), (3;*;), (3;; ), (3;;)
Декартово произведение
Пример
Очевидно, что
R  R  R 2, где R- множество действительных чисел,
описывает множество всех точек декартовой плоскости
Задача
Изобразить множество
(1;3]  [0;2)
Решение
y
2
-1
0
3
x
Декартово произведение
Теорема 1
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда
A  B  C    A  B   A  C 
A  B  C    A  B   A  C 
A   B \ C   A  B \  A  C
Декартово произведение
Доказательство
 x, y  A   B  C  x  A  y  B  C 
  x  A  y  B   x  A  y C 
  x; y  A  B   A  C
Следовательно
 x  A   y  B  y C 
  x; y  A  B   x; y  A  C 
A   B  C   A  B   A  C
Декартово произведение
Доказательство
 x; y  A   B  C  x  A  y  B  C 
 x  A  y  B  y C 
  x  A  y  B   x  A  y C 
  x; y  A  B   x; y  A  C 
 x; y    A  B   A  C 
Следовательно
A   B  C   A  B   A  C
Декартово произведение
Доказательство
 x; y  A  B \  A  C 
  x; y  A  B   x; y  A  C 
 x  A  y  B  x  A  y C 
 x  A  y  B  x  A  y  C  
 x  A  y  B  x  A  x  A  y  B  y  C  
 x  A   y  B  y C 
 x  A  y  B \ C   x; y  A   B \ C
Следовательно
 A  B \  A  C  A   B \ C
Декартово произведение
Теорема 4
Если множество А состоит из m элементов, а В – из n элементов, тогда
A B
состоит из mn элементов.
Доказательство
ММИ по числу элементов множества B.
 A  B  a; b0  a  A
1) n=1. B  b0
то есть AB имеет m=m*1 элементов.
2) Допустим, что теорема верна при n=k.
3) И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть

 
где
Тогда
B'  b1 ; b2 ;...; bk 


B  b1 ; b2 ;...; bk ; bk 1 ;  B'bk 1

A  B  A  B'bk 1   A  B' A  bk 1 
, где
A  B' A  bk 1  
поэтому множество АВ состоит из mk+m=m(k+1) элементов.