МНОЖЕСТВА

МНОЖЕСТВА
Множество – одно из основных понятий математики.
Основатель теории множеств – Георг Кантор, немецкий математик (1845-1918). Он так
определил множество: «многое, мыслимое как единое, целое».
1.
2.
3.
4.
5.
Правила записи множеств:
Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …
Элементы множества записывают в фигурных скобках через точку с запятой.
Одинаковые элементы не повторяются.
Элементы записываются в любом порядке.
«  » - элемент принадлежит множеству
«  » - элемент не принадлежит множеству
Пример 1: математика
С=  м; а; т; е; и; к 
а  С, р  С
Пример 2: К=  11, 34, 60, 16, 90 
(60+30)  К ?
(72  8)  К ?
( 20  3)  К ?
Множество может быть задано:
1. Перечислением всех его элементов.
2. Описанием свойства, которым обладают все элементы множества.
3. Обобщающим словом, которым могут быть названы все элементы этого множества.
Пример 3: по какому признаку составлены множества:
Е=  зима, весна, лето, осень
Д=  6,3,5,2,4 
В=  11, 13, 15, 17, 19 

МНОЖЕСТВА


конечные бесконечные
Множество, содержащее один элемент – одноэлементное множество.
Множество, не содержащее элементов – пустое множество (  ).
А=  1, 3, 5  , В=  3, 5
подмножеством А.
 . Тогда говорят, что В содержится в А или В является
ВА
Если множества состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.
Например: С=  2, 4  , Д=  4, 2  . С=Д.
Часто множества изображают кругами, эти круги обычно называют «кругами Эйлера» по
имени величайшего математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Л. Эйлер родился и вырос в
Швейцарии, а работал в основном в России и Германии. За свою жизнь Эйлер написал
более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые «очень подходят для
того, чтобы облегчить наши размышления».
Операции над множествами.
Над множествами, как и над числами, производят операции. Рассмотрим некоторые из
них: пересечение и объединение.
Пересечение множеств:
Пусть Х=  а, б, в, г, д  и Y=  г, д, е, ж  .
Эти множества имеют общие элементы – г, д. Множество общих элементов X и Y и
обозначают с помощью знака «  ».
X Y
Пусть А=  1, 3, 5
 . Множества А и Х не имеют ни одного общего элемента. Тогда
А  Х= 
Объединение множеств:
Если из элементов множеств Х и Y составить новое множество, состоящее из всех
элементов этих множеств и не содержащих других элементов, то получится объединение
множеств Х и Y, которое обозначают с помощью знака  :
Х  Y=

а,б,в,г,д,е,ж

Объединение множеств А и Х не является пустым:
А  Х=  1, 3, 5, а, б, в, г, д

ЗАДАЧИ:
1. Запишите с помощью фигурных скобок множества:
а) однозначных нечетных чисел;
б) двузначных четных чисел, меньших 20;
в) однозначных четных чисел;
г) двузначных нечетных чисел, меньших 20.
Каким общим свойством обладают все числа, принадлежащие всем этим
множествам?
2. А=  1, 2, 3, 4, 5, 7  , В=  3, 4, 5, 6, 8, 9  , С=  9, 10
Д=  4, 5, 7, 8, 11, 12, 13  , Е=  11 
а) А  В ?
А Д ?
В С ?
Е С ?
В С ?
Е С ?
б) Является ли Е подмножеством В; подмножеством Д?
в) Изобразите с помощью кругов Эйлера:
А В
А Д
В С
Е С
,
Домашняя работа:
1. Составить множество, состоящее из учеников вашего класса, носящих имя …
2. Даны множества: А=  0, 1, 2, 3, 4, 5  , В=  6, 7, 8  ,
С=  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  , Д=  7  , Е=  4, 5 
а) Указать, какие из данных множеств являются подмножествами других данных
множеств.
б) Изобразить с помощью кругов Эйлера:
А В
А С
В Д
А Е
В Д
В Е
А С
3. Привести примеры множеств, задать их различными способами.