Алгебра множеств

Алгебра множеств.
В этом листке вводятся основные обозначения и начала теории множеств,
сформулированной немецким математиком Г. Кантором. Понятие множества
принадлежит к числу простейших математических понятий.
Множество – набор, совокупность каких-либо объектов, называемых его элементами.
В каждом случае мы выделяем из всевозможной совокупности объектов некоторый класс
этих объектов, обладающих определёнными, им присущими, свойством. Этот класс
объектов мы называем множеством, отвлекаясь, в дальнейшем, от природы этих
объектов. Так, можно говорить о множестве точек на прямой, множестве сторон
многоугольника, множестве решений уравнения.
Множества мы будем обозначать прописными буквами
. Если некоторое множество
так:
состоит из элементов
, а их элементы малыми
, то это записывается
.
Утверждение “элемент принадлежит множеству ” символически записывается так:
; запись
означает, что элемент не принадлежит множеству .
Ясно, что утверждения
и
не могут выполнятся одновременно.
Определение 1.1: Множество называется подмножеством множества , если
каждый элемент, принадлежащий множеству , принадлежит и множеству .
Обозначение:
(или
).
Определение 1.2: Два множества и называются равными
(тождественными), если одновременно выполняется
и
.
Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество (например множество
корней уравнения) хотя бы один элемент, поэтому:
Определение 1.3: Пустым множеством называется множество, не содержащее
ни одного элемента. Обозначается: .
Замечание: Любое множество содержит
в качестве своего подмножества.
Задача 1.1: Сколько существует подмножеств у множества, состоящего из:
a). трёх элементов
b). n элементов.
Задача 1.2: Доказать, что множество тогда и только тогда является
подмножеством множества , когда любой элемент, не принадлежащий
принадлежит .
, не
Определение 1.4: Множество
и
, если
называется объединением, или суммой, множеств
или
или
(см. рис.1). Обозначается:
означает, что множество
которых удовлетворяет условию:
Определение 1.5: Множество
и
или
. Запись
состоит из элементов, каждый из
.
называется пересечением множеств
(см. рис.2). Обозначается:
Задача 1.3: Доказать, что для множеств
верно
и
, если
.
и
.
Задача 1.4: Докажите свойства объединения и пересечения множеств:
a).
(коммутативность)
b).
(ассоциативность)
c).
(дистрибутивность)
Определение 1.6: Множество
и
называется разностью множеств
(см. рис.3). Обозначается:
и
, если
.
Задача 1.5: Доказать:
a).
b).
Определение 1.7: Пусть задано некоторое фиксированное множество , и
.
Множество
называется дополнением множества , в том смысле, что
дополняет множество до (см. рис.4).
Задача 1.6: Доказать:
a).
b).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4