Теория вероятности Задачи для подготовки к ГИА и ЕГЭ

Теория вероятности
Задачи для подготовки
к ГИА и ЕГЭ
Введение
В настоящее время основой описания
научной картины мира стали
вероятностно – статистические законы.
Современная физика, химия, биология,
демография, социология, лингвистика,
весь комплекс социально –
экономических наук развиваются на
вероятностно-статистической базе.
Приказом Минобразования России
"Об утверждении федерального
компонента государственных
стандартов начального общего,
основного общего и среднего (полного)
общего образования" от 5 марта 2004 г.
№ 1089
Элементы теории вероятности и
математической статистики были
введены в программы по математике
«элементы логики, комбинаторики,
статистики и теории вероятностей
становятся обязательным
компонентом школьного
образования, усиливающим его
прикладное и практическое
значение».
Что изучает теория вероятности?
 Закономерности,
возникающие при
многократном повторении
случайных явлений
 Вероятность — числовая
характеристика возможности
появления случайного события в
определенных условиях, которые
могут быть воспроизведены
неограниченное число раз.
Современная Теория вероятности
ушла от азартных игр также далеко, как
геометрия от задач землеустройства, но
их реквизит по-прежнему остается
наиболее простым и надежным
источником случая.
 Поэтому материалом для экспериментов
чаще всего служат монета, кубик,
рулетка, колода карт.

Понятия
Эксперимент (опыт), результат которого
нельзя точно предсказать до его
осуществления, называют случайным
 Взаимоисключающие друг друга результаты
случайного эксперимента называют исходами
или элементарными событиями, их
совокупность – множеством исходов
эксперимента.
 Любое подмножество множества исходов 
событие
Событие
невозможное
 случайное
 достоверное

 Бросаем
два кубика.
А={сумма очков на кубиках равна 20}
 B={сумма очков на кубиках равна 11}
 C={на двух кубиках выпало число
очков, больше 1, но меньше 13}

Что вероятнее?
А={вытянуть пиковую даму из
перетасованной колоды карт}
В = {вытянуть шестерку из
перетасованной колоды карт}
С = {получить шестерку при
подбрасывании кубика}
Шансы
имеет смысл сравнивать как дроби:
1 шанс из 6 лучше, чем 4 шанса из 36
Математическая модель опыта
 Построение
математической модели
эксперимента предполагает описание:
 Возможных исходов
 Событий
 Вероятности наступления этих
событий
Множество исходов эксперимента


Ваня два раза
подбрасывает монету
и после каждого
броска записывает на
листе, что выпало –
герб или цифра.
Описать множество
исходов эксперимента.

Маша рисует в тетради
отрезок ОА длиной 10
см, произвольно ставит
на нем точку В, после
чего измеряет длину
отрезка ОВ. Описать
множество исходов
данного эксперимента.
Ω = { ГГ,ГЦ,ЦГ,ЦЦ }  Ω = { х | 0 ≤ х ≤ 10 }
Множество исходов эксперимента

В коробке лежат три шара: К, С, Б.
Извлекаются два из них и фиксируются их
цвета. Описать множество исходов.
Возвращается шар?
Учитывается порядок?
1
1.Ω
2
Учитывается порядок?
3
4
={ кс,ск,кб,бк,сб,бс }
нд - РБП
2.Ω ={ кс,кб,сб}
нн – СБП
3.Ω ={кс,ск,кб,бк,сб,бс,кк,сс,бб} дд – РП
4.Ω ={кс,кб,сб,кк,сс,бб}
дн - СП
Аксиоматическое определение
вероятности (А.Н. Колмогоров)
 Ω = {ω1, ω2 …ωn } множество всех исходов
эксперимента.
 Р (Ω) – неотрицательная числовая
функция, для которой
 р(ω1)+ р(ω2)+…+ р(ωn)=1 распределение
вероятности на Ω
 Событие А – любое подмножество Ω
 Р(А) – сумма вероятностей входящих в
него исходов
Как часто происходит событие?
Абсолютная частота – количество
повторений данного события в серии
испытаний
 Относительная частота –доля
экспериментов, завершившаяся
наступлением данного события
 Относительную частоту можно найти,
поделив абсолютную частоту на число
экспериментов

Статистическое определение
вероятности

За вероятность случайного события
можно приближенно принять его
относительную частоту, полученную в
длинной серии экспериментов.

После десяти бросаний двух кубиков
сумма 12 не была получена ни разу.
Можно ли утверждать, что вероятность
этого события равна нулю?
Статистическая вероятность
Оценить вероятность того, что диод
способен проработать свыше 10 тыс.
часов
 На стенде испытаний: 1000 диодов
 Через 10 тыс. часов 100 штук «сгорели»


Искомая вероятность ≈ 9/10
Классическое определение
вероятности

Пусть все исходы равновозможны.
 A — событие из числа равновозможных
случаев
 N – число всех возможных исходов
эксперимента
 M – число исходов, благоприятных для
события А
 Вероятность случайного события А
Р(А) = M : N
Какова вероятность встретить
белого медведя на улице?
 Ответ:
½ (либо встретишь, либо не
встретишь)
 Где ошибка?
 События не равновозможные
Ошибка Даламбера
Какова вероятность, что подброшенные
вверх две правильные монеты упадут на
одну и ту же сторону?
 Опыт имеет три равновозможных исхода
 1) Обе монеты упали на «орла»
 2) Обе монеты упали на «решку»
 3) одна из монет упала на «орла»,
другая – на «решку»
 Вероятность равна 2:3 ?

Геометрическая вероятность
Множество исходов – некоторое
множество точек на числовой прямой,
на плоскости или в пространстве,
имеющее меру (длину, площадь, объем)
 Вероятность попадания в любую часть
множества пропорциональна мере этой
части

 Р(А)
= m(А) : m(Ω)
Геометрическая вероятность
Выберем на географической карте
Европы случайную точку. Какова
вероятность, что эта точка окажется в
России?
 Для ответа нужно знать, какую часть
площади всей карты составляет
площадь России.
 Отношение этих площадей даст искомую
вероятность.

Геометрическая вероятность
 На
светофоре одну минуту горит
зеленый свет, две минуты красный,
одну минуту зеленый, две минуты
красный и т.д. В случайный момент
времени к перекрестку подъезжает
автомобиль. Какова вероятность
того, что он проедет перекресток
без остановки?
Решение задачи о светофоре
Опыт состоит в случайном выборе
момента t из промежутка от 0 до 3 минут
 Множество исходов Ω = [0;3]
 Событие А={автомобиль проезжает
перекресток без остановки} задается
неравенством 0≤ t ≤ 1

 Р(А)
=1:3
(отношение длин отрезков)
№1
В
случайном эксперименте
бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 8 очков. Результат
округлите до сотых
Решение задачи №1:




Событие А – «в сумме выпало 8 очков»
Рассмотрим возможные исходы при двух бросках.
Количество вариантов различных чисел, выпавших на
первой кости равно 6. Каждому из них соответствует
любой из 6 вариантов, выпавших на второй кости. Значит,
количество возможных исходов равно 6*6=36
Рассмотрим благоприятные исходы.
Сумма в 8 очков могла получиться при следующих
вариантах двух бросков:
1бросок
2
3
4
5
6
2 бросок
6
5
4
3
2
Количество
благоприятных исходов равно 5
Найдем вероятность события А - Р(А)= 5:36
№2
В
случайном эксперименте
симметричную монету
бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орел
выпадет ровно один раз
Решение задачи № 2:

Событие А – «орел выпал ровно один раз»
Рассмотрим возможные исходы после двух
бросков монеты.
1бросок
орел
орел
решка
решка
2 бросок
орел
решка
орел
решка
Количество
возможных исходов равно 4
Количество благоприятных исходов - 2
Найдем вероятность события А:
Р(А)= 2:4 = 0,5
№3
Миша,
Рома, Олег, Паша
и Дима бросили жребий
– кому начинать игру.
Найдите вероятность
того, что начинать игру
должен будет Рома.
Решение задачи № 3:






Рассмотрим возможные исходы:
«Игру начинает Миша»
«Игру начинает Рома»
«Игру начинает Олег»
«Игру начинает Паша»
«Игру начинает Дима»
Количество
возможных исходов равно 5
Количество благоприятных исходов - 1
Событие А – «Игру начинает Рома»
Найдем вероятность события А:
 Р(А)= 1:5 = 0,2
№4

Конкурс исполнителей проводится в 3
дня. Всего заявлено 40 выступлений –
по одному от каждой страны. В
первый день 30 выступлений,
остальные распределены поровну
между оставшимися днями. Порядок
выступлений определяется жребием.
Какова вероятность, что выступление
представителя России состоится в
третий день конкурса?
Решение задачи № 4:
Событие А: «Представитель России
выступит в третий день конкурса»
 Всего заявлено 40 выступлений – это
количество всех возможных исходов.
 В третий день состоится
 (40 - 30) : 2 = 5 выступлений – это
количество благоприятных исходов для
события А
 Значит, Р(А) = 5 : 40 = 0,125

№5
 Игральную
кость (кубик) бросили
один раз. Какова вероятность
того, что выпало менее 4 очков?
Решение задачи №5:
 Событие
А – «выпало 1, 2 или 3 очка»
 Все возможные исходы:
1, 2, 3, 4, 5, 6
 Благоприятные исходы: 1, 2, 3.
 Вероятность события А:
Р(А) = 3 : 6 = 0,5
№6

На соревнования по метанию ядра
приехали 2 спортсмена из
Великобритании, 2 из Испании и 4 из
Швейцарии. Порядок выступлений
определяется жребием. Найдите
вероятность того, что восьмым будет
выступать спортсмен из Испании.
Решение задачи №6:
Событие А – «восьмым выступает спортсмен
из Испании»
 Восьмым может выступать с равной
вероятностью любой из восьми спортсменов.
Число всех исходов – 8.
 Число благоприятных исходов – 2
(2 спортсмена из Испании)
Р(А) = 2 : 8 = 0,25

№7

Перед началом футбольного матча
судья бросает монету, чтобы
определить, какая из команд будет
первая владеть мячом. Команда
«Витязь» по очереди играет с
командами «Атлант» и «Титан».
Найдите вероятность того, что
команда «Витязь» не выиграет право
первой владеть мячом ни в одном
матче.
Решение задачи №7:
Событие С – «команда «Витязь» не
выиграет право первой владеть
мячом ни в одном матче.
 Найдем число всех исходов.
Возможные исходы жеребьевок : ВВ,
АВ, АТ, ВТ
 Благоприятные исходы: АТ
 Вероятность события С:
Р(С) = 1 : 4 = 0,25

№8
В
сборнике билетов по географии
всего 25 билетов, в 6 из них
встречается вопрос о водоемах.
Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене
билете школьнику встретится
вопрос о водоемах.
№9
 Люда
дважды бросает
игральный кубик. В сумме у
нее выпало 9 очков. Найдите
вероятность того, что при
первом броске выпало 5
очков.
Решение задачи №9:
Событие С – «Выпало 5 очков при первом
броске».

Найдем число всех исходов.
Возможных исходов 4:
1 бросок
6
5
4
3
2 бросок
3
4
5
6
Число благоприятных исходов – 1.
 Р(С) = 1 : 4 = 0,25

№10
На чемпионате по прыжкам в воду
выступают 50 спортсменов, среди них
3 прыгуна из России и 5 прыгунов из
США. Порядок выступлений
определяется жребием. Найдите
вероятность того, что сорок вторым
будет выступать прыгун из России.
 Ответ: 0,06

Решение задачи №10:
Событие С – «сорок вторым будет
выступать прыгун из России»
 Число всех исходов – 50, так как
каждый из 50 спортсменов может
выступать сорок вторым.
 Число благоприятных исходов - 3
 Вероятность события С:
Р(С) = 3 : 50 = 0,06

№11
В
среднем из 500 фонариков,
поступивших в продажу, 5
неисправны. Найдите
вероятность того, что один
купленный фонарик окажется
исправным.
Решение задачи №11:
Статистическая вероятность.
 На стенде испытаний – 500
фонариков
 Неисправных среди них 5
 Вероятность купить неисправный
фонарик
5 : 500 = 0,01
 Значит, исправный можно купить с
вероятностью 1- 0,01 = 0,99

№12

Лена и Саша играют в кости. Они
бросают кость по одному разу.
Выигрывает тот, кто выбросил больше
очков. Если очков выпало поровну, то
наступает ничья. В сумме выпало 8
очков. Найдите вероятность того, что
Лена выиграла.
Решение задачи №12:
Событие С – «выпало больше очков при броске
Лены».

Найдем число исходов с суммой очков 8.
Возможных исходов 5:
бросок Лены
6
5
4
3
2
бросок Саши
2
3
4
5
6
Из них благоприятных исходов - 2.
 Р(С) = 2 : 5 = 0,4

№13

В чемпионате мира участвует 15 команд. С
помощью жребия их нужно разделить на
пять групп по три команды в каждой. В
ящике вперемешку лежат карточки с
номерами групп:
1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5
Капитаны команд тянут по одной карточке.
Какова вероятность того, что команда
Италии окажется в третьей группе?
Решение задачи №13:
 Событие
С – «капитан Италии
вытащил карточку с номером 3»
Число всех исходов – 15
Число благоприятных исходов – 3
Вероятность события С:
Р(С) = 3 : 15 = 0,2
Развитие теории вероятности
 На
первом этапе истории этой
науки она рассматривалась
как собрание курьезных
задач, связанных в первую
очередь с азартными играми
в кости и карты.
 Первоначально
её основные
понятия не имели строго
математического вида, к ним
можно было относиться как к
некоторым эмпирическим
фактам, как к свойствам
реальных событий и они
формулировались в
наглядных представлениях.
Во второй половине XIX века
основной вклад внесли русские
учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков
и А. М. Ляпунов. Современный вид
теория вероятностей получила
благодаря аксиоматизации,
предложенной А. Н. Колмогоровым.
В результате теория вероятностей
приобрела строгий математический
вид и окончательно стала одним из
разделов математики.
Основатели
«Теории вероятности»
Б. Паскаль
Я. Бернулли
Х. Гюйгенс
П. Ферма
Литература:

Мордкович А.Г., Семенов П.В. События.
Вероятность. Статистика: Дополнительные
материалы к курсу алгебры для 7-9 кл. – М.:
Мнемозина, 2002. (к учебникам А.Г.
Мордковича)
 Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Алгебра, 7-9:
Элементы статистики и вероятность. - М.:
Просвещение, 2007.
(к учебникам А.Ш. Алимова и др.)
 Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и
статистика, 5-9 кл. – М.: Дрофа, 2006.
 Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая
линия в базовом школьном курсе математики.Математика в школе, №4, 2002.
3000 задач с ответами по математике, - М.:
Экзамен, 2012
 Мордкович А.Г., Семенов П.В. События,
вероятности, статистическая обработка
данных.- Математика (приложение к газете
«Первое сентября»), №34, 35, 41, 43, 44,
48, 2002, №11, 17, 2003.
 Материалы с сайта www.1september.ru,
фестиваль педагогических идей «Открытый
урок»
 Материалы с сайта www.mathege.ru
