Множества и последовательности

§ 2. Последовательность
Опр. 8. Числовой последовательностью называется счетное
множество чисел.
x1; x2; x3; …; xn;…
ОПР. 8*
или
{xn}
xn = f (n)
ОПР. 9. Последовательность называется ограниченной
∃ M <+∞, ∀n xn ≤ M
 снизу , если ∃m >−∞, ∀n xn ≥ m
 сверху, если
 ограниченной, если она ограничена сверху и снизу
Опр. 10.
Число А называется пределом последовательности {xn}
при n→∞, если   0 N ( ) n  N | xn  A | 
Пишут:
lim xn  A
n
Доказать:
n
lim
1
n  n  1
Опр. 11.
Последовательность {xn} называется бесконечно большой (б.б), если
C  0 N n  N | xn | C
Пишут:
xn =n2
lim xn  
n
xn
C=100
100
50
C=9
2
4
6
8
11
n
Опр. 12.
Последовательность {xn} называется бесконечно малой (б.м.п), если
lim xn  0
n 
то есть, если   0 N ( ) n  N ( ) | xn | 
Опр. 13.
Последовательность {xn} называется постоянной, если все ее члены
равны одному и тому же числу
Свойства б.м. и б.б. последовательностей
Б.м.п. ограничена ДОКАЗАТЬ
Произведение б. м. п. на ограниченную последовательность есть
б. м. п. ДОКАЗАТЬ
Следствие
а) Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.
б) Произведение конечного числа б.м.п. есть б.м.п.
3.
Сумма и разность б. м. п. есть так же б. м. п.
ДОКАЗАТЬ
4.
Если { xn } б. б. п., то 1 б.м.п. и наоборот.
ДОКАЗАТЬ
1.
2.
{ xn }
5.
6.
7.
8.
9.
Если {xn} – постоянная и {xn} – б.м.п., то xn =0
ДОКАЗАТЬ
Сумма и произведение б. б. п. есть так же б. б. п.
Если последовательность {xn} ограниченная и отделимая от нуля
(начиная с некоторого номера N xn > K ≠ 0), а {yn} – б. б. п., то их
произведение б. б. п.
Если {xn} – б. б. п. и ∀n имеет место неравенство xn < yn , то
{yn} – б. б. п.
Сумма б. б. разного порядка эквивалентна б.б. высшего порядка
Сходящиеся последовательности
Опр. 14. Если существует конечный предел последовательности {xn},
то она называется сходящейся
1.
Свойства сходящихся последовательностей
Если {xn} сходится, то она имеет единственный предел.
ДОКАЗАТЬ
2.
Если lim xn  a, то xn = a + αn (αn – б.м.п)
ДОКАЗАТЬ
n 
3.
Если {xn} сходится, то она ограничена.
ДОКАЗАТЬ
ЗАМЕЧАНИЕ: не всякая ограниченная последовательность сходится
СЛЕДСТВИЕ: Всякая неограниченная последовательность расходится
4.
Если lim xn  l и xn≠0 и l ≠0, то  1  – ограниченная
n 
 
последовательность
 xn 
5.
Пусть lim xn  l1 lim yn  l2 тогда a ) lim ( xn  yn )  l1  l2
n 
ДОКАЗАТЬ
n 
n
b) lim xn  yn  l1  l2
n
c) lim
n
xn l1

y n l2
l2  0
Предельный переход в неравенствах
6.
7.
Пусть lim xn  l1 lim yn  l2 , тогда если xn ≤ yn, то l1≤l2
n 
n 
«Теорема о двух полицейских»
Если ∃ N ∀n >N:
а) n xn  zn  yn
xn  lim yn  l
б)  lim
n 
n 
zn  l
то существует предел lim
n 
Теорема 2. (Критерий сходимости Коши)
Для того чтобы последовательность {xn} имела конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы
ДОКАЗАТЬ
  0 N m, n  N | xm  xn | 
Предел монотонной последовательности
Опр. 15. Последовательность {xn} называется
- возрастающей, если ∀n xn < xn+1; обозначают
- неубывающей, если ∀ n xn ≤ xn+1;
(↑)
- убывающей, если ∀ n xn > xn+1;
(↓)
- невозрастающей, если ∀ n xn  xn+1; (↓)
(↑)
Опр. 16. Возрастающая и убывающая последовательности
называются монотонными
Т. 3. Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности)
Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и
ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел,
равный sup{xn} ( inf {xn} ).
ДОКАЗАТЬ