слайды к теме 2

Опр. 15. Числовой последовательностью называется упорядоченное
счетное множество чисел.
x1; x2; x3; …; xn;…
ОПР. 15*
или
{xn}
xn = f (n)
ОПР. 16. Последовательность называется ограниченной
∃ M <+∞, ∀n xn ≤ M
 снизу , если ∃m >−∞, ∀n xn ≥ m
 сверху, если
 ограниченной, если она ограничена сверху и снизу
Опр. 17.
Число А называется пределом последовательности {xn}
при n→∞, если   0 N ( ) n  N | xn  A | 
Пишут:
lim xn  A
n
Доказать:
n
lim
1
n  n  1
Опр. 18.
Последовательность {xn} называется бесконечно большой (б.б), если
C  0 N (C ) n  N | xn | C
Пишут:
xn =n2
lim x n  
n 
xn
C=100
100
50
C=9
2
4
6
8
11
n
Опр. 19.
Последовательность {xn} называется бесконечно малой (б.м.п), если
  0 N ( ) n  N ( ) | xn | 
пишут
lim xn  0
n 
Свойства б.м. последовательностей
Б.м.п. ограничена
Произведение б. м. п. на ограниченную последовательность есть
б. м. п.
Следствие
а) Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.
б) Произведение конечного числа б.м.п. есть б.м.п.
3.
Сумма и разность б. м. п. есть так же б. м. п.
4.
Если { xn } б. б. п., то 1 б.м.п. и наоборот.
1.
2.
5.
{ xn }
Если {xn} – постоянная и {xn} – б.м.п., то xn =0
Свойства бесконечно больших
последовательностей
прочитать и изучить самим
§ 4. Сходящиеся последовательности
Опр. 21. Если существует конечный предел последовательности {xn},
то она называется сходящейся
1.
Свойства сходящихся последовательностей
Если {xn} сходится, то она имеет единственный предел.
2.
Если lim xn  a, то xn = a + αn (αn – б.м.п)
n 
3.
Если {xn} сходится, то она ограничена.
ЗАМЕЧАНИЕ: не всякая ограниченная последовательность сходится
СЛЕДСТВИЕ: Всякая неограниченная последовательность расходится
4.
Если lim xn  l и xn≠0 и l ≠0, то  1  – ограниченная
n 
 
последовательность
 xn 
5.
Пусть lim xn  l1 lim yn  l2 тогда a ) lim ( xn  yn )  l1  l2
n 
n 
n
b) lim xn  yn  l1  l2
n
c) lim
n
xn l1

y n l2
l2  0
Предельный переход в неравенствах
6.
7.
Пусть lim xn  l1 lim yn  l2 , тогда если xn ≤ yn, то l1≤l2
n 
n 
«Теорема о двух полицейских»
Если ∃ N ∀n >N:
а) n xn  zn  yn
xn  lim yn  l
б)  lim
n 
n 
zn  l
то существует предел lim
n 
Теорема 2. (Критерий сходимости Коши)
Для того чтобы последовательность {xn} имела конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы
  0 N m, n  N | xm  xn | 
§ 5. Предел монотонной последовательности
Опр. 22. Последовательность {xn} называется
- возрастающей, если ∀n xn < xn+1; обозначают
- неубывающей, если ∀ n xn ≤ xn+1;
(↑)
- убывающей, если ∀ n xn > xn+1;
(↓)
- невозрастающей, если ∀ n xn  xn+1; (↓)
(↑)
Опр. 22*. Возрастающая и убывающая последовательности
называются монотонными
Т. 3. Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности)
Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и
ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел,
равный sup{xn} ( inf {xn} ).