Эконометрика

Тема 1. Элементы теории
вероятностей и статистики
Решение задач на
доверительные интервалы
Интервальные оценки параметров
Выборочные оценки параметров являются СВ.
На основании выборочных оценок можно установить
интервалы, внутри которых с некоторой вероятностью
находятся истинные значения параметров.
Интервальной оценкой параметра θ называется
интервал (θ1, θ2), который с заданной вероятностью 
накрывает неизвестное значение параметра.
Интервал (θ1, θ2) называется доверительным
интервалом, а вероятность  – доверительной

вероятностью (надежность. доверительного
интервала).
Вероятность   1   называется уровнем
значимости.
Интервальные оценки параметров
P1     2   1    
P  1   P   2    / 2
  1    0,1; 0,05; 0,01
Доверительный интервал
f ( * )
P1     2   1    
P  1    / 2
P   2    / 2
P1     2   1    

*
Доверительный интервал для МО нормальной СВ
при известной дисперсии
1)
2) X ~ N m, 
x m


U

~
N
0
,
1
3)
/ n
4) x  u / 2 

1
m 
n
*
n
 xi  x
i 1
 m  x  u / 2 
n
1 

5) Фu / 2  
2
2

n
Точность (предельная погрешность) оценки МО:
1)
2)
  u / 2 

n
Задача №1
n=25, X~N(m, 10).
1. Находим критическую точку СНЗР
1 
Фu / 2  

2
2
2. Вычисляем предельную ошибку для МО
  u / 2 

n
3. Определяем ДИ для МО
x   m  x 
1. Вычисление критической точки СНЗР
(двусторонняя критическая область)

2

2
 U kp
U kp
U kp  НОРМСТОБР (1 2. Вычисление предельной ошибки

2
  ДОВЕРИТ ( ;  ; n)
U
)
Доверительный интервал для мат. ожидания
нормальной СВ при неизвестной дисперсии
1) X ~ N m, 
n
n
1
1
2
*
2


m

x

x
,
S

x

x
, S  S2
2)


i
i
n i 1
n  1 i 1
3) T  x  m - Распределение Стьюдента с n-1
степенями свободы
S/ n
s
s
 m  x  t  / 2, n  1 
4) x  t  / 2, n  1 
n
n
Точность (предельная погрешность) оценки МО:
1)
2)
S
  t / 2,n1 
n
Доверительный интервал для прогнозируемого
МО нормальной СВ при неизвестной дисперсии
1)
Задана выборка :
x1 , x2 ,..., xn 
Построить доверительный интервал для
2)
Доверительный интервал:
1
x  t  / 2, n  1  S 1   xn 1  x 
n
1
 t  / 2, n  1  S 1 
n
xn 1
Задача №2
n=55, X~T(α, n-1).
1. Находим критическую точку РC
t  / 2, n  1  tтабл  / 2, n  1
2. Вычисляем предельную ошибку для МО
S
  t / 2,n1 
n
3. Определяем ДИ для МО
x   m  x 
Задача №2
4. Вычисление прогноза
1
x  t  / 2, n  1  S 1   x6  x 
n
1
 t  / 2, n  1  S 1 
n
Вычисление критической точки РС
(двусторонняя критическая область)

2

2
 t kp
t kp
t
tkp  СТЬЮДРАСПО БР( ; n  1)
Задача №3
Доверительный интервал для дисперсии
нормальной СВ при неизвестном МО

1) X ~ N m,
n
2

1
2) m   xi  x ,
n i 1
*
n
1
2
2
xi  x 
S 

n  1 i 1
2


n

1
S
2
- Распределение хи-квадрат с n-1


3)
2

степенями свободы
4)
2

S 2 n  1
S
n  1
2
  2
2
  / 2, n  1
 1   / 2, n  1
Задача №2
n=10, x~χ2(α, n-1).
1. Находим критические точки РХК
 2  / 2, n  1   2 табл ( / 2, n  1)
 2 1   / 2, n  1   2 табл (1   / 2, n  1)
2. Определяем ДИ для дисперсии
S n  1
S n  1
2
  2
2
  / 2, n  1
 1   / 2, n  1
2
2
3. Определяем ДИ для СКО
S n  1
2
  / 2, n  1
2
 
S n  1
2
 2 1   / 2, n  1
Вычисление критической точки ХИК
(двусторонняя критическая область)

2

2

2
1 / 2,

2
 / 2 ,
 kp ( ; n  1)  ХИ2ОБР ( ; n  1)
2