ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Калинин Евгений, 7 «А», МБОУ гимназия 80 АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ Графический метод решения математических и физических задач является дополнением и углублением изученных в курсе алгебры методов решения задач, одним из подходов к реализации принципа наглядности, который облегчает их понимание и решение. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Повышение познавательного интереса к науке математике, изучение графических методов решения различных задач и приобретение навыков их решения. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ Уравнения, системы двух уравнений, текстовые задачи, сводящиеся к решению графическим методом. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ сравнительный анализ. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ Графические методы решения задач значительно упрощают решение, а также позволяют переводить алгебраическое условие задачи на геометрический язык графиков. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ График функции у = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению у = f (х). Нахождение значения функции ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Прямая линия - график линейной функции y= kx+m y= kx+m, k<0 и m>0 y= kx+m, k>0 и m>0 y=m y= kx, m=0 y= kx+m, k>0 и m<0 y= kx+m, k<0 и m<0 x=a КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ • Парабола - график y=ax2+bx+c квадратичной функции вида f(x)=ax2+bx+c . • Координаты вершины параболы: x0=-b/2a, y0=-D/4a , D=b2-4aс. • Прямая x0 =-b/2a является осью симметрии графика; • a<0 ветви параболы вниз; • a>0 ветви параболы вверх. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ С МОДУЛЕМ Модуль функции у=|f(x)|. • 1.Строим у=f(x). • 2. Точки графика, лежащие График функции y= |x+1| выше оси абсцисс, оставляем без изменения. • 3.Точки графика, лежащие под осью абсцисс, отражаем симметрично оси абсцисс. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 1. ax2+bx+c=0; 2. ax2= - bx – c; 3. y1=ax2 (парабола); y2= - bx – c (прямая); 4. абсциссы точек пересечения. Пример 1. Решить графически уравнение x2-2x-3=0. Решение. x2= 2x +3; y1=x2; y2= 2x + 3; абсциссы точек пересечения: x1=-1; x2=3. Ответ:x1=-1; x2=3. Решение уравнения x2-2x-3=0 ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Пример 2. Решить графически уравнение |x - 3| = 2. Решение. у1 = |х - 3|; у2 = 2; Точки пересечения графиков: (1; 2) и (5; 2). Ответ:x1=1; x2=5. Решение уравнения |x – 3| = 2 ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Пример 3. Решить графически уравнение |x – 1| +2x-5=0. Решение. |x – 1| =5-2x; у1 = |х - 1|; у2= 5-2x; Точка пересечения графиков: (2; 1). Ответ:x=2. Решение уравнения |x – 1| +2x-5=0 ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ Пример 4. Решить систему уравнений. Решение. x 0 2 y=2x-3 -3 1 x 0 2 y=x+1 1 3 Точка пересечения графиков: А (4; 5). Ответ: (4; 5). Решение системы уравнений СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ • арифметический; • алгебраический; • графический. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ • позволяет наглядно представить ситуацию задачи; • позволяет заменить алгебраическое решение задачи чисто геометрическим. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОДНОВРЕМЕННЫМ ВЫХОДОМ Задача 1. Отец выехал из села в город на автобусе, одновременно навстречу ему из города в село на велосипеде выехал сын. Между городом и селом расстояние 300 км. На каком расстоянии от села и через какое время произойдет их встреча, если скорость автобуса 60 км/ч, а велосипеда 15 км/ч? Решение. Уравнение движения автобуса: S=v1t=60t t, ч 0 2 Прямая 1 S, км 0 120 Уравнение движения велосипедиста: S=300-v2t=300-15t. t, ч 0 4 Прямая 2 S, км 300 240 Ответ: 4 часа; 240 км. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ВЫХОДОМ В РАЗНОЕ ВРЕМЯ Задача 2. От пункта А до пункта D 90 км. Между ними на трассе в 40 км от пункта А расположены пункт B и пункт С в 25 км от D. Из пункта В в направлении D вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 1 ч 45 минут после выхода пешехода из пункта С в пункт В выехал велосипедист и доехал до пункта В за 1 ч 15 минут. Через 15 минут после выезда велосипедиста из пункта D выехала легковая машина со скоростью 80 км/ч. Известно, все они встретились в одном месте на трассе. Через какое время и на каком расстоянии от пункта А произошла встреча? S, км D 90 80 70 C 60 50 B 40 30 20 10 A 0 1 2 3 4 t, час РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ВЫХОДОМ В РАЗНОЕ ВРЕМЯ Решение. • Линия движения 1 пешехода. Начало его движения В (0;40). С учетом скорости движения 4 км/ч, за 5 часов пешеход пройдет путь S=vt=45=20 км. Тогда координаты второй точки (5; 60). • Линия движения 2 велосипедиста. Начало движение в точке (1 ¾; 65), так как выехал через 1 ч 45 мин. (1 ¾ ч) после выхода пешехода. Ехал 1 ч 15 мин. ( 1¼ ч) и за это время доехал до пункта В. Время движения составило 1 ¾ + 1¼ =3 ч, значит его линия движения проходит через точку с координатами (3; 40). • Линия движения 3 легковой машины. Начало движения в точке с координатами (2; 90), так как она выехала через 15 мин. (¼ ч) после велосипедиста из пункта D. Эта линия должна пройти через точку с координатами (3; 10). За час машина пройдет путь в 80 км: S=vt=801=80 км и она направилась в сторону пункта А (2+1=3 ч; 90 – 80= 10 км). • Точка встречи Е (2,5; 50). Ответ: 50 км; 2,5 ч. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ ВДОГОНКУ» Задача 3. Из города со скоростью 5 км/ч вышел Ваня. Спустя 3 часа в том же направлении из этого же города выехал Петя на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Через какое время Петя догонит Ваню? Решение. Уравнение движения Вани: S=v1t=5t . А (0; 0)– начало пути. t, ч 0 2 Прямая 1 S, км 0 10 Время пути Пети: t=S/v2 + 3 (ч), тогда S=v2(t-3)= =10(t-3). В (3; 0)– начало пути. Прямая 2 t, ч 3 6 S, км С (6; 30) – место встречи. Ответ: 6 часов. 0 30 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ ВДОГОНКУ» Задача 4. Из двух точек А и В, расположенных на расстоянии 90 м друг от друга, одновременно в одном направлении начали движение два тела. Тело, движущееся из точки А, имело скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки B, скорость 2 м/с. Через какое время первое тело нагонит второе? Какое перемещение совершит каждое тело? Решение. Уравнение движения 1: S=v1t=5t . А (0; 0)– начало пути. t, ч 0 20 Прямая 1 S, км 0 100 Уравнение движения 2: S=v2t+90=2t +90. В (0; 90)– начало пути. Прямая 2 t, ч 0 20 S, км 90 130 С (30; 150) – место встречи. t=30 c; S1= 150 м; S2=150-90=60 м. Ответ: t=30 c; S1= 150 м; S2=60 м. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ С УЧЕТОМ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ РЕКИ Задача 5. Катер проходит по течению реки 34 км за то же время, что и 26 км против течения. Собственная скорость катера равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Решение. 1- движение лодки по течению: О(0; 0), А(t; 34). 2- движение лодки против течения: О(0; 0), В(t; 26). 3- собственное движение лодки: О(0; 0), С(t; 30), где С – середина отрезка АВ - (34-26)/2. Путь лодки за 1 час: S=vt=151=15 км. Вертикальное расстояние между линиями 3 и 2, 3 и 1 составляет 2 км за 1 час. Ответ: 2 км/ч. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «НА РАБОТУ» Задача 6. Бригада каменщиков может справиться с определенной работой за 8 недель. Через 3 недели после начала работы ей стала помогать другая бригада, которая может справиться с этой работой за 12 недель. За какое время бригады закончат работу? С Решение. Точка O1 – объем работы. Проведем горизонталь через точку O1. График работы первой бригады ОА: О (0; 0), А (8; О1). График работы второй бригады ВС: В(3; О1) (начало работы позже на 3 недели), С (15; 0) (вторая бригада закончит работу через 12 недель, 3+12=15 недель). Точка пересечения графиков М: t= 6 недель. Ответ: 6 недель. ЗАДАЧИ НА НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ • Рис.1 Рис.2 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Время решения уравнений и систем уравнений Время решения текстовых задач ЗАКЛЮЧЕНИЕ • научился переводить алгебраическое условие задачи на геометрический язык графиков, позволяющий оптимизировать процесс решения математических и физических задач; • благодаря применению графического метода можно сократить сроки, в течение которых ученик научится решать различные задачи. В то же время умение графически решать задачу – это важные технические навыки; • графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую учащиеся ещё не могут решить арифметическим способом. «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели». Г. Лейбниц