Лекция 3

Лекция 3
Основные правила
выводимости
 1.



2.


3.


4.

H├A
H,W├A
H,C ├ A, H├C
H├A
.
H,C ├ A, W├C
H,W├A
.
H ├ C→A
H,C├A .
Теорема дедукции
 Пусть Н - множество формул,
С,А формулы,
 тогда
H, C├ A .

H├C→A
 В частности, если C├ A C→A
Обобщенная теорема дедукции


{C1, C1, …, Ck}├ A
├C1 →(C2→(C3→…(Ck→A)…))
 Теорема. (обратная теорема дедукции.)
Правило введения конъюнкции
и дизъюнкции
Построение вывода в логике
высказываний.
Проблемы аксиоматического исчисления
высказываний
.
 Всякая аксиоматическая теория для ее
обоснования требует рассмотрения
четырех проблем:
 проблемы разрешимости,
 проблемы непротиворечивости,
 проблемы полноты,
 проблемы независимости.
Проблема разрешимости исчисления высказываний
 Проблема заключается в доказательстве
существования алгоритма, который позволил бы для
любой заданной формулы исчисления высказываний
определить, является ли она доказуемой или не
является.
 Теорема Проблема разрешимости для исчисления
высказываний разрешима.
 Док-во
 любая формула исчисления высказываний - формула
алгебры высказываний, и, следовательно, можно
рассматривать ее логические значения на различных
наборах значений входящих в нее переменных
Проблема непротиворечивости исчисления высказываний
Определение Логическое исчисление называется
непротиворечивым, если в нем не доказуемы
никакие две формулы, из которых одна является
отрицанием другой.
 Иначе говоря, аксиоматическое исчисление
называется непротиворечивым, если в нем
не существует такая формула А, что доказуема
как формула А, так и формула не А.
 Если в исчислении обнаруживаются
доказуемые формулы вида А и не А, то такое
исчисление называется противоречивым.
Проблема полноты исчисление высказываний
 Определение .Аксиоматическое исчисление
высказываний называется полным в узком
смысле, если добавление к списку его аксиом
любой недоказуемой в исчислении формулы в
качестве новой аксиомы приводит к
противоречивому исчислению.
 Определение . Исчисление высказываний
называется полным в широком смысле, если
любая тождественно истинная формула в нем
доказуема
 Проблема полноты исчисления высказываний содержит два
вопроса:
 Можно ли расширить систему аксиом аксиоматического
исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы
какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы?
 Является ли всякая тождественно истинная формула алгебры
высказываний доказуемой в исчислении высказываний?
 Рассмотренное нами исчисление высказываний полно как в узком
смысле, так и в широком.
Проблема независимости аксиом исчисления
высказываний.
Определение Аксиома А называется независимой от
всех остальных аксиом исчисления, если она не
может быть выведена из остальных аксиом.
 Определение Система аксиом исчисления
называется независимой, если каждая
аксиома системы независима.
 Рассмотренная нами система аксиом
исчисления высказываний независима
АВТОМАТИЧЕСКОЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ
 В общем случае такой алгоритм построить
нельзя.
 Но для некоторых частных случаев такие
алгоритмы существуют.
 Доказательство теоремы равносильно
доказательству общезначимости некоторой
формулы.
 Наиболее эффективно доказательство
общезначимости формул осуществляется
методом резолюций.
 Процедура поиска доказательства
методом резолюций фактически является
процедурой поиска опровержения, т. е.
вместо доказательства общезначимости
формулы доказывается, что отрицание
формулы противоречиво
 В 1965г. Робинсон предложил свой метод
резолюций, который и по сей день лежит в
основе большинства систем поиска логического
вывода.
 метод резолюций был использован в качестве
основы нового языка программирования.
 Так в 1972 году родился язык Пролог
(“ПРОграммирование в терминах ЛОГики”)
 Суть этой идеи состоит в том, чтобы компьютеру
предлагать не алгоритмы, а описания предметной
области задачи и саму задачу в виде некоторой
аксиоматической системы,
 решение задачи предлагать в виде вывода такой
системы.
 От программиста при таком подходе требуется описать
с достаточной степенью полноты предметную область и
формулировку задачи на языке этой системы, а поиск
вывода, приводящего к решению задачи, поручается
компьютеру.
 Метод резолюций – это метод автоматического
доказательства теорем. Это алгоритм,
проверяющий отношение выводимости Г├.А
 В общем случае алгоритм автоматического
доказательства теорем не существует, но для
формальных теорий (таких как исчисление
высказываний, исчисление предикатов)
подобные алгоритмы известны.
Основные определения метода
резолюций
 Определение Литерой будем называть выражения A
или ØA.
 Определение. Предложением называется дизъюнкция
формул вида A или ØA
 Определение Литеры A и ØA называются
контрарными, а множество {A, ØA} – контрарной
парой.
 Определение Дизъюнкт – это дизъюнкция литер (или
элементарная дизъюнкция)
 Определение Дизъюнкт пустой (обозначается ),
если он не содержит литер.
 Пустой дизъюнкт всегда ложен, так как в нем нет литер,
которые могли бы быть истинными при любых наборах
переменных
Пример дизъюнктов
Правило Резолюций
Доказательство правила
резолюций
Пример
 Метод резолюций соответствует методу
доказательства от противного.
Действительно, условие A1, A2, …, A ├ B
равносильно условию
 A1, A2, …, An, ØB├ .
 Метод резолюций относится к методам
непрямого вывода.
Алгоритм построения вывода
методом резолюций
 Шаг 1. Формулы A1, A2, …, An и формулу ØB привести
к КНФ.
 Шаг 2. Составить множество S дизъюнктов формул A1,
A2, …, An и ØB.
 Шаг 3. Вместо пары дизъюнктов, содержащих
контрарные литеры записать их резольвенту по
правилу (2).
 Шаг 4. Процесс продолжаем. Если он заканчивается
пустым дизъюнктом, то вывод обоснован.
 Изложенный алгоритм называется резолютивным
выводом из S.
Резолютивный вывод из S.
 Возможны три случая:
 1. Среди множества дизъюнктов нет содержащих
контрарные литеры. Это означает, что формула B не
выводима из множества формул A1, A2, …, An.
 2. В результате очередного применения правила
резолюции получен пустой дизъюнкт. Это означает, что
формула B выводима из множества формул A1, A2, …,
An .
 3. Процесс зацикливается, т. е. получаются все новые и
новые резольвенты, среди которых нет пустых. Это
ничего не означает.
Пример
Продолжение примера
 Правило резолюций более общее, чем
правило modus ponens и производные
правила,
 Правило модус поненс также можно
считать частным случаем правила
резолюции при ложном A.
Докажем методом резолюций
правило modus ponens
Преимущества и недостатки
метода резолюций
 Метод резолюций легко поддается
алгоритмизации. Это позволяет использовать
его в логических языках, в частности в
ПРОЛОГе.
 Недостатком этого метода является
необходимость представления формул в КНФ.
 Автоматическое доказательство теорем
методом резолюций основан на переборе и
этот перебор может быть настолько большим,
что затраты времени на него практически
неосуществимы – существенный недостаток.
 В множестве дизъюнктов существует, как
правило, не одна пара дизъюнктов, к которым
можно применить правило резолюций.
 Способ выбора дизъюнктов и летералов в них,
к которым применяется правило резолюций
для получения резольвенты, называется
стратегией метода.
 применение метода резолюций в
доказательстве теорем и при планировании
действий.