Краткие теоретические сведения по теме «Исчисление

Краткие теоретические сведения по теме «Исчисление
высказываний»
Итак, мы поняли, что тождественные формулы очень важны, их можно
преобразовывать из одной в другую.
Возникает вопрос, а нельзя ли осуществить математический
,который используют
в математике.
Выбрать некоторое количество формул (содержащими тождественную истину),
определить правила, порождающие из уже известных хороших формул, новых хороших
формул (правила вывода)формул.
Конечно же, тут возникает очень много дополнительных проблем – не получили ли
мы при этом плохие формулы, все ли формулы получим и тому подобное.
Оказывается можно построить с точки зрения такие формальные, аксиометрические
теории. Общий таких мы займемся позже, а сейчас проделаем все это для высказываний.
Такая формальная теория для высказываний называется исчислением высказывания.
Алфавит
1. Зададимся множеством символов - большими латинскими буквами, может быть с
индексами: А, В, С, …, А1, А2, … назовем их переменными(пропозиционными
переменными).
2. Символами: ,,,
- логические операции. Назовем их конъюнкцией,
дизъюнкцией, импликацией, отрицанием соответственно.
3. Символами ( , ) .
Определим над этим алфавитом формулы.
1. переменные есть формулы;
2. если а и  формулы, то (а), (а), (а), - тоже формулы ;
3. других нет.
Пример:
(((АВ)С) D ) – формула.
Часть формулы является формулой
((АВ)С) – подформула;
D подформула, и т.д.
Аксиомы исчисления высказывания.
I.
1. А(ВА)
2. (А(ВС))((АВ)(АС))
II.
1. А  В  А
2. А  В В
3. (АВ)((АС)(А(ВС)))
III.
1. ААВ
2. ВАВ
3. (АС)((ВС)(АВС))
IV.
1. (АВ)( B  A )
2. A A
3. A A
На самом деле это схемы аксиом, поскольку каждую из них можно брать и с другими
обозначениями.
Правила вывода
Правило
Пусть U формула, содержащая переменную А. Тогда, если U - выводимая формула
исчисления
высказывания,
то,
заменив
в
ней
переменную
А
B
произвольнойформулой,получим так же выводимую формулу U A .
Правило заключения (moduspones)
Если U и U выводимые формулы, то  так же выводима (правило отделения).
(U,U ).
Выводом формулы G из формул F1, F2, F3, … ,Fn
называется такая
последовательность формул E1, E2, E3, …, En, где Ек=G и любая формула Ei(iк) является:
 либо аксиомой;
 либо формулой FJ(Ei=FJ);
 либо Eiполучается из каких-либо предыдущих E1, E2, E3, …, Ei-1,
одним из правил выведения;
Сама формула G называется выводимой из формул F1, F2, F3, … ,Fn.
F1, F2, F3, … ,FnG.
Формула G выводимая только из аксиом называется теоремой, а вывод доказательство этих теорем.
Замечание: аксиома является теоремой.
Примеры.
Покажем, что АВ ВА.
1. АВВ (аксиома II.2)
2. (АВВ)((АВА)(АВВА)) (аксиома II.3)
3. (АВА)(АВВА) (moduspones по 1 и 2)
4. АВА (аксиома по схеме II.1)
5. АВВА (moduspones для 3 и 4)
6. АВ – исходная формула
7. ВА (moduspones для 5 и 6).
Покажем, что АА – теорема, то есть АА.
1. А((АА)А) (I.1, если В заменить на АА)
2. А((АА)А)((А(АА))(АА)) (аксиома по схеме I.2:В заменяем на
АА, С на А)
3. (А(АА))(АА) (moduspones 1.2)
4. А(АА) (аксиома I.1:В заменяем на А)
5. АА (А( moduspones 3,4).
При построе6нии вывода можно пользоваться уже полученными результатами, в
частности, полученными теоремами и очень важной теоремой:
Теорема о дедукции
F1, F2, F3, …,Fn, F1, F2, F3, … ,Fn.
Следствия:
Пример использования.
Докажем, что АВ, ВС АС.
Если докажем, что А, АВ, ВС , то по теореме о дедукции получим, что АВ,
ВС АС.
Изучая логику высказываний, была сформулирована проблема разрешения.
То есть существует ли алгоритм, выясняющий для любой формулы логики
высказываний, является ли она тождественно истинной или нет.
Было сказано, что эту проблему можно решить с помощью таблиц истинности. Но
ею пользоваться не всегда удобно.
Пример: число переменных равно 20, следовательно, таблица истинности имеет
около 1 000 000 строк.
Выход найден. Имеются нормальные формы, с помощью которых можно решить эту
проблему.
Теорема
Для того, чтобы формула логики высказываний была тождественно истинной,
необходимо и достаточно, чтобы каждая элементарная дизъюнкция, составляющая КНФ,
содержала бы некоторую переменную с её отрицанием.
 (необходимость) очевидно, так как если в каждой элементарной дизъюнкции есть
Х и X , то она И, то есть, конъюнкция истин тождественно истинна.
(достаточность) формула тождественно истинна. Покажем, что все элементарные
дизъюнкции содержат Х и X . Предположим противное, то есть есть элементарные
дизъюнкции, в которых нет таких переменных: Х Y Z. Тогда эта элементарная
дизъюнкция примет ложное значение, если вместо переменных, которые просто входят в
эту элементарную дизъюнкцию, взять значение Л, а вместо тех, которые входят с
отрицанием, взять И, тогда и вся формула примет ложное значение , то есть не является
тождественно истинной формулой. Чего не может быть. То есть предположение не верно,
а значит в каждой элементарной дизъюнкции есть переменная и её отрицание.
Доказать самим:
Теорема:
Для того, чтобы формула логики высказывания была тождественно ложной,
необходимо и достаточно, чтобы каждая элементарная конъюнкция ДНФ содержала
некоторую переменную и её отрицание.
Добавить в упражнение: восстановление формулы по её таблице истинности.
Далее. В исчислении высказываний определим формулы, алфавит, введя аксиомы и
правила вывода.
Определим выводимость формулы а из формулы Г:
Га.
Формулу а
теоремой, если а, она выводима только из аксиом (т.е. из 
множества формул).
Сформулируем теорему о дедукции:
Г, а
 Га
Упражнение на «5»: Новиков «Дискретная математика для программистов».
Ещё один пример использования теоремы о дедукции.
Пример:(АВ)((ВС)(АС)), то есть если доказать, что (*) А, АВ, ВС
G, то по теореме о дедукции можно доказать исходное: АВ, ВС АС;
АВ(ВС)(АС); (АВ)((ВС)(АС)).
Фактически будет доказано правило силлогизма: если а
а,то аС.
Но (*) очевидно, так как если А, АВ, то В (m.p); если В, ВС, то С (m.p.).
Легко сопоставить каждой формуле исчисления высказываний соответствующую ей
формулу алгебры высказываний, и наоборот (учитывая, что операции ,→ выражаются
через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию).
Теорема:
аа тождественно истинно,  аксиомы тождественно истинны, правило вывода
сохраняют тождественную истинность выводимых формул.
Доказать аксиомы:
 I.1
A(BA)
 IV.2
A A
 II.1
A&BA
правила вывода! (очевидно).
Следствие 1:аа тождественно истинно.
В исчислении высказываний нельзя вывести формулу и её отрицание одновременно.
То есть исчисление высказываний является непротиворечивой теорией.
Противоречивые теории не имеют никакой ценности, поскольку в них доказуема
любая формула.
Упражнение: доказать стр. 87, Новиков П.С.
ГА, теор. 4, стр. 85;
U U Г, теор.6, стр.87.
тогда U U A. Т.к. U и  U , то U U ,то А.
Можно показать (Новиков П.С. «Введение в математическую логику»), если а
тождественно истинно, то а.
Следствие 2: всякая тождественно истинная формула выводима в исчислении
высказываний, т.е. исчисление высказываний является полной теорией в широком смысле.
Оказывается, исчисление высказываний является полной теорией и в узком смысле.
То есть присоединение к аксиоме какой-нибудь не выводимой формулы приводит к
противоречию.
Упражнение: доказать этот факт с помощью КНФ.
Независимость аксиом исчисления высказываний означает, что ни одна из них не
выводима из других, и если отбросить хоть какую-нибудь, то потеряем полноту, т.к. не
будет выводиться она сама.
Рассмотренный подход построения исчисления называется Гильбертовским. Такого
же
является формализация, где вместо (U, U
modustollens (АВ, В, тоА), можно брать другие связки (стр.118, Новиков «Дискретная
математика для программистов»). Это используется в логическом программировании
(отрицательный способ).
Существуют и другие типы подходов, позволяющие получить исчисление
высказываний. Например, секвенциальные (Генценовские, исчисление), в основу которых
положены только правила вывода, там почти нет аксиом (ГU, Г
U
т.д. (стр.158, гл.5, Гладкий «Математическая логика»).
В исчислениях гильбертовского типа выводимость описывается технически проще,
зато исчисления генценовского типа более естественны – вывод в них похож на то, как на
самом деле рассуждает математик.
Пример: система естественного вывода.
Аксиома АА.
Правила вывода:
1.
Подведем итог.
Логика высказываний – исчисление высказываний.
 Проблема разрешимости –доказуемы разрешения. Многие фактически.
 Непротиворечивость.
 Полнота в широком и узком смысле этого слова.
 Имеются различные описательные возможности: аксиомы, правила с различными
связками.