Лекция 2 Формальные системы. Аксиоматический метод Аксиоматический метод Аксиоматический метод - способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, из которых все остальные утверждения этой науки должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введённые понятия. 3 стадии развития аксиоматического метода Первая : построение геометрии в Древней Греции. Основное сочинение этого периода — «Начала» Евклида ( и до него Пифагор, которому приписывается открытие аксиоматического метода, а затем Платон немало сделали для развития геометрии на основе аксиоматического метода). В то время считалось, что в качестве аксиом должны выбираться суждения, истинность которых «самоочевидна». Евклиду не удалось ограничиться чисто логическими средствами при построении геометрии на основе аксиом. Он прибегал к интуиции в вопросах, касающихся непрерывности, взаимного расположения и равенства геометрических объектов. Начало второй стадии в истории аксиоматического метода связывают обычно с открытием Н. И. Лобачевским, Я. Больяй и К. Ф. Гауссом возможности построить непротиворечивым образом геометрию, исходя из систем аксиом, отличной от евклидовой. аксиомы - исходные положения, вопрос же об их истинности (и выбор в качестве аксиом) выходит за рамки аксиоматической теории и относится к её взаимоотношению с фактами, лежащими вне её. 2 стадия Эта стадия развития аксиоматического метода завершилась созданием аксиоматических систем: арифметики (Дж. Пеано, 1891), геометрии (Д. Гильберт, 1899), исчисления высказываний и предикатов (А. Н. Уайтхед и Б. Рассел, Англия, 1910) аксиоматической теории множеств (Э. Цермело, 1908). Метод Гильберта Основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются просто как последовательности знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла . Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода ( т. н. правило modus ponens — «правило зачёркивания», позволяющее получить В из А и «А влечёт В»). Доказательство в такой теории это просто последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. гильбертовская программа в целом (её обычно называют формализмом) невыполнима, т. к., согласно важнейшему результату К. Гёделя (1931), всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте). Оказывается, в сколько-нибудь сложной аксиоматической системе существуют формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. '''Теорема Гёделя о неполноте''' Любая непротиворечивая формальная теория, включающая арифметику целых чисел, неполна . Идея доказательства заключается в том, чтобы построить пример формулы, которая была бы недоказуема и, вместе с тем истинна. т.е. невыводимость из аксиом рассматриваемой формальной системы Пример В качестве языка можно объявить любые "слова" из последовательности буквы Я. Букву Я объявим аксиомой. Правило вывода будет удваивать букву Я. То есть придумана теория, в которой выводимы любые последовательности (слова), состоящие из буквы Я.Я ЯЯ ЯЯЯ ... ЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ ... Теория, созданная из буквы Я, не привязана к понятию истинности. Поэтому она бессмысленна. Разрешимость для логики высказываний Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, является ли она тавтологией? Теорема. Формула является тавтологией в том и только том случае, если в ее КНФ в любую из элементарных дизъюнкций в качестве дизъюнктивных членов входит какая-нибудь переменная и ее отрицание. Теорема. Формула является противоречием в том и только том случае, если в ее ДНФ каждая элементарная конъюнкция одновременно содержит в качестве конъюнктивных членов какуюнибудь переменную и ее отрицание Замечание к теоремам приведя формулу равносильными преобразованиями к КНФ, можно установить, является ли она тождественно-истинной, приведя ее к ДНФ, можно установить, является ли она тождественно-ложной Формальные теории. Аксиоматический метод Формальная теория считается заданной, если известны следующие четыре составляющих: 1.Алфавит – конечное или счетное множество символов. 2.Формулы, которые по специальным правилам строятся из символов алфавита. 3.Аксиомы 4.Правила вывода – множество отношений, позволяющие из аксиом получать теоремы формальной теории. Вывод формальной теории - последовательность формул , , …, , в которой все формулы – либо аксиомы, либо получаются из предыдущих по правилам вывода. Система аксиом исчисления высказываний На сегодняшнее время известно 20 ИВ, которые отличаются друг от друга аксиомами (схемами аксиом) и правилами выводов. Система аксиом современной исчисления высказываний состоит из 11 аксиом (тавтологии), которые делятся на 4 группы Система аксиом Уйтхеда и Рассела (19201930), Англия Пример Современная система аксиом Правила вывода Основных правил вывода в исчислении высказываний два: правило подстановки и правило простого заключения. 1 Правило подстановки(ПП). Если формула А выводима (доказуема) в исчислении высказываний, хпеременная, В- произвольная формула исчисления высказываний, то формула , полученная в результате замены в формуле А переменной х всюду , где она входит, формулой В, является также выводимой(доказуемой) формулой. Операция замены в формуле А переменной х формулой В, носит название подстановки B ( A) X и символически записывается так. : Уточнение правила 2 Правило заключения (ПЗ). Определение выводимой (доказуемой ) формулы. а) Всякая аксиома является доказуемой формулой. б)Формула, полученная из доказуемой формулы путем применения подстановки вместо переменной х произвольной формулы В, есть доказуемая формула. в) Формула В, полученная из доказуемых формул А и путем применения ПЗ, есть доказуемая формула. г) Никакая другая формула исчисления высказываний не считается доказуемой . Процесс получения доказуемых формул будем называть доказательством (выводом) формул. Это процесс последовательного перехода от одной доказуемой формулы к другой с помощью аксиом, правила подстановки и правила заключения на каждом шаге Производные правила вывода. Производные правила вывода, как и рассмотренные правила подстановки и заключения, позволяют получать новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью правил подстановки и заключения, а поэтому являются производными от них Правило сложной (одновременной) подстановки (СПП). Правило сложного заключения. Правило силлогизма. Правило контр позиции. Правило снятия двойного отрицания. Понятие выводимости формул из совокупности формул.