ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «КОМПЛЕКСНЫЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
Дайте определение мнимой единицы.
Как вычисляют степени мнимой единицы?
Какое число называется комплексным? Как определяется равенство
комплексных чисел?
4.
Как производится сложение, вычитание, умножение и деление
комплексных чисел?
5.
Всякие ли два комплексных числа можно перемножить? Всегда ли одно
комплексное число можно разделить на другое?
6.
Какими свойствами обладают сложение и умножение комплексных
чисел?
7.
Укажите числа, квадрат которых равен отрицательному числу –4.
8.
Какие числа называют чисто мнимыми?
9.
Какие числа называются сопряженными комплексными числами?
10. Какие числа удовлетворяют равенству z  z ? Укажите сопряженные
числа для чисел: 1  i, 2i, 2, 3i  5 .
11. Приведите примеры комплексных чисел и действий над ними, результат
которых есть действительное число.
12. Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение
с
отрицательным дискриминантом?
13. Могут ли числа 1 и i быть корнями какого-нибудь квадратного уравнения
с действительными коэффициентами?
14. Как геометрически интерпретируются комплексные числа?
15. В какой четверти координатной плоскости расположены точки,
изображающие числа 2  7i, 5  i,  3  2i,  1  i ?
16. Как геометрически интерпретируются сумма и разность комплексных
чисел?
17. Как располагаются на комплексной плоскости числа z и z , z и (–z)?
18. Что называется модулем комплексного числа? Как вычисляется модуль
числа a+bi?
19. Что можно сказать о модулях двух сопряженных комплексных чисел?
20. Что называется аргументом комплексного числа? Всякое ли комплексное
число имеет аргумент?
21. Пусть arg z   . Чему равен arg z, arg  z ?
22. Чему равен аргумент : а) чисто мнимого числа; б) любого отрицательного
числа; в) любого положительного числа; г) нуля?
23. Какие знаки имеют числа а и b, если аргумент  комплексного числа
1.
2.
3.
a  bi удовлетворяет условию: а)   0; б) 0   

2
; в) 

2
   0; г)  

2
?
Какие значения может принимать главное значение аргумента
комплексного числа a  bi , если: а) a  0; б) a  0; в) b  0; г) b  0; д)
a  0; b  0; е) a  0; b  0; ж) a  0; b  0; з) a  0; b  0 ?
25. Как записывается комплексное число в тригонометрической форме?
26. Какие из следующих выражений не являются тригонометрической
формой комплексного числа и почему:
24.
  



3
3 


a ) 6 cos    i sin ; b)  2 cos  i sin ; c) 4 cos
 i sin
;
4
2
2
2
2 


  4


 
 
  
d ) cos    i sin   ; e) 2  cos  i sin    ;
3
 4
 4
 3 


4
5   4
 2  
g ) 3  cos
 i sin  
 cos 
 ; h)  2 cos
3
9   9
 3 

27.
28.


 2
f ) 3 cos  i sin  
6
 3


 4  
  i sin  
  ?

 9 

 ;

Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к
тригонометрической форме?
1
2
Число z  
3
i можно выразить через тригонометрические функции
2
следующим образом:
a)
1
3
5
5

i  cos
 i sin
;
2 2
3
3
c)
1
3
 
 

i  cos    i sin   ;
2 2
 3
 3
e)
1
3



i  cos  i sin ;
2 2
3
3
1
3
5
 5 

i  cos 
;
  i sin
2 2
3
 3 
1
3
5
 
d) 
i  cos
 i sin   ;
2 2
3
 3
b)
Какая из этих записей будет тригонометрической формой числа z?
29. Что называется корнем степени n>1 из комплексного числа?
30. Сформулируйте правила умножения, деления, возведения в степень,
извлечения
корня
для
комплексных
чисел,
записанных
в
тригонометрической форме.
31. Как определяется комплексная степень числа e? Каковы ее
свойства?Укажите на комплексной плоскости точки, соответствующие

 i
2
3
i
4
9
i
2
числам e , 3e , 5e .
32. Запишите формулу Эйлера.
33. Как записываются комплексные числа в показательной форме?
34. Сформулируйте правила умножения, деления, возведения в степень,
извлечения корня для комплексных чисел, записанных в показательной
форме.
35. Пусть z=reiφ. Как записывается в показательной форме число z ?
36. Сколько значений имеет корень n-ой степени из комплексного числа?
37. Вычислите: a) cos   i sin  ; b) e i ?
38. Какие из следующих выражений представляют собой показательную

i
форму комплексного числа: 2e 3 ;  2e 3 ; 2e
 i
3

i
; ie 3 ; e i ; 3e 12 ?
Выводы и доказательства:
1. Свойства операций над комплексными числами.
2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме (для
умножения и деления).
4. Действия над комплексными числами в показательной форме (для
умножения, деления и возведения в степень).