Построение графиков функций с помощью преобразований

Цель:
Сформировать умение строить
графики функций с помощью
преобразований
Задачи:
• Изучить виды преобразований
графиков функций
• Научить строить графики с помощью
преобразований
• Развивать графическую культуру
Построение графиков
функций
с помощью преобразований
Сдвиг вдоль оси Оу
(параллельный перенос)
• Функция y = f (x)+в, где в≠0, и y = f (x) имеют
одну и ту же область определения. График
функции y = f (x)+в получается сдвигом
графика функции y = f (x) вдоль оси Оу на
величину |в| вверх, если в > 0, и вниз, если
в<0.
Рассмотрим сдвиг вдоль осей координат
на примере квадратичной функции
парабола
Y
10
9
y=x2
8
7
6
5
<
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Х
График функции у=х²+2 получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Оу вверх на 2 единичных отрезка.
парабола
Y
12
y=x2+2
10
y=x2
8
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Х
График функции у=х²-2 получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Оу вниз на 2 единичных отрезка.
Y
парабола
10
2
y=x
8
y=x2-2
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
0
-2
-4
1
2
3
4
Х
Сдвиг вдоль оси Ох
(параллельный перенос)
Функция y = f (x-a), где а≠0, определена для
всех х, таких, что (x-a) принадлежит области
определения функции y = f (x),
график функции y = f (x-a) получается сдвигом
вдоль оси Ох на величину |а| графика
функции y = f (x) вправо, если а>0, и влево,
если а<0.
График функции у=(х-2)² получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Ох вправо на 2 единичных отрезка.
парабола
Y
10
y=x2
9
y=(x-2)2
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Х
График функции у=(х+2)² получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Ох влево на 2 единичных отрезка.
парабола
Y
10
y=(x+2)2
9
y=x2
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Х
График функции у=(х-2)²+2 получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Ох вправо на 2 единичных отрезка и вверх на 2
единичных отрезка
парабола
Y
12
y=(x-2)2+2
10
y=x2
8
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Х
График функции у=(х-2)²-2 получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Ох вправо на 2 единичных отрезка и вниз на 2
единичных отрезка
парабола
Y
10
y=x2
8
y=(x-2)2-2
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
Х
График функции у=(х+2)²-2 получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Ох влево на 2 единичных отрезка и вниз на 2
единичных отрезка
парабола
Y
10
y=x2
8
y=(x+2)2-2
6
4
2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2
-4
1
2
3
4 Х
График функции у=(х+2)²+2 получается из графика функции у=х²
сдвигом вдоль оси Ох влево на 2 единичных отрезка и вверх на 2
единичных отрезка
парабола
y=x2
Y
12
10
y=(x+2)2+2
8
6
4
2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 Х
График функции у=х³+20 получается из графика функции у=х³ сдвигом
вдоль оси Оу вверх на 20 единичных отрезков, и график функции у =х³ -20
получается из графика функции у=х³ сдвигом вдоль оси Оу вниз на 20
единичных отрезков
Y=x3+20
Y
100
80
Y=x3
60
Y=x3-20
40
20
0
-20
-15
-10
-5
0
-20
-40
-60
-80
-100
5
10
15
20
X
Симметрия относительно осей координат
• Функции y = f (x) и y = - f (x) имеют одну и ту же область
определения. График функции y = - f (x) получается из графика
функции y = f (x) симметричным отображением последнего
относительно оси Ох.
• Функции y = f (x) и y = f ( -x) имеют области определения,
симметричные относительно точки О. График функции y = f ( -x)
получается из графика функции y = f (x) симметричным
отображением последнего относительно оси Оу.
График функции Y= - (x³-20) получается из графика функции
у=х³-20 симметричным отображением его относительно оси Ох.
100
Y=-(x3-20)
80
60
40
Y=x3-20
20
0
-20
-15
-10
-5
0
-20
-40
-60
-80
-100
5
10
15
20
График функции Y=  х получается из графика функции Y=√x
симметричным отображением относительно оси Оу.
Y
3
2,5
Y=√-x
Y=√x
2
1,5
1
0,5
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
X
Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат
(вдоль оси Оу)
• Функция y = f (x) и y = В f (x), где В≠0, В≠1, имеют одну и туже
область определения. График функции y = В f (x) получается
растяжением в В раз ( В >1) вдоль оси Оу графика функции
y = f (x).
• Функция y = f (x) и y = В f (x), где 0<В<1, имеют одну и туже
область определения. График функции y = В f (x) получается
сжатием в 1/В раз вдоль оси Оу графика функции y = f (x).
График функции Y=2sinx получается из графика функции Y=sinx
растяжением вдоль оси Оу в 2 раза.
Y3
2
Y=2sinx
1
Y=sinx
-3π
-10
-5π /2
-2π
-π /2
-3π /2
-π
π
0
0
-1
-2
-3
π /2
3π /2
2π
5π /2
3π
10
X
График функции Y=(1/2)sinx получается из графика функции
Y=sinx сжатием вдоль оси Оу в 1/2 раза.
Y
3
2
1
Y=sinx
-3π
-10
-5π /2
-2π
-π /2
-3π /2
π
π
0
0
-1
-2
-3
π /2
3π /2
2π
Y=(1/2)sinx
5π /2
3π
X
10
Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат
(вдоль оси Ох)
• Функция y = f (kx), где k≠0, k≠1, определена для всех х, таких,
что число kx принадлежит области определения функции
y = f (x). Графики функции y = f (kx) получается сжатием (при
k>1) или растяжением (при 0<k<1) в k раз вдоль оси Ох графика
функции y = f (x).
График функции Y= sin(1/2)x получается из графика функции
Y=sinx растяжением вдоль оси Ох в 2 раза.
Y
3
2
1
-3π
-10
-5π /2
-2π
Y=sinx
-π /2
-3π /2
π
π
0
0
-1
-2
-3
π /2
3π /2
X
2π
5π /2
3π
Y=sin(1/2)x 10
График функции Y= sin2x получается из графика функции Y=sinx
сжатием вдоль оси Ох в 2 раза.
Y
3
2
1
-3π
-10
-5π /2
-2π
Y=sin2x
-π /2
-3π /2
π
π
0
0
-1
-2
-3
π/
2
3π /2
Y=sinx
2π
5π /2
3π
X
10
График функции y = |f (x)|.
• Для построения графика функции y = |f (x)| надо сохранить ту
часть графика функции y = f (x), точки которой находятся на оси
Ох или выше этой оси, и симметрично отразить относительно
оси Ох ту часть графика функции y = f (x), которая расположена
ниже оси Ох.
Рассмотрим построение графика функцииY=|1/x-2|.
График этой функции получается из графика функции Y=1/x.
Y
10
8
Y=1/x
6
4
2
X
0
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
График функции Y=1/x-2 получается из графика функции Y=1/x
сдвигом вдоль оси Оу вниз на 2 единичных отрезка.
Y
10
8
Y=1/x
6
4
2
X
0
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
2
4
6
Y=1/x-2
Часть графика Y=1/x-2, расположенная выше оси Ох, сохраняется,
а часть, расположенная ниже оси Ох, симметрично отображается
относительно ее.
Y
15
10
Y=1/x
5
Y=|1/x-2|
X
0
-6
-4
-2
0
-5
-10
-15
2
4
6
Y=1/x-2
График функции y = f (|x|).
• График функции y = f (|x|) получается из графика функции
y = f (x) следующим образом: при х ≥ 0 график функции y = f (x)
сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика
отображается симметрично относительно оси Оу.
График функции Y=2|x|-3
получается из графика функцииY=2x-3
Y6
4
Y=2x-3
2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
1
2
3
4
X
5
Точки графика , расположенные на оси Оу и правее оси Оу,
сохраняются и симметрично отражаются относительно оси Оу.
15
Y
10
Y=2|x|-3
5
0
-6
-4
-2
0
-5
Y=2x-3
-10
-15
2
4
6
X
8
График функции Y=sin|x| получается из графика функции Y=sinx.
Y
3
2
1
-3π
-10
-5π/2
-2π
-π/2
-3π/2
-π
Y=sinx
π
0
0
-1
-2
-3
π/2
3π/2
X
2π
5π/2
3π
10
Точки графика Y=sinx, лежащие на оси Оу и правее ее,
сохраняются и симметрично отображаются относительно оси Оу.
Y
3
2
Y=sin| x|
1
-3π
-10
-2π
-5π /2
-3π /2
π
0
π
-π /2
0
-1
-2
-3
π/
2
3π /2
X
2π
5π /2
3π
10
График произведения функций
• Для построения графика функции у = f(x)∙g(x) следует:
а) оставить только те точки графиков у=f(x) и у=g(x), у которых хєХ
(Х – общая часть (пересечение) существования функций у=f(x)
и у=g(x));
б) произвести умножение ординат точек графиков у=f(x) и у=g(x)
для каждого хєХ .
Построение графика функции Y=|x|sinx
Y
20
Y=|x|
16
12
Y=|x|sinx
8
4
X
0
-20
-10
0
-4
-8
-12
-16
-20
10
20
Y=sinx
Построение графика функции Y=x|sinx|
Y 15
Y=x
10
Y=x|sinx|
5
0
-15
-10
-5
0
5
10
Y=|sinx|15
-5
X
-10
-15
Построение графика функции Y=xcosx
20
Y=x
Y
16
12
Y=xcosx
8
4
Y=cosx
0
-20
-10
0
-4
-8
-12
-16
-20
10
20
X
График суммы функций
• Для построения графика функции у = f(x)+g(x) следует:
а) оставить только те точки графиков у=f(x) и у=g(x), у которых хєХ
(Х – общая часть (пересечение) существования функций у=f(x)
и у=g(x));
б) произвести сложение ординат точек графиков у=f(x) и у=g(x)
для каждого хєХ .
Построение графика функции Y=x+|cosx|
15
Y
10
Y=x+|cosx|
Y=x
5
0
-15
-10
-5
0
-5
-10
-15
5
10
15
Y=|cosx|
X
Построение графика функции Y=|cosx|+sinx
2
1,5
Y=|cosx|+sinx
Y=|cosx|
1
0,5
0
-15
-5
5
15
Y=sinx
-0,5
-1
-1,5
-2
Проверочная работа.
Установите соответствие между правилом и формулой.
1. График функции получается сдвигом графика функции y = f (x) вдоль
оси Оу на величину |в | вверх, если в > 0, и вниз, если в<0.
1. y = - f (x)
2. Для построения графика функции надо сохранить ту часть графика
функции y = f (x), точки которой находятся на оси Ох или выше этой
оси, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика
функции y = f (x), которая расположена ниже оси Ох.
2. y = f (x)+в
3. График функции получается из графика функции y = f (x)
симметричным отображением последнего относительно оси Ох.
3. y = f (kx)
4. График функции получается сдвигом вдоль оси Ох на величину |а|
графика функции y = f (x) вправо, если а>0, и влево, если а<0
4. y = f (x-a)
5. График функции получается растяжением в В раз ( В >1) вдоль оси
Оу графика функции
y = f (x).
5. y = |f (x)|
6. Графики функции получается сжатием (при k>1) или растяжением
(при k<1) в k раз вдоль оси Ох графика функции y = f (x).
6. y = f ( -x)
7. График функции получается из графика функции y = f (x)
симметричным отображением последнего относительно оси Оу.
7. y = В f (x)
8. График функции получается из графика функции
y = f (x)
следующим образом: при х ≥ 0 график функции y = f (x) сохраняется, а
при х < 0 полученная часть графика отображается симметрично
относительно оси Оу.
8. y = f (|x|)
Ответы
•
•
•
•
•
•
•
•
1-2
2 -5
3-1
4-4
5-7
6-3
7-6
8-8