1% - Euroakadeemia

ЛЕКЦИЯ 2.
ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Natalja Viilmann, PhD
КРАТКИЙ ПЛАН ЛЕКЦИИ:
 Проценты
в банковской сфере
 Простые и сложные проценты
 Типы задач на проценты
Брать ссуду в банке или купить в
кредит?
Может быть выгоднее накопить денег
для покупки дорогостоящей вещи?
Вы умеете рационально тратить
деньги?
Вы можете купить товар, на
приобретение которого у вас
недостаточно средств?
Вы знаете, какие для этого существуют
возможности?
А если вы будущий бизнесмен, экономист,
банковский работник или химик тогда вам просто необходимо
«дружить с процентами».
Для чего и когда появился
процент?
Слово «процент» произошло от латинских
слов
pro centum, что буквально означает «за
сотню» или «со ста». Проценты дают
возможность легко сравнивать между
собой части целого, упрощая расчёты.
Пример: Что больше ½ или ¾?
½ = 50 % < ¾ = 75 %
ЗНАКОМСТВО С ПРОЦЕНТОМ
Процент – это частный вид десятичных дробей,
сотая доля целого (принимаемого за единицу) или
сотая часть единицы. Обозначается знаком «%».
Используется для обозначения доли чего-либо по
отношению к целому.
Запись 1% означает 0,01 или
1/100.
Так как 1% равен сотой части
величины, то вся величина равна 100%
НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА
 Чтобы
ОТ ЧИСЛА
найти процент от числа, надо
это число умножить на
соответствующий процент
p
b  a
100
20% от 45 кг сахара
равны 45·0,2=9 кг.
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТУ
 Чтобы
найти число по его проценту,
надо часть, соответствующую этому
проценту, разделить на дробь.
p
a b:
100
Если 8% от длины бруска
составляют 2,4см, то
длина всего бруска равна
2,4:0,08=30см
100%
8%
НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО
ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ
 Чтобы
узнать, сколько процентов
одно число составляет от второго,
надо первое число разделить на
второе и результат умножить на 100%.
b
p  100(%)
a
9г соли в растворе
массой 180г составляют
9:180·100%= 5%.
180
9
Задача бизнесмена:
На сколько процентов необходимо поднять цену товара,
чтобы после распродажи его с 20% скидкой доход от продажи
составил 5%?
Решение:
Пусть а – первоначальная цена, тогда новое значение цены – b.
b = a · (1-0,01 · 20)·(1+0,01 · р) = 0,8а(1+0,01 · р),
b = а · (1+0,01 · 5) = 1,05а
Составим уравнение:
0,8а · (1+0,01 · р) = 1,05а;
1+0,01р = 1,05 : 0,8;
0,01р = 0,3125;
р = 31,25%
Ответ: цену товара необходимо поднять на 31,25%.
Задача продавца:
Вечером хозяин магазина повысил цену на телевизоры на 30%. За
ночь передумал и утром велел снизить цену на 30%. Какой стала цена:
прежней? Повысится или понизится?
Решение:
Пусть х $– стоимость телевизора, тогда (х+0,3х) $ – стоимость товара
после повышения. Тогда цена утром после повышения составит: (х+0,3)
– 0,3(х+0,3х) = 0,91х $, что меньше, чем х, следовательно цена
понизится.
Ответ: понизится
Задачи покупателя:
1.
Цены на все товары повысились на 100%. Как изменилась моя
покупательская способность?
(Ответ: уменьшилась в два раза.)
2.
Зарплату увеличили в три раза, а цены подняли на 200%. Что стало с
моей покупательной способностью?
(Ответ: не изменилась.)
3.
Зарплата не изменилась, а все цены снизили на 100%. Что стало с
покупательной способностью?
Конечно, это шутка. Снизить цену на 100% - это раздавать товар
бесплатно.
ПРОЦЕНТЫ В БАНКОВСКОЙ СФЕРЕ
Банкир – это центральная фигура.
Он держит на своих плечах весь мир.
Герберт Н. Кэссон
В случае, когда денег не хватает,
можно обратиться за помощью в банк.
Kакие кредиты,
например на покупку автомобиля
самые выгодные?
The “P” Principal
 P - первоначальная сумма денег, которую вложили или
заняли
= The Principal is the original amount of money invested, or
borrowed.
 For example, if Jodie gets a $5000 loan for a car, then the
“Principal” is P = 5000.
And if Luke invests $2000 at 3% interest per annum for three
years, then the Principal is P = 2000.
The “R” Interest Rate
 Interest Rates usually have a “pa” after them, such as 3% pa
or 16% pa. It is a short hand form for “per annum”, which
means “per year”.
 10% pa means that each year there is 10% of the Principal as
extra Interest money created.
The “T” Time Value
 Значение времени в формуле I = PRT всегда в годaх !
 В то же время расчет платежей по процентам не всегда может
иметь место на основе ежегодных платежей, но также за
значительно более короткий период времени
 В этом случае «T» выражает продолжительность контракта, в
реальности, как соответствующей части года
Например:
Банк обещает своим клиентам годовой рост
вклада 13%. Какую сумму может получить через
год человек, вложивший в этот банк 320 тыс. р.?
320 000— 100%,
Х—113%
Х= 1,13•320000 = 361600 р.
Решим эту задачу в общем виде.
А именно, если в банк, дающий r% в год,
вложена сумма P, по истечении одного года
FV = (1 +r/100)*P
Если через год рост вклада составит
FV = (1 +r/100)*P , то через n лет
FVn
= (1+r*n/100)*P─ формула простого
процентного роста
Если имеется необходимость производить аналогичные
одинаковые вычисления для различный исходных сумм и
процентных ставок, можно по формуле проводить
необходимые расчеты.
Сложный процентный рост
Для некоторых видов вкладов (срочных вкладов)
принята следующая система начисления денег на
сумму, внесенную в банк. За первый год
нахождения внесенной суммы на счете она
возрастает на некоторое число процентов. В конце
года вкладчик может снять со счета эти деньги —
«проценты», как их обычно называют.
Если же он этого не сделал, то они
капитализируются, т. е. присоединяются к
начальному вкладу, и поэтому в конце следующего
года проценты начисляются банком уже на новую,
увеличенную сумму. Коротко говорят, что при
такой системе начисляются « проценты на
проценты» .
В математике в такой ситуации обычно говорят о
сложных процентах.
What is Compounding?
Задача .
Как выгодней положить деньги - под 20 % годовых
«простых» или под 14 % «сложных»?
Ясно и без коментариев.
А если часть корманных денег -500 р. Каждый месяц
класть в банк, начисляющий, скажем, 1% в месяц, то
схема роста вклада выглядит следующим образом:
1 месяц
2 месяц
3 месяц
4 месяц
5 месяц
6 месяц
7 месяц
8 месяц
9 месяц
10месяц
11месяц
12месяц
Прибыль
—
—
—
─
─
─
─
─
─
─
─
─
за
500
500•1,01+500=500•(1,01 + 1)=1005
1005•1,01 + 500= 1515,05
1515,05•1,01+500=2030,20
030,2005•1,01+500=2550,50
550,50•1,01+500=3076,
076•1,01+500=3606,8
606,8•1,01+500=4142,06
4142,06•1,01+500=4683,48
4683,48•1,01+500=5230,32
5230,32•1,01+500=5782,3
5782,3•1,01 +500=6 340,12
год 5840,12р.в год.
А если оставить на 5 лет?
1 месяц — 500
2 месяц — 500•1,01+500 =500•(1,01+ 1)
3 месяц—
(500•1,01+1))•1,01+500=500•(1,012+1,01+1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
п-й месяц —500 •(1,01 n-1 +1,01 n-2 + .... + 1,01 +1).
В скобках сумма геометрической прогрессии .
А если воспользоваться таблицей, то можно
подсчитать какой будет сумма вклада через
5 лет; 5лет = 60м-ц.
=
S6
40835р.(Значение приближенное)
0
А это уже капитал….
P = 500 eur, r = 5% pa
Year
Start
Interest
End
1
500.00
25.01
525.01
2
525.01
26.26
551.26
3
551.26
27.57
578.84
4
578.84
28.95
607.79
5
607.79
30.40
638.18
6
638.18
31.92
670.10
7
670.10
33.51
703.62
8
703.62
35.19
738.81
9
738.81
36.95
775.76
10
775.76
38.80
814.56
11
814.56
40.74
855.29
12
855.29
42.78
898.07
13
898.07
44.92
942.99
14
942.99
47.16
990.15
15
990.15
49.52
1039.67
16
1039.67
52.00
1091.67
17
1091.67
54.60
1146.27
18
1146.27
57.33
1203.60
19
1203.60
60.20
1263.79
20
1263.79
63.21
1327.00
ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ В ДЛИТЕЛЬНОМ ПЕРИОДЕ
1000
8%
Period
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
FV (Simple Interest) FV (Compound Interest)
1 000,00
1 000,00
1 080,00
1 080,00
1 160,00
1 166,40
1 240,00
1 259,71
1 320,00
1 360,49
1 400,00
1 469,33
1 480,00
1 586,87
1 560,00
1 713,82
1 640,00
1 850,93
1 720,00
1 999,00
1 800,00
2 158,92
1 880,00
2 331,64
1 960,00
2 518,17
2 040,00
2 719,62
2 120,00
2 937,19
2 200,00
3 172,17
2 280,00
3 425,94
2 360,00
3 700,02
2 440,00
3 996,02
2 520,00
4 315,70
2 600,00
4 660,96
2 680,00
5 033,83
2 760,00
5 436,54
2 840,00
5 871,46
2 920,00
6 341,18
3 000,00
6 848,48
3 080,00
7 396,35
3 160,00
7 988,06
3 240,00
8 627,11
3 320,00
9 317,27
3 400,00
10 062,66
30
Pick a Year:
Compound vs Simple Interest
X
Y
8% per year for 40 Years
30,00
0,00
25 000
30,00
3400,00
30,00 10062,66
20 000
Future Value
PV
Rate
15 000
10062,66
10 000
3400,00
5 000
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Years
FV (Simple Interest)
FV (Compound Interest)
This workbook is Copyright © 2007 by Timothy R. Mayes, Ph.D.
Please visit http://www.tvmcalcs.com/ for free time value of money, financial
calculator, and Microsoft Excel tutorials.
40
ПРИМЕНЕНИЕ СХЕМЫ СЛОЖНЫХ
ПРОЦЕНТОВ ЦЕЛЕСООБРАЗНО В ТЕХ
СЛУЧАЯХ, КОГДА:

проценты не выплачиваются по мере их начисления, а
присоединяются к первоначальной сумме долга.
Присоединение начисленных процентов к сумме долга,
которая служит базой для их начисления, называется
капитализацией процентов;

срок ссуды более года.
Сложные проценты характеризуют процесс роста
первоначальной суммы со стабильными темпами
роста, при наращении ее по абсолютной
величине с ускорением, следовательно, формулу
сложных процентов можно рассматривать как
определение уровня на базе стабильных темпов
роста.


цепной темп роста равен:
(1 + r)
базисный темп роста за весь период, исходя из
постоянного темпа прироста, имеет вид:
(1  ri)
n
35

Прямая задача предполагает суммарную
оценку наращенного денежного потока, т.е. в
его основе лежит будущая стоимость.
FV  P1  r 
n
FUTURE VALUE PROBLEMS
Solve for any variable, given the other three
FV: How much will I have in the future?
• P: How much do I need to invest now?
• r: What rate of return do I need to earn?
• T: How long will it take me to reach my goal?
•
РАЗЛИЧНЫЕ ПЕРИОДЫ (МЕНЬШЕ, ЧЕМ 1 ГОД)
m
= # of compounding periods in a year
 APR = actual rate x m (APR is annualized)
 EAR = the annually compounded rate that
gives the same proceeds as APR compounded
m times
SEMIANNUAL COMPOUNDING
m
=2
 APR = 10%
 EAR = 10.25%
QUARTERLY COMPOUNDING
m
=4
 APR = 10%
 EAR = 10.38%
MONTHLY COMPOUNDING
m
= 12
 APR = 10%
 EAR = 10.47%
DAILY COMPOUNDING
m
= 365
 APR = 10%
 EAR = 10.516%

Обратная задача предполагает суммарную
оценку дисконтированного (приведенного)
денежного потока.
PV 
Fn
1  r 
n
PRESENT VALUE
 Discounting
future cash flows at the
“opportunity cost” (cost of capital, discount
rate, minimum acceptable return)
 A dollar tomorrow is worth less than a dollar
today
ЗАДАЧА 1.
Найдите будущую стоимость FV 1 000 $,
инвестированных на 2 года под 11,8% по
схеме начисления сложных процентов.
FVt = PV (1 + r)t = 1000 (1 + 0,118)2 =
1000×1,2499 = 1249,90 $
ЗАДАЧА 2
Найдите будущую стоимость FV 770 $,
инвестированных на 1,5 года под 9,8% по
схеме начисления сложных процентов
каждые полгода.
FVt = PV (1 + r/m)tm = 770 (1 + 0,098/2)1,5:0,5 =
770×1,1543 = 888,81 $.
ЗАДАЧА 3.
Вычислите приведенную стоимость PV 1759 $,
которые предполагается получить через 2
года, если сложная ставка процентов
составляет 12,9%.
PV = FVt/(1 + r)t = 1759/(1 + 0,129)2 = 1759/1,2746
= 1380,04 $
ЗАДАЧА 4.
Если будущая стоимость FV 830 руб.,
вложенных на 2 года, составляет 950 р.,
какова ставка сложных процентов?
 FV 
 950 
i%=  t
-1  100%=  2
-1  100%=7,0%
 PV 
 830 
ЗАДАЧА 5.
Предположим, вы только что отпраздновали ваш 19-й день
рождения. Богатый дядюшка основал для вас
инвестиционный фонд, по которому по достижении 25
лет вы получите 100 000$. Если соответствующая
учетная ставка равна 11%, то сколько этот фонд стоит
сегодня?
Современная (приведенная) стоимость инвестиционного
фонда равна
PV = FV/(1+i)t = 100000/(1+0,11)6 = 100000/1,87041 = 53464 $
ЗАДАЧА 6.
Первый отобранный в первом раунде футбольных игр
защитник получает трехлетний контракт на 10млн.р.
Игрок сразу получает бонус размере 1млн.р. Затем
получает в качестве зарплаты 2млн.р. в конце первого
года, затем 3млн.р. в конце следующего года и 4млн.р. в
конце последнего года.
Предположим, что учетная ставка 10% годовых.
Стоит ли данный контракт 10 млн.?
Сколько стоит данный контракт сегодня?
ЗАДАЧА 6: РЕШЕНИЕ
Для решения данной задачи воспользуемся формулой:
n
FV 3
FV t
FV1
FV 2
FV n
PV 


 ... 

1
2
3
n
t
(1  i)
(1  i)
(1  i)
(1  i)
(1

i)
t 1
Подставляя данные задачи в формулу, получаем
PV = 1/(1+0,1)0 + 2/(1+0,1)1 + 3/(1+0,1)2 + 4/(1+0,1)3 =
= 1 + 2/1,1 + 3/1,21 + 4/1,331 =
= 1 + 1,81818181 + 2,47933884 + 3,00525920 =
= 8,30277985 (млн.р.) = 8 302 779,85 р.
ЗАДАЧА 7.
Вы планируете вложить несколько сумм на счет с
начислением процентов.
Сегодня вы депонируете 1000р., 2000р. через 2 года и
8000р. через 5 лет.
Вы снимаете со счета 3000р. через 3 года и 5000р. через 7
лет.
1) Сколько вы будете иметь через 8 лет при ставке 9%,
т.е. чему равна FV через 8 лет при ставке 9%?
2) Чему равна PV этих денежных потоков?
ЗАДАЧА 7: РЕШЕНИЕ
IF, OF, р.
Приведенный ниже график помогает разобраться с
движением денежных потоков при ответе на первый вопрос.
FV
+1000
×
(1 + 0,09)8
0
+2000
×
(1 + 0,09)6
+8000
×
(1 + 0,09)3
8
1
2
3
-3000
×
(1 + 0,09)5
4
5
6
7
-5000
×
(1 + 0,09)1
t,
лет
ВОПРОСЫ?