методы решения систем линейных уравнений

Глава 2
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Общая характеристика методов решения
систем линейных уравнений
2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера
Имеем линейную систему уравнений с n
неизвестными:
a11 x1  a12 x2 
 a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2   a2 n xn  b2
…
an1 x1  an 2 x2   ann xn  bn .
(2.1)
Введем матрицы:
 a11 a12 ... a1n 
 a21 a22 ... a2 n  – матрица системы из
A
... ... ... ...  коэффициентов при неизвестных,
 a a ... a 
nn 
 n1 n 2
 x1 
 
X   x2  – вектор-столбец неизвестных,
x 
 n
 b1 
 
B   b2  – вектор-столбец свободных членов.
b 
 n
Системе (2.1) соответствует матричное уравнение
AX  B .
(2.2)
Решение уравнения (2.2) на базе обратной матрицы
имеет вид
X  A1B .
(2.3)
Другой разновидностью формы решения (2.3)
является формула Крамера
j
, j  1,2,..., n ,
(2.5)
xj 

где Δ – главный определитель системы (2.1);
1 2
j
n – номера столбцов;
a11 a12 ... b1 ... a1n
a21 a22 ... b2 ... a2 n – определитель, полученный
j 
... ... ... ... ... ... путем замены в главном
определителе
системы
(Δ)
an1 an 2 ... bn ... ann
столбца коэффициентов при
неизвестном xj столбцом
коэффициентов свободных
членов (B).
2.3. Метод Гаусса
Для простоты рассуждений ограничимся
рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя
неизвестными
1) a11 x1  a12 x2  a13 x3  a14 x4  a15 ,
2) a21 x1  a22 x2  a23 x3  a24 x4  a25 ,
3) a31 x1  a32 x2  a33 x3  a34 x4  a35,
4) a41 x1  a42 x2  a43 x3  a44 x4  a45 .
Изложим последовательность операций
при прямом ходе.
(2.7)
Первый шаг. Разделим коэффициенты первого
уравнения на a11, в результате чего оно примет вид
x1  b12 x2  b13 x3  b14 x4  b15 .
(2.8)
Пользуясь уравнением (2.8), можно исключить
Переменную x1 из уравнений № 2, 3, 4 системы (2.7).
Для этого нужно из уравнения №2 системы вычесть
уравнение (2.8), умноженное на a21, из уравнения №3
системы вычесть уравнения (2.8), умноженное на a31 и
т.д. В результате получим систему из трех уравнений с
тремя неизвестными:
(1)
(1)
(1)
(1)
x2  a23
x3  a24
x4  a25
1) a22
,
(1)
(1)
(1)
(1)
a
x

a
x

a
x

a
(2.9)
2) 32 2
33 3
34 4
35 ,
3) a42 x2  a43 x3  a44 x4  a45 .
(1)
(1)
(1)
(1)
Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений
№ 2, 3 системы (2.9).
x2  b23 x3  b24 x4  b25 .
(2.11)
Используя (2.11), исключаем x2 из уравнений № 2, 3
системы (2.9) и получаем систему второго порядка:
1) a x  a x  a ,
(2)
33 3
(2)
34 4
(2)
35
(2)
(2)
(2)
2) a43 x3  a44 x4  a45 .
(2.12)
Третий шаг. Разделим первое уравнение
(2)
системы (2.12) на ведущий элемент a33 , что дает
x3  b34 x4  b35 .
(2.13)
С помощью этого уравнения исключим x3 из второго
уравнения системы (2.12) и получим
(3)
(3)
a44
x4  a45
.
(2.14)
Таким образом, исходную систему (2.7) удалось
привести к эквивалентной системе с треугольной
матрицей:
x1  b12 x2  b13 x3  b14 x4  b15 ,
x2  b23 x3  b24 x4  b25 ,
x3  b34 x4  b35 ,
(3)
(3)
a44
x4  a45
.
(2.15)
Обратный ход связан с последовательным
переходом от последнего уравнения системы (2.15)
к первому, в процессе которого осуществляется
непосредственный расчет значений x:
(3)
(3)
x4  a45
a44
,
x3  b35  b34 x4 ,
x2  b25  b24 x4  b23 x3 ,
x1  b15  b14 x4  b13 x3  b12 x2 .
(2.16)
 a11

A



a12
a13
(1)
a22
(1)
a23
(2)
a33
a14 
(1) 
a24
.
(2)

a34
(3) 
a44 
(2.21)
Определитель матрицы A равен произведению
«ведущих» элементов в схеме Гаусса:
D  det A  a a a a .
(1) (2) (3)
11 22 33 44
(2.22)
2.4. Метод простой итерации
для решения систем линейных уравнений
Имеем линейную систему уравнений с n
неизвестными:
a11 x1  a12 x2 
a21 x1  a22 x2 
…
an1 x1  an 2 x2 
 a1n xn  b1 ,
 a2 n xn  b2 ,
 ann xn  bn .
(2.23)
Эквивалентная система уравнений:
x1  f1  c12 x2  c13 x3  ...  c1n xn ,
x2  f 2  c22 x2  c23 x3  ...  c2 n xn ,
…
(2.24)
xn  fn  cn 2 x2  cn3 x3  ...  cn,n1xn1 ,
bi c  aij
где fi  ; ij
при i  j и
aii
aii
cii  0  i, j  1,2,..., n 
(2.25)
Итерационный процесс для системы (2.24):
x ( k 1)  f  cx ( k )
 k  0,1,2,...,
(2.27)
где k – номер итерации.
Для сходящегося процесса решением является

x  lim  f  cx( k )  .
k 
(2.28)
Условие сходимости:
aii   aij
i j
 i, j  1,2,..., n  ,
(2.39)
т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого
уравнения больше суммы модулей его недиагональных
коэффициентов.
Условие завершения итерационного процесса:
xi( k )  xi( k 1)   .
(2.44)
2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем
Метод Зейделя представляет собой некоторую
модификацию метода простой итерации.
Считаем, что дана линейная система, приведенная
к итерационному виду (2.24):
n
xi  fi   cij x j  i  1,2,..., n  .
j 1
(2.62)
Полагаем, что найдено k-е приближение xi( k )
всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е
приближение корней будет определяться по следующим
формулам:
n
x1( k 1)  f1   cij x (jk ) ,
j 1
x2( k 1)  f 2  c21x1( k 1)  c22 x2( k )  c23 x3( k )  ...  c2 n xn( k ,)
( k 1)
3
x
( k 1)
31 1
 f3  c x
( k 1)
32 2
c x
…
c x
(k )
33 3
 ...  c x ,
(k )
3n n
(2.63)
i 1
n
j 1
j i
xi( k 1)  fi   cij x(jk 1)   cij x (jk ,)
( k 1)
n
x
n 1
 f n   cij x
j 1
( k 1)
j
…
 c x , (k  0,1, 2,...) .
(k )
nn n
Метод Зейделя обеспечивает, как правило, лучшую
сходимость, чем метод простой итерации.