3. Четырёхполюсники 3.1. Уравнения четырёхполюсников 3.1.1. Уравнения четырёхполюсников в Y-форме Подключим к входным и выходным зажимам четырёхполюсника (рис. 45) идеальные источники ЭДС: E1 U1 и E2 U 2 . Тогда ток в k-м контуре n Ek jk E j , i 0 (1) где jk – алгебраическое дополнение определителя , получаемое путём вычёркивания в нём j-й строки и k-го столбца и умножения определителя на 1 j k ; – определитель системы контурных уравнений; E j – контурная ЭДС j-го контура. Рис. 45 Так как во входной контур (см. рис. 45) входит только источник E1 , а в выходной – только источник E2 , то в соответствии с уравнением (1) можно записать систему U U I1 11 1 21 2 ; 12U1 22U 2 . I2 (2) Коэффициенты в системе (2) при напряжениях U1 и U 2 измеряются в сименсах, так как порядок алгебраических дополнений jk на единицу меньше порядка определителя . Обозначив 11 / Y11, 21 / Y12 , 12 / Y21 и 22 / Y22 , получим систему уравнений четырёхполюсника в Y-форме: I Y U Y U ; 1 11 1 12 2 I 2 Y21U1 Y22U 2 . (3) Система (3) в матричной форме: I Y Y U 1 11 12 1 I Y21 Y22 U 2 2 или I Y U , где Y (4) 1 11 12 . 21 22 Если в системе (3) принять U 2 0, что эквивалентно короткому замыканию выходных зажимов четырёхполюсника (см. рис. 45), то из первого уравнения Y11 I1 I , а из второго – Y21 2 . U1 U1 При U1 0 (т.е. при коротком замыкании входных зажимов ЧП) из первого уравнения системы (3) Y12 I1 I , а из второго – Y22 2 . U2 U2 Таким образом, Y-параметры есть параметры короткого замыкания. У обратимых ЧП выполняется принцип взаимности, т. е. 12 21 , а следовательно, Y12 Y21. У симметричных ЧП, кроме того, 11 22 , а следовательно, Y11 Y22. Поэтому обратимые ЧП характеризуются тремя параметрами ( Y11, Y12 Y21 и Y22 ), а симметричные – двумя ( Y12 Y21, Y11 Y22 ). Пример 18. Определить Y-параметры П-образного четырёхполюсника (рис. 46). Рис. 46 Решение. Непосредственно из схемы на рис. 46 видно, что в режиме короткого замыкания при U 2 0 Y11 Y1 Y3, а при U1 0 Y22 Y2 Y3. Передаточные проводимости: Y21 Y12 I2 U1 U 2 0 U1Y3 Y3; U1 U 2Y3 I1 Y3. U 2 U 0 U2 1 3.1.2. Уравнения четырёхполюсников в Z-форме Решив систему (3) относительно U1 и U 2 получаем уравнение четырёхполюсников в Z-форме: U Z I Z I ; 1 11 1 12 2 U 2 Z 21I1 Z 22 I 2 . где Z11 Y22 Y Y Y ; Z12 12 ; Z21 21 ; Z22 11 , Y Y Y Y (5) (6) здесь Y Y11Y22 Y12Y21. Z-параметры (см. формулу (6)) измеряются в омах и называются параметрами холостого хода, так как определяются при холостом ходе на одной из сторон четырёхполюсника Z11 U1 I1 I U Z 22 2 I2 ; Z 21 2 0 U2 I1 ; I 2 0 (7) U ; Z12 1 , I 2 I 0 I 0 1 1 где Z11 и Z 21 – соответственно входные и передаточные сопротивления ЧП в режиме холостого хода (при прямой передаче сигнала); Z 22 и Z12 – входные и передаточные сопротивления в режиме холостого хода (при обратной передаче сигнала). Для обратимых (или взаимных) ЧП Z12 Z 21 , а для симметричных, кро-ме того, Z11 Z22. Система уравнений (5) в матричной форме: U Z11 1 U 2 Z 21 Z12 I1 Z 22 I 2 или U Z I , где Z 11 11, 22 21 1 12 ; 22 (8) 11, 22 – двойное алгебраическое дополнение, по- лучаемое из определителя путём вычёркивания строк и столбцов с номера-ми 1 и 2. Пример 19. Определить Z-параметры Т-образного ЧП (рис. 47), если Z1 Z 2 . Рис. 47 Решение. Непосредственно из схемы ЧП видно, что его сопротивления входа Z11 и выхода Z 22 равны: Z11 Z1 Z3, Z 22 Z 2 Z3. Передаточные сопротивления Z 21 и Z12 в режиме холостого хода согласно уравнениям (7) равны: Z21 U 2 I1Z3 U I Z Z3; Z12 1 2 3 Z3. I1 I1 I2 I2 3.1.3. Уравнения четырёхполюсников в A-форме Решив систему (3) относительно U1 и I1, получим уравнение четырёхполюсника в A-форме: U A U A I ; 11 2 12 2 1 I A U A I , 21 2 22 2 1 где A11 (9) Y22 Y Y 1 ; A12 ; A21 ; A22 11 . Y21 Y21 Y21 Y21 Параметры A11 и A22 безразмерные, параметр A12 измеряется в омах, а A21 в сименсах. Действительно: A11 U1 U2 – безразмерная величина, обратная комплексной передаточI 2 0 ной функции по напряжению (при холостом ходе); A22 I1 I2 U – безразмерная величина, обратная комплексной передаточ2 0 ной функции по напряжению (при коротком замыкании); A12 U1 I2 U – величина, обратная передаточной проводимости (при ко2 0 ротком замыкании), измеряется в омах; A21 I1 U2 – величина, обратная передаточному сопротивлению (при I 2 0 холостом ходе), измеряется в сименсах. Для обратимых ЧП, удовлетворяющих условию взаимности, при котором Y12 Y21 , определитель системы (9) A11 A A21 A21 A11 A22 A12 A21 1. A22 (10) Матричная форма записи уравнений (9): U A11 1 U 2 A21 A21 U 2 A22 I 2 или U U 1 A 2 . U 2 I 2 Пример 20. Определить A-параметры ЧП (рис. 48), если Z1 (5 j5) Ом; Z 2 (5 j5) Ом. Рис. 48 Решение. A-параметры найдём, используя систему (9). Так как ЧП симметричный, то A11 A22 . В режиме холостого хода I 2XX 0 система (9) имеет вид U1XX A11U 2XX ; I1XX A21U 2XX . (11) Из системы (11): A11 U1XX I1XX Z1 Z 2 Z 5 j5 1 1 1 1 e j /2 2e j /4 ; U 2XX I1XX Z 2 Z2 5 j5 A21 I1XX I 1 1 5 j5 1XX 0,1 j 0,1 См. U 2XX I1XX Z 2 Z 2 5 j 5 50 Параметр A12 найдём из уравнения A11A22 A12 A21 1 или 2 A11 A12 A21 1; A2 1 1 j 1 A12 11 5 j15 Ом. A21 0,11 j 2 Пример 21. Определить A-параметры ЧП, ZC и gс на частоте 1000 рад/с (рис. 49), если R 1000 Ом; L 1 Гн. Рис. 49 Решение. 1. Найдём А-параметры методом холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). U1 A11 I1 A21 A12 U 2 . A22 I 2 В режиме ХХ: Z н ; I 2XX 0. A11 U1XX U1XX R 1 1 j; j L U 2XX U j L 1XX R j L A21 I1XX I 1 1XX j103 Cим. U 2XX I1XX j L j L В режиме КЗ: Z н 0; U 2КЗ 0. U1КЗ U1КЗ R2 A12 2 R 2 j 103 Ом; U1КЗ j L I 2КЗ j L 2 R 2 j LR A22 I1КЗ I1КЗ R j L R 1 1 j. I 2КЗ I1КЗ j L j L 2. Найдём характеристическое сопротивление ZC ' A12 R 2 j 2 LR 1500e j 3145 1270 j 790 Ом. A21 3. Найдём характеристическую постоянную передачи R R 2 2 j LR gс ln A11 A12 A21 ln 1 2 j L j L ln 1,79 j 2,29 1,07 j 52; aс 1,07 Hеп 9,3 дБ; bс 52. Пример 22. Определить A-параметры на частоте 1000 рад/с четырёхполюсника (рис. 50), если R 1 кОм; C 2 мкф. Рис. 50 Решение. 1. В режиме ХХ: Z н ; I 2XX 0. A11 U1XX 1 jCR 1 j 2; U 2XX A21 I1XX / U 2XX 2C 2 R 2 jC 4 103 (1 j ) См. 2. В режиме КЗ: Z н 0; U 2КЗ 0. A12 U1КЗ R 103 Ом; I 2КЗ A22 I1КЗ 1 jCR 1 j 2. I 2КЗ Проверим правильность решения: A11 A22 A12 A21 (1 j 2) 2 103 4 10 3 (1 j ) 1. Пример 23. Определить A-параметры, Z C и g с ЧП (рис. 51), если R 10 Ом; L 10 Ом; 1 20 Ом. C Рис. 51 Решение. 1. Найдём сопротивление холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ): Z XX Z1XX Z 2XX ; Z КЗ Z1КЗ Z 2КЗ ; Z1 Z 2 5 1 j 7,07e j 45 ; 2 ZZ 2 1 2 40. Z1 Z 2 Z XX Z КЗ 2. Найдем ZC Z XX Z КЗ 40 5 1 j 10 2 1 j 16,8e j 2230 . ' 3. Найдем А-параметры: A11 A22 ' 1 1 0,45e j 6325 ; Z 8 1 1 КЗ 1 j Z ХХ ' ' A12 Z КЗ A11 40 0,45e j 6325 18e j 6325 ; ' A11 0,45e j 6325 j10825' A21 0,064 e . Z ХХ 7,07e j 45 4. Определим характеристическую постоянную передачи: ' gс ln A11 A12 A21 ln 0,277 j1,47 ln 1,5e j 7920 ; a 0,41 Hеп 3,55 дБ; b 7920'. с с Пример 24. Определить A-параметры четырёхполюсника (рис. 52), если R 100 Ом; xL 200 Ом; xC 100 Ом. Рис. 52 Решение. 1. Для экспериментального определения коэффициентов четырёхполюсника определяются сопротивления четырёхполюсника в режимах холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). Для этого измеряются напряжения и токи в схеме, а также фазовые сдвиги между ними, а затем определяются сопротивления. Коэффициенты четырёхполюсника определяются по формулам: A11 Z1ХХ ; Z 2ХХ Z 2КЗ A12 A11Z 2КЗ ; Сопротивления A21 A11 ; Z1ХХ A22 A11Z 2ХХ . Z1ХХ Z1ХХ , Z2ХХ , Z2КЗ можно определить теоретически из заданного четырёхполюсника Z1ХХ R jxL ; Z 2КЗ jxC R jxL ; R jxL Z 2ХХ jxL jxC . Определяем A11 R jxL RjxL j xL xC jxC R jxL R jxL 2 jxL R jxL RjxL R jxL 2 xL2 R jxL 100 j 200 1 j 0,5; jxL j 200 RjxL A12 1 j 0,5 jxC R jx L 100 j 200 1 j 0,5 j100 100 j 200 250 250(1 j 2) 250 j 500 50 j100; 1 j2 5 12 22 1 j 0,5 A21 j 0,005; 100 j 200 A22 1 j 0,5 j100 1 j 0,5 j 0,5 j1 0,5. 100 j 200 1 j2 1 j2 2. Расчёт коэффициентов четырёхполюсника методом приравнивания коэффициентов (рис. 53). Рис. 53 По первому закону Кирхгофа записываем уравнения для узла 1 в схеме (см. рис. 53), заменив ток в индуктивности через напряжение на индуктивности, делённое на сопротивление индуктивности: IL I 2 jxC U 2 , jxL тогда I1 I 2 jxC U 2 I 2 0. jxL Приводим данное равенство ко второму уравнению четырёхполюсника: jxL I1 jxC I 2 U 2 jxL I 2 0; jxL I1 U 2 jI 2 xL xC ; I1 x x 1 U 2 L C I2; jxL xL A21 1 j 0,005; jxL A22 xL xC 200 100 0,5. xL 200 Таким образом, I1 j 0,005U 2 0,5 I 2 . Далее по второму закону Кирхгофа записываем уравнение для внешнего контура четырёхполюсника: RI1 jxC I 2 U 2 U1. Подставляем ток в это уравнение и приводим в форму первого уравнения четырёхполюсника: U1 j 0,005U 2 0,5 I 2 R I 2 jxC U 2 ; U1 j 0,005 R 1U 2 0,5 R jxC I 2 ; U1 1 j 0,5 R U 2 50 j100 I 2 . Таким образом, A11 1 j 0,5; A12 50 j100. 3. Проведём проверку А-параметров четырёхполюсника методом холостого хода и короткого замыкания. Уравнения А-параметров имеют вид U1 A11U 2 A12 I 2 ; I1 A21U 2 A22 I 2 . Рассмотрим режим холостого хода на выходе ЧП, т. е. когда вторичные зажимы разомкнуты (см. рис. 53). Тогда из первого уравнения U1 A11U 2 , коэффициент A11 U1 U1 , получим . Учитывая, что U 2 I1 jxL , где I1 R jxL U2 A11 U1 U1 jxL R jxL R jxL 100 j 200 1 j 0,5. jxL j 200 При холостом ходе на выходе, когда I 2 0, из второго уравнения четырёхполюсника получим I1 A21U 2 . Определим I1 и U 2 : I1 U1 U1 , а U 2 I1 jxL I1 jxL , тогда R jxL R jxL U1 I 1 R jxL A21 1 j 0,005. U1 U2 jxL jxL R jxL Рассмотрим режим короткого замыкания на выходе четырёхполюсника, т. е. вторичные зажимы закорочены U 2 0 (рис. 54). Рис. 54 Из первого уравнения U1 A12 I 2 , I 2 I1 jx L U1 , но I1 и jxL ( jxC ) jxL jxC R jxL jxC после подстановки I1 получим I 2 I1 jx L U1 jx L jxL jxC R jxL ( jxC ) jxL jxC jxL jxC U1 jxL jxC jx L jx L U1 . RjxL RjxC jxL ( jxC ) jxL jxC xL xC jR ( xL xC ) Тогда A12 U1 xL xC jR ( xL xC ) 50 j100. I2 jxL Из второго уравнения четырёхполюсника замыкания на выходе I1 A22 I 2 , следовательно, A22 I1 I 2 I1 U1 при режиме короткого I1 . Определяем I1 и I 2 : I2 jxL jxC U1 U1 ; jxL ( jxC ) jR x x x x L C L C R jxL jxC jxL jxC jx L jx L U1 jxL jxC jR xL xC xL xC jxL jxC jxL jR xL xC xL xC После подстановки коэффициентов в систему уравнений четырёхполюсника получим U1 1 j 0,5U 2 50 j100 I 2 ; I1 j 0,005U 2 0,5I 2 . Для проверки правильности расчёта используем формулу обратимости A11 A22 A12 A21 (1 j 0,5)0,5 50 j100 j 0,005 0,5 j 0,25 j 0,25 0,5 1. 3.1.4. Уравнения четырёхполюсников в B-, H-, F-формах Уравнения четырёхполюсников для схемы на рис. 45 в B-форме: U B U B I ; 11 1 12 1 2 I B U B I . 21 1 22 1 2 (12) Уравнения четырёхполюсников для схемы на рис. 45 в H-форме: U H I H U ; 1 11 1 12 2 I 2 H 21I1 H 22U 2 . (13) Уравнения четырёхполюсников для схемы на рис. 45 в F-форме: I F U F I ; 1 11 1 12 2 U 2 F21U1 F22 I 2 . (14) Все шесть форм записи уравнений четырёхполюсников могут быть получены одна из другой. Соотношения параметров матриц всех шести форм записи приведены в прил. Пример 25. Определить В-параметры ЧП (рис. 55), если Z1 j 2 Ом; Z2 j 2 Ом; Z3 2 Ом. Рис. 55 Решение. Исходя из системы (12), получим B11 B12 U2 U1 I1 0 U2 I1 U Z 2 Z3 1 j1; Z3 Z1 Z3 1 0 B21 B22 I2 U1 1 0,5 См; Z3 Z1 Z3 1 j1. Z3 I1 0 I2 I1 U 1 0 Z1Z 2 2 Ом; Z3 При проверке вычислений должно быть B11 B22 B12 B21 1. Подставим полученные B-параметры: B11 B22 B12 B21 1 j11 j1 2 0,5 1, т. е. решение верно. 3.2. Характеристические параметры четырёхполюсников К характеристическим параметрам четырёхполюсников относят: – характеристическое сопротивление (на входе или выходе) четырёхполюсника; – характеристическая постоянная передачи (характеризующая соотношение напряжений и токов на входе и выходе четырёхполюсника). Характеристическое, или согласованное, сопротивление симметричного четырёхполюсника есть такое сопротивление, при подключении которого к выходным зажимам входное сопротивление четырёхполюсника становится равным этому сопротивлению, т. е. достигается согласование четырёхполюсника с нагрузкой: ZC Z XX Z КЗ , (15) т. е. Z C симметричного четырёхполюсника равно среднему геометрическому значению сопротивлений холостого хода и короткого замыкания. Характеристическая постоянная передачи g c согласованного четырех- полюсника 1 U I gc ln 1 1 , 2 U2 I2 (16) где под знаком логарифма – произведение отношений напряжений и токов: U1 I и 1. U2 I2 Так как для согласованного симметричного четырёхполюсника U1 Z с I1 и U 2 Z с I 2 , то gc ln I1 U ln 1 , I2 U2 (17) откуда e gc U1 I1 1 U 2 I 2 KU j Z н Zс 1 K I j Z . н Zс (18) Так как g c в общем случае является комплексной величиной: gc ac jbc , (19) то U1 U1 j 1 2 e e gc eac ebc , U2 U2 где характеристическое затухание U I ac ln 1 ln 1 , U2 I2 (20) bc 1 2 . (21) а характеристическая фаза Для согласованного четырехполюсника U1I1 S1 e 2 ac , U 2 I 2 S2 (22) где S1 U1I1, S2 U2 I2 – полные мощности на входе и выходе четырёхполюсника соответственно. Поэтому характеристическое затухание в неперах (Нп) 1 S ac lg 1 , 2 S2 (23) S ac 10ln 1 , S2 (24) а в децибелах (дБ) причем 1дБ 0,115 Нп, 1Нп 8,686 дБ. Окончательно имеем: ac Нп ln (U1 / U 2 ) ln ( I1 / I 2 ); ac дБ 20lg(U1 / U 2 ) 20lg( I1 / I 2 ). Пример 26. Для четырёхполюсника (рис. 56) определить характеристическое сопротивление ZC , характеристическую постоянную передачи g c , характеристическое затухание Z1 5 j5 Ом; Z2 5 j5 Ом. ac и характеристическую фазу bc , если Рис. 56 Решение. Характеристическое сопротивление ZC Z ХХ Z КЗ , где Z ХХ Z1 Z 2 ; Z1КЗ Z1 Z1Z 2 , Z1 Z 2 откуда ZC Z1 Z 2 Z1 Z1Z 2 j1325' Ом. 10,8 j 2,56 11,2e Z1 Z 2 Характеристическая постоянная передачи g c через A-параметры записывается выражением: e gc A11 A22 A12 A21 . Так как четырёхполюсник (см. рис. 56) симметричен (т. е. A11 A22 ) и является обратимым (т. е. A11 A22 A12 A21 1 ), то 2 e gc A11 A11 1. Так как A11 U1ХХ U 2ХХ I2 0 I1ХХ Z1 Z 2 Z 1 1 1 e j /2 1 j, I1ХХ Z 2 Z2 тогда получим окончательно 2 gc ac jbc ln A11 A11 1 ln 1 j ln 2,19 e j 35 ln2,19 j35 0,782 j0,35, 1 j 2 1 откуда ac 0,782 Нп 6, 92 дБ, bc 35 . 3.3. Виды соединений и регулярность соединений четырёхполюсников Сложную электрическую цепь, имеющую входные и выходные зажимы, можно представить в виде совокупности простых четырёхполюсников, соединённых определённым образом. В этом случае параметры сложного четырёхполюсника удобно выразить через параметры простых четырёхполюсников, используя матричную форму записи уравнений ЧП. В табл. 1 приведены виды соединений и матричные уравнения ЧП для определения соответствующих параметров результирующих ЧП. При нахождении результирующих матриц для ЧП должно выполняться условие регулярности, т. е. при любом соединении четырёхполюсников предполагается, что каждый из четырёхполюсников считается регулярным (на входных и выходных зажимах каждого четырёхполюсника в один и тот же зажим входит такой же ток, который выходит из второго зажима) (рис. 57). Рис. 57 Таблица 1 Соединение звеньев Схема соединения Матричные уравнения Цепное A A1 A 2 Последовательное Z Z 1 Z 2 Последовательно- H H 1 H 2 параллельное Параллельное Y Y 1 Y 2 Параллельно- G G 1 G 2 последовательное Следовательно, при анализе соединений ЧП должна производиться проверка регулярности. Отметим, что регулярность не нарушается: 1. При каскадном соединении любых ЧП. 2. При параллельном соединении уравновешенных (симметричных относительно продольной оси) или подобных ЧП. 3. При параллельном или последовательном соединении треугольных ЧП так, что их общие зажимы объединяются (на рис. 58 а – последовательное соединение, б – параллельное). Рис. 58 4. При последовательно-параллельном или параллельно-последовательном соединении треугольных ЧП, у одного из которых соединительные про-вода перекрещены (на рис. 59 а – последовательно-параллельное соединение, б – параллельно-последовательное). Примечание. При перекрещивании выходных (входных) зажимов четырёхполюсника у всех его А-параметров знаки меняются на обратные. Рис. 59 5. При любом соединении n четырёхполюсников, из которых по крайней мере n 1 является разрывным. Разрывным называется ЧП, входные и выходные зажимы которого не связаны между собой (рис. 60). Рис. 60 Регулярность соединения нарушается: 1. При последовательном соединении треугольного ЧП с четырёхполюсником, параметры которого меняются, если присоединить к его верхним полюсам сопротивление, не равное бесконечности (рис. 61, а). 2. При последовательном соединении обратимого ЧП с необратимым. 3. При параллельном соединении треугольного ЧП с четырёхполюсни-ком, параметры которого меняются, если присоединить к его верхним полюсам сопротивление, не равное бесконечности (рис. 61, б). Рис. 61 4. При параллельном соединении двух ЧП, составленных из «разрывных ЧП» и двухполюсников, сопротивления которых удовлетворяют условию Z1 Z1 (рис. 62). Z 2 Z 2 Рис. 62 5. При последовательно-параллельном или параллельно-последовательном соединении треугольного ЧП с четырёхполюсником, параметры которого меняются, если присоединить к полюсам 1 и 4 или 2 и 3 сопротивления, не равные бесконечности (на рис. 63 а – последовательно-параллельное соединение, б – параллельно-последовательное). Рис. 63 3.4. Проверка регулярности соединений четырёхполюсников и идеальный трансформатор Проверка регулярности соединений является важным элементом теории четырёхполюсников. Если четырёхполюсники имеют параметры, не равные бесконечности, то проверка может выполняться на основе схем, приведённых на рис. 64. Последовательное, параллельное, последовательно-параллельное и параллельно-последовательное соединения четырёхполюсников являются регулярными, если одновременно равны нулю напряжения в схемах на рис. 64, а–г соответственно, матрица общего четырёхполюсника находится в соответствии с табл. 1. Рис. 64 Регулярность соединений четырёхполюсников в ряде случаев можно обеспечить включением идеальных трансформаторов (рис. 65). Рис. 65 Идеальный трансформатор (рис. 65, а) обладает следующими свойствами: – при любых условиях соотношение первичного и вторичного напряже-ний на зажимах идеального трансформатора равно отношению вторичного тока к первичному и определяется отношением чисел витков его обмоток, т. е. коэффициентом трансформации n ; – не имеет потерь; – первичный ток не проходит по разомкнутой вторичной обмотке. Матрица А-параметров идеального трансформатора n 0 A 1 . 0 n Если коэффициент трансформации n 1, то матрица А принимает вид 1 0 . 0 1 A Включение идеального трансформатора на входе четырёхполюсника (рис. 66, а) преобразует матрицу последнего к виду nА11 nА12 n 0 n 0 А А 11 12 . 1 A 1 A 1 1 0 0 А22 А21 А22 А21 n n n n А включение идеального трансформатора после четырёхполюсника (рис. 66, б) преобразует его матрицу так: 1 n 0 nА11 А12 n 0 А А n A A 1 11 12 1 . А А 1 0 0 21 22 А22 n n nА21 n Рис. 66 Матрицы четырёхполюсников преобразуются следующим образом: а) при включении идеального трансформатора на входе четырёхполюсника n 2 Z11 nZ12 Z , nZ 21 Z 22 1 1 Y11 Y12 2 ; n Y n nY21 Y22 б) при включении идеального трансформатора на выходе четырёхполюсника Z11 Z 1 Z n 21 1 Z12 n , 1 Z 2 22 n Y11 Y nY21 nY12 . n 2Y22 Использование идеального трансформатора с коэффициентом трансформации n 1 не преобразует матрицу четырёхполюсника, но делает четырёхполюсник разрывным и тем самым обеспечивает регулярность соединения. Пример 27. Для четырёхполюсников (рис. 67) с параметрами R1 100 Ом; R2 50 Ом; xL 100 Ом; R3 50 Ом; xL3 100 Ом выполнить следующее: 1) определить A-параметры звеньев ЧП; 2) произвести анализ регулярности последовательного и последова-тельнопараллельного соединений; 3) определить эквивалентные параметры соединений ЧП; 4) опрелить А-параметры последовательного и последовательно-параллельного соединений; 5) определить элементы схемы замещения для последовательного и последовательно-параллельного соединений ЧП. Рис. 67 Решение. 1. А-параметры звена (рис. 67, а) определим, используя режим холостого хода и короткого замыкания, и обозначим через A : A11 A12 U1 U2 U1 I2 U I2 0 2 0 U1 U1 jxL R1 jxL R1 jxL 100 j100 1 j1; jxL j100 U1 U1 jxL R2 jxL R2 jxL R1 R2 jxL R1 R2 jxL R2 jxL jxL 100 50 j100 50 j100 150 j 50 Ом; j100 A21 A22 I1 I2 U I1 U2 2 0 I 2 0 I1 1 1 j 0,01 См; I1 jxL jxL j100 I1 R jxL 50 j100 2 1 j 0,5. jxL jx j 100 L I1 R2 jxL Произведём проверку определённых параметров по соотношению A11 A22 A12 A21 (1 j1)(1 j 0,5) 150 j50 ( j 0,01) 1. Соотношение выполняется, А-параметры определены верно. По аналогии определяются параметры ЧП (рис. 67, б). Обозначим их че-рез A : 1 j0,5; A12 50 Ом; A21 j 0,01См; A22 1. A11 Следовательно, матрицы А-параметров имеют вид 150 j 50 1 j1 ; j 0,01 1 j 0,5 A 1 j 0,5 50 . j 0, 01 1 A 2. Последовательное соединение. Так как четырёхполюсники (рис. 67) относятся к треугольным, то непосредственное их соединение приводит к нерегулярности по пункту 1 подраздела 3.3, то же самое получается при проверке регулярности по схеме на рис. 64, а, т.е. U a 0. Регулярность соединения четырёхполюсников обеспечивается включением их по пункту 3а подраздела 3.3 (см. рис. 58) или использованием идеального трансформатора по схеме на рис. 65, б с коэффициентом трансформации n 1. Последовательно-параллельное соединение. При проверке регулярности по схемам на рис. 64, в видим, что U a 0 и U b 0, т. е. соединение оказывается нерегулярным. Регулярность этого соединения можно обеспечить по пункту 4 подраз-дела 3.3 (см. рис. 59) или с помощью идеального трансформатора по схеме на рис. 65, б. 3. Последовательное соединение четырёхполюсников. При соединении четырёхполюсников по схеме (рис. 58, а) эквивалентные параметры соединения равны Z Z Z . Определим Z-параметры каждого четырёхполюсника: A11 1 j1 1 1 100 j100; Z12 j100; A21 j 0,01 A21 j 0,01 1 1 A 1 j 0,5 22 Z 21 j100; Z 22 50 j100. A21 j 0,01 A21 j 0,01 Z11 По аналогии для второго четырёхполюсника находим 50 j100; Z12 j100; Z21 j100; Z22 j100. Z11 Следовательно, эквивалентные Z-параметры последовательного соединения равны 100 j100 j100 50 j100 j100 + 50 j100 j100 j100 j100 Z Z Z 150 j 200 j 200 . j 200 50 j 200 Последовательно-параллельное соединение четырёхполюсников проводим по схеме рис. 68 с коэффициентом трансформации n 1. Рис. 68 Определяем H-параметры звеньев четырёхполюсника. Для первого звена (см. рис. 67, а) имеем: A12 150 j 50 1 1 140 j 20; H12 0,8 j 0,4; A22 1 j 0,5 A22 1 j 0,5 1 1 A j 0,01 21 H 21 0,8 j 0,4; H 22 0,004 j 0,008. A22 1 j 0, 5 A22 1 j 0,5 H11 Для второго четырёхполюсника (см. рис. 67, б) получим: 50; H12 1, H21 1; H22 j 0, 01. H11 Эквивалентная матрица имеет вид 0,8 j 0,4 1 140 j 20 50 + 0 , 8 j 0 , 4 0 , 0 04 j 0 , 008 1 j 0 , 01 H H H 1,8 j 0,4 190 j 20 . 1 , 8 j 0 , 4 0 , 0 04 j 0 , 018 4. Для определения А-параметров соединений воспользуемся следующи-ми соотношениями. Последовательное соединение: A11 A12 Z11 150 j 200 1 j 0,75; Z 21 j 200 Z11Z 22 Z12 Z 21 150 j 200 50 j 200 j 200( j 200) 200 j37,5; Z 21 j 200 A21 1 1 j 0,005; Z 21 j 200 A22 Z 22 50 j 200 1 j 0,25. Z 21 j 200 Последовательно-параллельное соединение: 190 j 20 0,004 j 0,018 (1,8 j 0,4) 2 H11H 22 H12 H 21 A11 2 j1,5; H 21 1,8 j 0,4 A12 H11 190 j 20 102,94 j11,76; H 21 1,8 j 0,4 A21 A22 H 22 0,004 j 0,018 j 0,01; H 21 1,8 j 0,4 1 1 0,53 j 0,118. H 21 1,8 j 0,4 5. Для последовательного соединения четырёхполюсников выберем Тобразную схему замещения (рис. 69, а). Рис. 69 Параметры Т-образной схемы замещения определяются соотношениями: Z1 A11 1 1 j 0,75 1 150 Ом; A21 j 0,005 Z3 Z2 1 1 j 200 Ом; A21 j 0,005 A22 1 1 j 0,25 1 50 Ом. A21 j 0,005 Для параллельно-последовательного соединения четырёхполюсников выберем П-образную схему замещения (рис. 69, б). Тогда Z1 A12 102,94 j11,76 Ом; Z2 A12 102,94 j11,76 199,5 j 74,9 Ом; A22 1 0,53 j 0,118 1 Z3 A12 102,94 j11,76 37,1 j 43,9 Ом. A11 1 2 j1,5 1 Примечание. Анализ расчёта схем замещения позволяет сделать вывод: Ти П-образные схемы замещения для четырёхполюсников не всегда физичес-ки реализуемы, т. е. активная часть комплексов сопротивлений может оказать-ся отрицательной (например, имеем Z2 199,5 j 74,9 Ом ). Пример 28. Согласовать источник ЭДС и нагрузку с помощью симметричного Т-образного четырёхполюсника для передачи максимальной мощности, если (рис. 70) E 100 B; Rвн 1 Ом; Rн 50 Ом. Рис. 70 По условию согласования Z1C Rвн , Z 2C Rн , тогда можем записать Z1C A11Z 2C A12 Rвн , A21Z 2C A22 Z 2C A22 Z1C A12 Rн . A21Z1C A11 Система уравнений для определения коэффициентов четырёхполюсника и перехода от коэффициентов к параметрам Z1, Z2 , Y0 примет вид 1 9 A11 A12 , 9 A21 A22 9 A22 A12 , A21 A11 A11 A22 A21 A12 1. При этом из условия симметричности четырёхполюсника A11 A22 . Решаем данную систему относительно коэффициентов A11, A21, A12 , A22 путём исключения переменных. Подставляем в систему вместо A22 коэффициент A11 : 9 A21 A11 9 A11 A12 , 9 A21 9 A11 A11 A12 , 2 A11 A21 A12 1. Приводим подобные в уравнениях: 9 A21 8 A11 A12 , 9 A21 8 A11 A12 , 2 A11 A21 A12 1. Вычтем из первого уравнения второе: 0 16 A11 0. Следовательно, A11 0, тогда из третьего уравнения следует 0 A21 A12 1 или A12 1 . A21 Подставляем A12 в первое уравнение: 9 A21 A11 9 A11 A12 ; 9 A21 1 ; A21 2 9 A21 1; 1 2 A21 ; 9 A21 1 1 j . 9 3 Следовательно: 1. Z1 Z 2 1 A21 j Y0 . 3 Тогда Z0 1 1 j3 – 1 Y0 j 3 это ёмкость, а 1 1 j 3 – это индуктивность. Схема четырёхполюсника 1 A21 j 3 примет вид, представленный на рис. 71. Рис. 71 1 1 3 2. A21 j Y0 . Тогда Z 0 j 3 – это индуктивность, 1 3 j j 3 Z1 Z 2 1 j 3. A21 Схема четырёхполюсника примет вид, представленный на рис. 72. Рис. 72 Без включения четырёхполюсника мощность в нагрузке (рис. 73) будет Рис. 73 E 100 B; I 100 10 A; 1 9 Pн I 2 Rн 102 9 900 Вт. а При включении согласующего четырёхполюсника (рис. 74) определяем мощность в нагрузке: Z Rвн j 3 j 3(9 j 3) j 27 9 1 j3 2; j3 9 j3 9 E 100 50 A; Z 2 jxC j3 50 50 I 2 I1 50 j e j 90 A. jxC Rн jxL 9 3 3 I1 Рис. 74 Тогда мощность, выделяемая в нагрузке P I2 2 2 50 Rн 9 2500 Вт. 3 Приложение Таблица связи параметров основных форм уравнений четырёхполюсника Матриц Y Z A B H F ы 𝑌12 𝑌22 𝑍22 |𝑍| −𝑍21 |𝑍| −𝑍12 |𝑍| 𝑍11 |𝑍| 𝐴22 𝐴12 −1 𝐴12 −|𝐴| 𝐵11 𝐴12 𝐵12 𝐴11 −|𝐵| 𝐴12 𝐵12 𝐴11 𝐴21 1 𝐴21 |𝐴| 𝐴21 𝐴22 𝐴21 𝐵22 𝐵21 |𝐵| 𝐵21 1 𝐵21 𝐵11 𝐵21 |𝐻| 𝐻22 −𝐻21 𝐻22 𝐻12 𝐻22 1 𝐻22 𝐵22 |𝐵| 𝐵21 |𝐵| 𝐵12 |𝐵| 𝐵11 |𝐵| −|𝐻| 𝐻21 −𝐻22 𝐻21 −𝐻11 𝐻21 −1 𝐻21 𝐵12 𝐵22 1 𝐻12 𝐻22 𝐻12 Y 𝑌11 𝑌21 Z 𝑌22 |𝑌| −𝑌21 |𝑌| −𝑌12 |𝑌| 𝑌11 |𝑌| 𝑍11 𝑍21 𝑍12 𝑍22 A −𝑌22 𝑌12 −|𝑌| 𝑌12 −1 𝑌12 −𝑌11 𝑌12 𝑍11 𝑍21 1 𝑍21 |𝑍| 𝑍21 𝑍22 𝑍21 𝐴11 𝐴21 𝐴12 𝐴22 B −𝑌11 𝑌12 −|𝑌| 𝑌12 −1 𝑌12 −𝑌22 𝑌12 𝑍22 𝑍12 1 𝑍12 |𝑍| 𝑍12 𝑍11 𝑍12 𝐴22 |𝐴| 𝐴21 |𝐴| 𝐴12 |𝐴| 𝐴11 |𝐴| 𝐵11 𝐵21 H 1 𝑌11 𝑌21 𝑌11 𝑍12 𝑍22 1 𝑍22 𝐴12 𝐴22 −1 𝐴22 |𝐴| 𝐴22 𝐴21 𝐴22 𝐵12 𝐵11 −|𝐵| 𝐵11 F |𝑌| 𝑌22 −𝑌21 𝑌22 −𝑍12 𝑍11 |𝑍| 𝑍11 𝐴21 𝐴11 1 𝐴11 −|𝐴| 𝐴11 𝐴12 𝐴11 𝐵12 𝐵22 |𝐵| 𝐵22 −𝑌12 𝑌11 |𝑌| 𝑌11 𝑌12 𝑌22 1 𝑌22 |𝑍| 𝑍22 −𝑍21 𝑍22 1 𝑍11 𝑍21 𝑍11 −1 𝐵12 𝐵22 𝐵12 1 𝐵11 𝐵21 𝐵11 −1 𝐵22 𝐵12 𝐵22 1 𝐻11 𝐻21 𝐻11 −𝐻12 𝐻11 |𝐻| 𝐻11 |𝐹| 𝐹22 𝐹21 𝐹22 1 𝐹11 𝐹21 𝐹11 1 𝐹21 𝐹11 𝐹21 𝐹12 𝐹22 1 𝐹22 −𝐹12 𝐹11 |𝐹| 𝐹11 𝐹22 𝐹21 |𝐹| 𝐹21 𝐻11 𝐵12 |𝐻| 𝐻12 −|𝐹| −𝐹22 𝐹12 𝐹12 𝐹11 1 𝐹12 𝐹12 𝐻11 𝐻21 𝐻12 𝐻22 𝐹22 |𝐹| −𝐹21 |𝐹| 𝐻22 |𝐻| 𝐻21 |𝐻| 𝐻12 |𝐻| 𝐻11 |𝐻| 𝐹11 𝐹21 −𝐹12 |𝐹| 𝐹11 |𝐹| 𝐹12 𝐹22 Примечание: | Z | Z11Z22 Z12Z21; | Y | Y11Y22 Y12Y21; | A | A11A22 A12 A21; | B | B11B22 B12 B21; | H | H11H22 H12H 21; | F | F11F22 F12F21.