Начисление простых процентов Автор: Лаврушина Е.Г.

Начисление
простых процентов
Автор: Лаврушина Е.Г.
Методы финансовой математики
условно делятся на две категории:
 Базовые
 Прикладные
К базовым методам и моделям относятся:

простые и сложные проценты;

расчеты последовательностей (потоков) платежей
применительно к различным видам финансовых
рент.
К прикладным методам
финансовых расчетов относятся:







планирование и оценка эффективности финансовокредитных операций;
расчет страховых аннуитетов;
планирование погашения долгосрочной задолженности;
планирование погашения ипотечных ссуд и
потребительских кредитов;
финансовые расчеты по ценным бумагам;
лизинговые, факторинговые и форфейтинговые
банковские операции;
планирование и анализ инвестиционных проектов и
другие операции.
Особенность всех финансовых расчетов временная ценность
денег
Принцип неравноценности денег, относящихся
к разным моментам времени:
 Полученная сегодня сумма обладает большей ценностью,
чем ее эквивалент, полученный в будущем.
 Будущие поступления менее ценны, чем современные, так
как имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы
и принести доход в будущем.
 Сберегаемые деньги подвержены всевозможным рискам.
Основные понятия
финансовых методов расчета:
 процент - это доход от предоставления денег в долг в






различных формах, либо от инвестиций производственного
или финансового характера;
процентная ставка - относительная величина дохода за
фиксированный интервал времени, измеряемая в процентах
или в виде дроби;
период начисления - интервал времени, к которому
приурочена процентная ставка;
интервал начисления - это минимальный период, по
прошествии которого происходит начисление процентов;
капитализация процента - присоединение начисленных
процентов к основной сумме;
наращение - увеличение первоначальной суммы в связи с
капитализацией;
дисконтирование - приведение стоимостной величины,
относящейся к будущему, на некоторый, обычно более
ранний момент времени.
В финансовых расчетах используются
следующие виды процентных
ставок
 в зависимости от базы для начисления
процента:


различают простые проценты (постоянная база);
сложные проценты (переменная база);
 по принципу расчета:


ставка приращения - декурсивная ставка;
учетная ставка - антисипативная ставка;
 по постоянству значения процентной
ставки в течение действия контракта:


фиксированные
плавающие
Существуют два способа определения
и начисления процентов:
 Антисипативный
 Декурсивный
Антисипативный способ
начисления процентов
Процент начисляется в начале каждого интервала
начисления.
Сумма процентных денег определяется, исходя из
наращенной суммы.
Процентная ставка - выраженное в процентах
отношение суммы дохода, выплачиваемого за
определенный интервал, к величине наращенной
суммы, полученной по прошествии интервала.
Этот процент называется учетной ставкой или
антисипативным процентом.
Декурсивный способ
начисления процентов
Проценты начисляются в конце каждого интервала
начисления.
Их величина определяется, исходя из величины
предоставления капитала.
Декурсивная процентная ставка (ссудный
процент) представляет собой выраженное в
процентах отношение суммы начисленного за
определенный интервал дохода к сумме,
имеющейся на начала данного интервала.
Для рассмотрения формул, необходимо
ввести ряд условных обозначений:
I – проценты за весь срок ссуды (interest);
PV – первоначальная сумма долга или современная
(текущая) стоимость (present value);
i – ставка процентов за период (interest rate);
FV – наращенная сумма или будущая стоимость (future
value), т.е. первоначальная сумма долга с
начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;
n – срок ссуды в годах.
Логика финансовой операции наращения
проценты (процентные деньги) представляют
собой, по сути, абсолютные приросты:
I = FV - PV,
а поскольку база для их начисления является постоянной, то за
ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или
произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды:
I = (FV - PV) n = [(FV - PV) / PV • PV] n = i • PV • n,
где i = (FV - PV) / PV по определению процентной ставки
Формула простых процентов
FV = PV + I = PV + i • PV • n =
=PV (1 + i • n) = PV • kн,
где kн – коэффициент (множитель) наращения
простых процентов.
В тех случаях, когда срок ссуды менее года,
происходит модификация формулы:
Если срок ссуды выражен в месяцах ( М ),
то величина n выражается в виде дроби:
n = М / 12,
тогда все формулы можно представить в виде:
FV = PV (1 + М / 12 • i);
I = PV • М / 12 • i;
kн = 1 + М / 12 • i.
Если время выражено в днях (t), то величина
n выражается в виде следующей дроби:
n = t / T,
где t – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока,
на который выдана ссуда;
T – расчетное число дней в году (временная база).
Отсюда модифицированные формулы имеют
следующий вид:
FV = PV (1 + t / T • i );
I = PV • t / T • i;
kн = 1 + t / T • i.
Три способа расчета простых процентов :



Обыкновенные проценты с приближенным числом
дней ссуды («германская практика расчета») продолжительность года условно принимается за 360 дней,
а целого месяца – за 30 дней. Этот способ обычно
используется в Германии, Дании, Швеции.
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды,
(«французская практика расчета») - продолжительность
года условно принимается за 360 дней, а
продолжительность ссуды рассчитывается точно по
календарю. Этот способ имеет распространение во
Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии.
Точные проценты с точным числом дней ссуды
(«английская практика расчета») - продолжительность года
и продолжительность ссуды берутся точно по календарю.
Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.
Процентное число вычисляется по формуле:
Процентное число =
= (Сумма на счете • Длительность
периода в днях) / 100 =
= (PV • t) / 100
дивизор, определяемый
отношением количества дней в году к годовой
процентной ставке:
I = ΣПроцентных чисел : Постоянный
делитель,
где
Постоянный делитель =
Продолжительность года в днях /
Годовая ставка процентов = T / i
Методика с использованием процентных чисел
по своей сути является последовательным
применением формулы простых процентов для
каждого интервала постоянства суммы на счете:
I = I1 + I2 + …= P1 • t1 / T • i + P2 • t2 / T • i +…
Дискретно изменяющиеся во времени
процентные ставки
В таких случаях наращенную сумму
определяют, используя следующую формулу:
FV = PV • (1 + n1 • i1 + n2 • i2 + … + nk • ik),
где k – количество периодов начисления;
nk – продолжительность k-го периода;
ik – ставка процентов в k-ом периоде.
Определение срока ссуды
Если срок определяется в годах, то
n = (FV - PV) : (PV • i),
Если срок сделки необходимо определить в
днях, то появляется временная база в
качестве сомножителя:
t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T.
Определение величины процентной ставки
Необходимость определения уровня процентной
ставки возникает в тех случаях, когда она в явном
виде в условиях финансовой операции не участвует,
но степень доходности операции по заданным
параметрам можно определить, воспользовавшись
следующими формулами:
i = (FV - PV) : (PV • n) = [(FV - PV) : (PV • t)] • T.