Работа учителя математики Ташкирменской средней школы Лаишевского района РТ Шишковой Х.Д. 1

Работа учителя математики Ташкирменской средней
школы Лаишевского района РТ Шишковой Х.Д.
1





замена уравнения
h f x  hg x
уравнением f x  g x ;
метод разложения на множители;
метод введения новой переменной
(+тригонометрическая подстановка);
метод интервалов при решении
неравенств;
функционально-графический метод.
2






«искусственный» метод;
умножение уравнения или неравенства на
функцию;
решение уравнений по внешнему виду;
применение производной при решении
уравнений;
использование числовых неравенств;
метод рационализации (метод декомпозиции,
метод замены множителей, метод замены
функции, правило знаков).
3
Решать пример нестандартно, придумать «свой метод», догадаться
что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и
умножить и т. д.  в этом суть данного метода.
Решить уравнение
3õ2  5õ  8  3õ2  5õ  1  1.
3õ  5 õ  8  3õ  5 õ  1  t
Решение: Обозначим
Тогда перемножая данное уравнение и полученное равенство,
получим
т.е. t  7
3x 2  5 x  8  3x 2  5 x  1  t
2
А теперь сложим равенства
Получим
2
3õ2  5õ  8  3õ2  5õ  1  1
и
3õ2  5õ  8  3õ2  5õ  1  7
2 3õ 2  5 õ  8  8
3õ2  5õ  8  4
Отсюда
8
3
Проверка: подставляем найденные значения неизвестного х в исходное уравнение
Ответ:
x1  1
x2  
x 1
4
Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить
обе его части на некоторую функцию  многочлен от неизвестной. При этом надо
помнить, что возможно появление лишних корней - корней многочлена, на который
умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и
получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и
тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и
установить, является ли это число его корнем.
2
x

1

x

1
1

x

x
 x7
Решить уравнение


Решение: Умножив обе части уравнения на функцию
получим уравнение

 
x 1 x 1  x 1 x  x2  x  7
 , x

1 x 1
,

1 x 1 1 x  x2  x  7  0
являющееся следствием исходного уравнения.
Полученное уравнение можно решить методом разложение на множители
Корни уравнения
x3  3
x2  2
x1  0
x x2  x  6  0


Проверка показывает, что
x1  0
Ответ:
x3  3
x2
x2
является корнем исходного уравнения, а
не являются его корнями.
5
Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число
является корнем уравнения.
Решить уравнение
õ
2
5 

 õ 1
3

5 1
3
õ2 õ  1
2


5 5 1

2
(1)
6
Решение: Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из
2
корней уравнения (1) есть
õ1  5
1
3

2
õ  õ 1   õ    ,
Перепишем уравнение (1) в несколько ином
2
4

2
виде. Поскольку справедливы тождественные
1
1

õ( õ  1)   õ    ,
равенства
2
4

3
то уравнение (1) можно переписать
2

1
3
õ


так:  2  4 

2
5  5 1

Теперь очевидно, что если
x0
( õ1  0,


(2)
 корень уравнения (2), то x1  1  x0
2
2
1
1


 õ0     õ1   .
2
2


также корень уравнения , поскольку
Итак, если x1

2
2

1
1
õ





2
4 

.
2
5 5 1
õ1  1 ) – корень уравнения (1), то оно имеет еще корни,
1
1
1
;1  х1 ;1 
;
,
х1
х1 1  1
х1
1
,
õ1  5 , õ2 
õ3  1  5 ,
5
т.е. уравнение (1) имеет корни
1
1
,
õ4 
, õ5  1 
5
1 5
õ6 
1
1
1
5
.
Поскольку уравнение (1)
есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести коней.
Таким образом, мы нашли все корни исходного уравнения.
Ответ: õ  5 , õ  1 , õ3  1  5, õ  1 , õ  1  1 , õ  1 1 .
1
2
5
4
1 5
5
6
5
1
5
7
С помощью производной можно решать вопросы существования корней
уравнения, а в некоторых случаях и их отыскания. По-прежнему основную
роль здесь будут играть исследования функции на монотонность, нахождение
ее экстремальных значений. Кроме того, будет использован ряд свойств
монотонных и непрерывных функций.
Свойство 1. Если функция f возрастает или убывает на некотором
промежутке, то на этом промежутке уравнение f x   0 имеет не более
одного корня.
Свойство 2. Если функция определена и непрерывна на промежутке a, b
и на его концах принимает значения разных знаков, то между и b найдется
точка c , в которой . f c  0
a
8
Решить уравнение
x5  x3  1  3x  4  0.
Решение: Рассмотрим функцию
(1)
f ( x)  x 5  x 3  1  3 x  4.
Область существования этой функции есть промежуток
Функция
f x 
имеет внутри промежутка
положительную производную
Следовательно, функция
f ' ( x)  5 x 4  3x 2 

1
X    ; .
3

X
3
.
2 1  3x
f x 
X,
возрастает на промежутке
и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение
она принимает ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет
не более одного корня.
x  1
Легко видеть, что число
удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный
корень x  1
Ответ: -1.
9
Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей
уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой
уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и
ab
 ab , (причем равенство здесь возможно лишь при
средним геометрическим:
2
a  0, b  0 ), и его следствие: a  1  2, где a  0 (причем a  1  2 тогда и, только тогда,
a
a
когда, a  1 ).
x2  x
x
x
Решить уравнение 2  2  cos
. (1)
6
Решение: Обе части уравнения определены для всех x . Для любого x ,
применяя неравенство, получаем, что справедливо неравенство 2 x  2 x  2. (2)
x2  x
2 cos
 2.
6
Для любого x справедливо неравенство
(3)
Из справедливости неравенств (2) и (3) следует, что уравнение (1)
превращается в верное равенство лишь для тех , для которых обе части
2  2
 2

уравнения (1) равны 2, т. е. для x ,

x  x
 1.
cos
удовлетворяющих системе уравнений
(4)
6

Легко видеть, что любое решение системы (4) будет решением уравнения (1).
Следовательно, уравнение (1) равносильно системе уравнений (4). Решим ее.
Первое уравнение системы (4) имеет единственное решение x  0 , которое
удовлетворяет и второму уравнению этой же системы. Поэтому система (4), а
значит, и равносильное ей уравнение (1) имеют единственное решение x  0.
Ответ: 0.
10
x
x
2
Метод рационализации
(метод декомпозиции, метод замены
множителей, метод замены
функции, правило знаков)
ÎÄÇ
F x   0  Gx   0
11
№
Выражение F(х)
1
log a f x   log a g x 
a 1 f x  g x
1а
log a f x   1
a 1 f x  a
1б
log a f x 
a 1 f x 1
2
log h  x  f  x   log h  x  g x 
hx 1 f x  g x
2а
log h  x  f  x   1
hx 1 f x  hx
2б
log h  x  f  x 
hx 1 f x 1
log
f
x
h x   log g  x  h x 
Выражение G(х)
 f x 1gx 1 hx 1gx  f x
3
g x   1,
4
hx  f  x   hx g  x  hx   0
hx 1 f x  g x
4а
h x  f  x   1
hx 1 f x
5
 f x h  x   g x h  x 
 f x   0; g x   0
 f x  g xhx
6
f  x   1
f x   g x 
 f x  g x f x  g x
12
log h  x  f  x   log h  x  g  x   0
где
hx  0; hx  1; f x  0; gx  0
Представим данное неравенство в виде:
log h  x  f x   log h  x  g x 
 h  x   1
 h  x   1  0
 h x   1 f  x   g  x   0


 f  x   g  x  èëè  f  x   g  x   0
 h  x   1
 h  x   1  0


 h x   1 f  x   g  x   0
 f  x   g  x 
 f  x   g  x   0
Следовательно, исходное неравенство в своей ОДЗ
равносильно неравенству
h x 1 f x  g x  0
     
 
13




log x  2 7 x 2  x 3  log x  2 x 2  3x  log x  2 5  x  .
x  2  0
x  2  1


ОДЗ : 7 x 2  x 3  0
 x 2  3x  0


5  x  0

7 x
7 x
 x   2;1  1;0  3;5
 

  log x
  log 8 x


 3 x 5  x   0 ,
 x  15 x   0 .
log x  2 7 x 2  x 3  log x  2 x 2  3 x  log x  2 5  x   0 ,
log x  2
2
 x3
x2
2
2
2
3
log x  2
 x3
x2
Далее применим метод рационализации:
x  2  17 x 2  x 3  8x 2  x 3  15x   0 ,
x  115x  x 2   0 ,
 x   ;1 0;15
xx  1x  15  0
С учетом ОДЗ :
x   2;1  3;5
Ответ: x   2;1  3;514
log h  x  f x   log p  x  qx   0  hx   1 f x   1 px   1qx   1  0
log h  x  f    log h  x  g x   0   f x g x   1hx   1  0
f x  
g x   0  f x   g x   0
h x 
 h x 
h x  p  x   h x q  x 
f
x
g x
f x   g x 
0 
0
px   qx 
15
16