Формула Тейлора для функции двух переменных

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
2 семестр
Лекция 12
Производные и дифференциалы неявных функций,
производные и дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
Экстремум функций нескольких переменных.
21 мая 2014 года
Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Производные неявных функций
 f1 ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk )  0,
 f ( x , x , . . . , x , y , y , . . . , y )  0,
n
1
2
k
 2 1 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 f i ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk )  0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 f k ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk )  0.
k
f i
f y j
 i
0
xm j 1 y j xm
 y1  y1 ( x1 , x2 , . . . , xn ),
 y  y ( x , x , . . . , x ),
2
1
2
n
 2
. . . . . . . . . . . . . . ,

 yi  yi ( x1 , x2 , . . . , xn ),
. . . . . . . . . . . . . . ,

 yk  yk ( x1 , x2 , . . . , xn ).
f  f i  f  f i  y  y j 
,
,

 
 
 
x  xm  y  ym  x  xm 
f f y
f y
f

 0,

x y x
y x
x
1
 f  f
y
   
x
 y  x
Примеры
Метод дифференциалов
x2 y2 z 2
2 xdx 2 ydy 2 zdz
c 2 xdx c 2 ydy
 2  2  1,
 2  2  0, dz   2  2 ,
2
2
a
b
c
a
b
c
a z
b z
c2 x
c2 y
zx   2 , z y   2
a z
b z
z 3  xz  y  0, 3z 2 dz  (dx) z  xdz  dy  0, (3z 2  x)dz  zdx  dy,
zdx  dy
z
dy
dz 

dx

,
2
2
2
3z  x 3z  x
3z  x
z
1
zx  2
, zy 
3z  x
x  3z 2
Примеры
x  y  z  0
 2
2
2
x

y

z
1

 f1 f1 
 dx 


 

x

y

 dz    
 f f 
 dy 
2
 2

 

x

y
 dz 


 y

yx
J 1  
x

 yx

f1 ( x, y, z )  x  y  z,
f 2 ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2  1
1
 f1 


 z 
 f 2 


 z 
1


2( y  x ) 

1

2(y  x) 
 f1 f1 


x y   1 1 

J  
 

f 2 f 2
2x 2 y 




x

y


 y
 dx 

 
 dz    y  x

 dy 
x

 
 dz 
 yx

 f1 ( x, y, z )  0

 f 2 ( x, y , z )  0
 f1 



z

   1 
 f 2   2 z 


 z 
1

 zy
1  

2( y  x)    y  x 
 

1
xz 


 2z 

2(y  x)    y  x 
Примеры
u  v  x  y

 sin u x
 sin v  y

 f1 ( x, y, u, v)  0

 f 2 ( x, y, u, v)  0
f1 ( x, y, u, v)  u  v  x  y
f 2 ( x, y, u, v)  x sin v  y sin u
 u

 x
 v

 x
 f1 f1 


1
1 

u

v
  

J 

 f 2 f 2    y cos u x cos v 


 u v 
1
u 
f1 f1   f1 f1 



  x y 
y 

 u v  


 f 2 f 2   f 2 f 2 
v 



 
y 
 u v   x y 
 f1 f1 


1 

x

y

    1

 f f   sin v  sin u 

2
 2
 
 x y 
Примеры
x cos v


1
1
1
x cos v  y cos u


  
J 1  

y cos u
  y cos u x cos v 

 x cos v  y cos u
 u

 x
 v

 x
u 
x cos v



y 
x cos v  y cos u

 
v 
y cos u


y 
 x cos v  y cos u
 x cos v  sin v

x cos v  y cos u


 y cos u  sin v

 x cos v  y cos u


1


x cos v  y cos u 

1

x cos v  y cos u 
1


1 
x cos v  y cos u   1


 sin v  sin u  
1


x cos v  y cos u 
x cos v  sin u 

x cos v  y cos u 
y cos u  sin u 

x cos v  y cos u 
Производные высших порядков
Вторые производные (или производные второго порядка)
2 f
  f

xi x j xi  x j




Частные производные произвольного порядка
k f


xi1 xi2 ... xik xi1
  k 1 f

 xi ... xi
k
 2




Производные высших порядков
Пример.

y  0


y  0


x  0


x  0


 x2  y2
2
2
,
x

y
 0,
 xy 2
f ( x, y )   x  y 2

0
, x  y  0.

f (0, y )
x2  y2
  x2  y2 
y 2
 xy  2
 y
2 x 0
2  x 0
x
x y
x  x  y 

f (0,0)
f ( x,0)  f (0,0)
 lim
 lim 0  0   y y 0
x 0
x 0
x
x

f ( x,0)
x2  y2
  x2  y2 
x 2
 xy  2
x
2 y 0
2  y 0
y
x y
y  x  y 

f (0,0)
f (0, y )  f (0,0)
 lim
 lim 0  0  x x 0
x 0
y 0
y
y


f (0, y )
 y
x
f ( x,0)
x
y
2 f
2 f
2 f
2 f
(0,0)  1,
(0,0)  1 

yx
xy
yx xy
Производные высших порядков
Теорема. Пусть в некоторой окрестности точка x=a существуют
частные производные
2 f
2 f
,
xi x j x j xi
и они непрерывны в точке x=a. Тогда
2 f
2 f
(a) 
(a)
xi x j
x j xi
Производные высших порядков
Доказательство. В последующих выкладках будут
меняться только переменные xi и xj. Для сокращения
записи обозначим их x и y, а вместо f(x1,x2,…,xn) будем
писать f(x,y). Таким образом, надо проверить равенство
2 f
2 f
( x0 , y0 ) 
( x0 , y0 )
xy
yx
если в точке (x0,y0) обе части равенства непрерывны.
Производные высших порядков
F ( x, y)  f ( x, y)  f ( x, y0 )  f ( x0 , y)  f ( x0 , y0 ),
 ( x)  f ( x, y)  f ( x, y0 ),  ( y)  f ( x, y)  f ( x0 , y)
 ( x)   ( x0 )   ( y)  ( y0 )  F ( x, y)
f
2 f
 f

F ( x, y )   (ξ1 , y )  (ξ1, y0 )  ( x  x0 ) 
(ξ1, η1 )( x  x0 )( y  y0 )
x
yx
 x

 f

f
2 f
F ( x, y )   ( x, η2 )  ( x0 , η2 )  ( y  y0 ) 
(ξ 2 , η2 )( x  x0 )( y  y0 )
y
xy
 y

2 f
2 f
(ξ1 , η1 ) 
(ξ 2 , η2 ), ( x  x0 , y  y0 )
yx
xy
x  x0 , y  y0
2 f
2 f

( x0 , y0 ) 
( x0 , y0 )
yx
xy
Производные высших порядков
Ck(Ω) – множество всех функций, у которых определены и
непрерывны все частные производные по всем переменным до
порядка k включительно в каждой точке открытого множества Ω.
f ( x)  C k () 
 k f ( x)

не зависит от порядка дифференцирования
xi1 xi2 ...xik
Дифференциалы высших порядков
d 2 f ( x)  d (df ( x) dxconst )
d k f ( x)  d (d k 1 f ( x) dxconst )
Пусть f∊C2(Ω), тогда
n
 f ( x ) 

f
(
x
)
2
d f ( x)  d 
dxi   d 
 dxi 
i 1 xi
i 1
 xi 
n
n
 n   f ( x ) 

 2 f ( x)
  
dxi dx j

 dx j  dxi  

i 1  j 1 x j  xi 
i , j 1 xi x j

n
2

f ( x)
2
d f ( x)  
dxi dx j
i , j 1 xi x j
n
Дифференциалы высших порядков
Пусть f∊Ck(Ω), тогда

  k 1


d f 
 . . .  dxn
 dx2
d k f   dx1
xn 
x2
x1


  k 2


 


d f 
 dx1
 dx1
 . . .  dxn
 dx2
 . . .  dxn
 dx2
xn 
x2
x1
xn 
x2
x1



 


 


 f 



 . . .  dxn
 dx2
. . .  dx1
 . . .  dxn
 dx2
  dx1

xn 
x2
x1
xn 
x2
x1


k f
dxi1 dxi2 ...dxik


i1 ,i2 ,..., ik 1 xi1 xi2 ...xik
n
Дифференциалы высших порядков
Второй дифференциал функции двух переменных
2 f 2
2 f
2 f 2
d f ( x, y)  2 dx  2
dxdy  2 dy
x
xy
y
2
Второй дифференциал функции трех переменных
2 f 2 2 f 2 2 f 2
d f ( x, y , z )  2 dx  2 dy  2 dz 
x
y
z
2
2 f
2 f
2 f
2
dxdy  2
dxdz  2
dydz
xy
xz
yz
Второй дифференциал сложной функции
m
f
g
y  f ( x), x  g ( z ), df ( x)  
dxi , dxi  
dzk .
i 1 xi
k 1 z k
n
n

 f ( x )  n   f ( x ) 
f ( x )
f ( x )
d f ( x)  d 
dxi   d 
dxi    d 
dx

d
(
dx
)
 i
i  
xi
i 1 xi
i 1
 xi
 i 1   xi 

n
2
n
n  n

 f ( x ) 
f ( x )
  f ( x ) 
 d 
d (dxi )    
 dxi  

 dx j  dx j 

i 1
i 1 xi
i 1  j 1 x j  xi 
 xi 

n
n
n
f ( x ) 2
2 f ( x)
f ( x ) 2

d xi  
dxi dx j  
d xi
i 1 xi
i , j 1 xi x j
i 1 xi
n
2
n

f ( x)
f ( x) 2
2
d f ( x)  
dxi dx j  
d xi
i , j 1 xi x j
i 1 xi
n
Второй дифференциал сложной функции
2

f ( x)
2
d f ( x)  
dxi dx j
i , j 1 xi x j
n
x  независима я переменная
2
n

f
(
x
)
f ( x) 2
d 2 f ( x)  
dxi dx j  
d xi
i , j 1 xi x j
i 1 xi
n
x  функция
2
m
g

g
2
dxi  
dzk , d xi  
dzk dz s .
k 1 z k
k , s 1 z k z s
m
Второй дифференциал сложной функции
Второй дифференциал сложной функции двух переменных
2 f 2
2 f
 2 f 2 f 2
f
d f ( x, y)  2 dx  2
dxdy  2 dy  d x  d 2 y
x
xy
y
x
y
2
Второй дифференциал сложной функции трех переменных
2 f 2 2 f 2 2 f 2
d f ( x, y , z )  2 dx  2 dy  2 dz 
x
y
z
2
2 f
2 f
2 f
2
dxdy  2
dxdz  2
dydz 
xy
xz
yz
f 2
f 2
f 2
 d x d y d z
x
y
z
Примеры
x
u  xy 
y
u
1 u
x
 y ,
 x 2
x
y y
y
 2u
 2u
1  2u 2 x
 0,
 1 2 ,

x 2
xy
y
y 2 y 3

1 
2x 2
 2u 2
 2u
 2u 2
2
d u  2 dx  2
dxdy  2 dy  d u  2  1  2  dxdy  3 dy
y 
y
x
xy
y

2

(dx ) y  xdy 
d 2u  d  (dx ) y  xdy 
  dxdy  dxdy 
2
y


d ((dx ) y  xdy ) y 2  ((dx ) y  xdy )d ( y 2 )
(dxdy  dxdy ) y 2  ((dx ) y  xdy )2 ydy

 2dxdy 

y4
y4
du  (dx ) y  xdy 
 2dxdy 
(dx ) y  xdy
,
y2

2( ydx  xdy )dy
1 
2x 2

2
1

dxdy

dy

2 
3
y3
y
y


 2u
 2u
1  2u 2 x
 0,
 1 2 ,

x 2
xy
y
y 2 y 3
Примеры
x2 y2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
c2 x
c2 y
zx   2 , z y   2
a z
b z
 c2 x  
  c2 x 
c 2 z  xzx
c2 
c 2 (a 2 z 2  c 2 x 2 )
z xx  ( z x ) x    2    2 
  2 2  z  x  2    
2
4 3
x  a z 
a
z
a z 
a
z
a
z


  c2 x  c2 x z y
c2 x  c2 y 
c 4 xy
z xy  ( z x ) y    2   2  2  2 2   2    2 2 3
y  a z  a z
a z  b z
ab z
 c2 y  
  c2 y 
c 2 z  yz y
c2 
c 2 (b 2 z 2  c 2 y 2 )
z yy  ( z y ) y    2    2 
  2 2  z  y  2    
2
y  b z 
b
z
b z 
b4 z3
 b z 
2
2 2
2 2
4
2
2 2
2 2
c
(
a
z

c
x
)
2
c
xy
c
(
b
z

c
y ) 2
2
d 2z  
dx

dxdy

dy
4 3
2 2 3
4 3
a z
ab z
b z
Формула Тейлора
Теорема. Пусть функция
f  C k 1 (U (a, R)).
Тогда
d k f (a)
f ( x)  f (a)  df (a)  ... 
 Rk ( x),
k!
где
1
Rk ( x) 
d k 1 f (a  θ( x  a)),
(k  1)!
0  θ  1,
(форма Лагранжа )
Формула Тейлора
Рассмотрим вспомогательную функцию
 (t )  f (a  t ( x  a)).
Лемма.
 (t )  C k 1[0;1],  ( m) (t )  d m f (a  t ( x  a)) (0  m  k  1).
n
n
f dxi
f
f
1)  ' (t )  

( xi  ai )
dxi  df ( x  t ( x  a))
i 1 xi dt
i 1 xi
i 1 xi
n
2) Пусть  ( s ) (t )  d s f ( x  t ( x  a)), тогда

( s 1)
n
n
d s
 s dxi
 s
(t )  (d f )  
(d f )

(d f )dxi 
dt
dt i 1 xi
i 1 xi
 d (d s f )  d s 1 f ( x  t ( x  a))
Формула Тейлора
 (t )  f (a  t ( x  a))
 ( m) (t )  d m f (a  t ( x  a))
 (1)   (0)   ' (0)  . . . 
 ( k ) (0)  ( k 1) (θ)
k!

(k  1)!
(0  θ  1)
d k f (a)
1
f ( x)  f (a)  df (a)  ... 

d k 1 f (a  θ( x  a))
k!
(k  1)!
Формула Тейлора
Теорема. Пусть функция
f  C k (U (a, R)).
Тогда
d k f (a)
f ( x)  f (a)  df (a)  ... 
 o(| x  a |k )
k!
(форма Пеано)
Формула Тейлора
d k 1 f (a) 1 k
f ( x)  f (a)  df (a)  ... 
 d f (a  θ( x  a))
(k  1)! k!
1 k
1
1
d f (a  θ( x  a ))  d k f (a)  d k f (a  θ( x  a))  d k f (a) 
k!
k!
k!
d k 1 f (a) d k f (a)
f ( x)  f (a)  df (a)  ... 

 Rk ( x),
(k  1)!
k!
Rk ( x) 

1 k
d f (a  θ( x  a))  d k f (a)
k!

Нужно только доказать, что
d k f (a  θ( x  a))  d k f (a)  o(| x  a |k )
Формула Тейлора
k

f
dk f  
dxi1 dxi2 ...dxik
i1 ,i2 ,..., ik 1 xi1 xi2 ...xik
n
k
k


f
(
a

θ
(
x

a
))

f (a )
d k f (a  θ( x  a))  d k f (a)   

 xi xi ...xi
xi1 xi2 ...xik
i1 ,i2 ,..., ik 1 
1
2
k
n

dxi dxi ...dxi
k
 1 2

Достаточно доказать, что каждое слагаемое
k
  k f (a  θ( x  a))

f (a)


 xi xi ...xi
xi1 xi2 ...xik
1
2
k


dxi dxi ...dxi  o(| x  a |k )
k
 1 2

Формула Тейлора
k
  k f (a  θ( x  a))

f (a)

 ( x) 

 xi xi ...xi
xi1 xi2 ...xik
1
2
k





f  C k (U (a, R))   ( x)  0 ( x  a)
dxi1 dxi2 ...dxik 
dxi1 dxi2
...
dxik
| dx | | dx | | dx |
| dx | 
k
dx  dx  dx  . . .  dx 
2
i1
2
i2
2
ik
dxi1 dxi2
...
dxik
| dx | | dx | | dx |
dxi1
| dx |
 1, . . . ,
| x  a |k
dxik
| dx |
1
k
  k f (a  θ( x  a))

f (a) 


dxi1 dxi2 ...dxik 
 xi xi ...xi

xi1 xi2 ...xik 
1
2
k

dxi1 dxi2 dxik 


 | x  a |k  o| x  a |k 
   ( x)
...
| dx | | dx | | dx | 

Формула Тейлора
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
f  C1 (U (a, R)),
тогда при любом
существует такое
x  U ( a, R )
θ  (0;1),
что
f
f ( x)  f ( a)  
(a  θ( x  a))( xi  a)
i 1 xi
n
Формула Тейлора
Запишем формулу Тейлора с k=0
f ( x)  f (a)  df (a  θ( x  a)).
Так как
f
df (a  θ( x  a))  
(a  θ( x  a))( xi  a),
i 1 xi
n
то
f
f ( x)  f ( a)  
(a  θ( x  a))( xi  a)
i 1 xi
n
Формула Тейлора
Формула Тейлора для функции двух переменных
f
f
f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 )( x  x0 )  ( x0 , y0 )( y  y0 ) 
x
y
1

2
2 f
2 f
2 f
2
2
(
x
,
y
)(
x

x
)

2
(
x
,
y
)(
x

x
)(
y

y
)

(
x
,
y
)(
y

y
)
0
0
0
0
0
0
0
0
 2 0 0

2
xy
y
 x

 o ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2

f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) 
1

2

f
f
( x0 , y0 )( x  x0 )  ( x0 , y0 )( y  y0 ) 
x
y
2 f
2 f
2 f
2
2
(
x
,
y
)(
x

x
)

2
(
x
,
y
)(
x

x
)(
y

y
)

(
x
,
y
)(
y

y
)
0
0
0
0
0
0
0
0
 2 0 0

2
xy
y
 x

1
 d 3 f ( x 0 θ( x  x 0 ), y 0 θ( y  y 0 ))
6
Формула Тейлора (примеры)
Функцию
f ( x, y)  2 x 2  xy  y 2  6 x  3 y  5
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;–2).
df ( x; y )  (4 x  y  6)dx  ( x  2 y  3)dy
d 2 f ( x; y )  4dx 2  2dxdy  2dy 2
d 3 f ( x, y )  0
f (1;2)  2  2  4  6  6  5  5, df (1;2)  0,
d 2 f ( x; y )  4( x  1) 2  2( x  1)( y  2)  2( y  2) 2
f ( x, y)  5  2( x  1) 2  ( x  1)( y  2)  ( y  2) 2
Формула Тейлора (примеры)
В разложении функции
f ( x, y)  x y
в окрестности точки (1;1) выписать члены до второго порядка.
df ( x, y)  yx y 1dx  ( x y ln x)dy
d 2 f ( x, y)  y( y  1) x y 2 dx 2  2( x y 1  yx y 1 ln x)dxdy  ( x y ln 2 x)dy 2
f (1 ; 1)  1
df (1 ; 1)  dx  x  1
d 2 f (1 ; 1)  2dxdy  2( x  1)( y  1)

x y  1  ( x  1)  ( x  1)( y  1)  o ( x  1) 2  ( y  1) 2

Формула Тейлора (примеры)
Вывести приближенную формулу с точностью до членов второго
порядка в окрестности начала координат для функции
cos x
f ( x, y ) 
cos y
df ( x, y )  
sin x
cos x  sin y
dx 
dy
2
cos y
cos y
cos x 2
sin x  sin y
cos x(cos 2 y  2 sin 2 y) 2
d f ( x, y)  
dx  2
dxdy 
dy
2
3
cos y
cos y
cos y
2
cos x
1
x2  y 2
2
2
2
2
 1
 dx  dy  o( x  y )  1 
 o( x 2  y 2 )
cos y
2
2


Экстремумы функции
Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой
минимума, если существует такое R>0, что
x U (a, R)  D( f ) f ( x)  f (a).
Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой
максимума, если существует такое R>0, что
x U (a, R)  D( f ) f ( x)  f (a).
Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой
строгого минимума, если существует такое R>0, что
O
x U (a, R)  D( f ) f ( x)  f (a).
Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой
строгого максимума, если существует такое R>0, что
O
x U (a, R)  D( f ) f ( x)  f (a).
Экстремумы функции
Необходимое условие экстремума
Теорема. В точке экстремума, являющейся внутренней точкой
области определения, все частные производные, которые в этой
точке существуют, равны нулю.
a  (a1 , . . . , ai 1 , ai , ai 1 , . . . , an ), x  (a1 , . . . , ai 1 , xi , ai 1 , . . . , an ),
x U (a, R)  f ( x)  f (a) ( f ( x)  f (a))
F ( xi )  f ( x)  f (a1 , a2 , . . . , ai 1 , xi , ai 1 , . . . , an ).
| x  a |  | xi  ai |
| xi  ai | R  x  U (a, R)  f ( x)  f (a) ( f ( x)  f (a)) 
f
 F ( xi )  F (ai ) ( F ( xi )  F (ai ))  F ' (ai )  0 
(a)  0
xi
Экстремумы функции
f ( x)  C1 (), a  , f ( x) имеет экстремум в точке x  a, тогда
 f
 x (a )  0,
 1
 f
(a )  0,

 x2
. . . . . . . . . . . . . .

 f
 x (a )  0
 n
Достаточное условие экстремума
Сведения из линейной алгебры
Квадратичная форма:
Q(ξ) 
n
a ξ ξ ,
i , j 1
ij i
j
ξ  (ξ1,ξ 2 , . . . ,ξ n ), aij  a ji .
Положительная определенность:
ξ  0 Q(ξ )  0.
a11  0,
a11 a12
a21 a22
a11. . . . a1n
 0, . . . , . . . . . . . . . .  0.
an1. . . . ann
Отрицательная определенность:
ξ  0 Q(ξ )  0.
a11  0,
a11 a12
a21 a22
a11. . . . a1n
 0, . . . , (1) n . . . . . . . . . .  0.
an1. . . . ann
Достаточное условие экстремума
f  C 2 (), a  , df (a)  0.
2 f
d f (a)  
(a)dxi dx j
i , j 1 xi x j
n
2
2
 2 f


f

(a) 
(a) 
 x x

x j xi
 i j

(второй дифференциал – квадратичная форма от ξ=dx)
Теорема. Пусть f∊C2(Ω), a – стационарная точка f, лежащая в Ω.
Если d2f(a) положительно определенная форма, то x=a – точка
минимума f, если d2f(a) отрицательно определенная форма, то x=a
– точка максимума f.
Достаточное условие экстремума
Рассмотрим случай, когда второй дифференциал представляет
положительно определенную форму. Пусть
2 f
aij 
(a)
xi x j
Рассмотрим функцию
n
Q(ξ)   aij ξ i ξ j
на единичной сфере
i , j 1
S  {ξ  R n :| ξ | 1}.
Эта функция непрерывна, а единичная сфера S является
ограниченным и замкнутым множеством (компактом). Поэтому
данная квадратичная форма достигает своего наименьшего
значения:
Достаточное условие экстремума
ξ 0 (| ξ 0 | 1) ξ  S Q(ξ)  Q(ξ 0 ) (Q(ξ 0 )  0)
Согласно формуле Тейлора в форме Пеано
1 n
f ( x)  f (a)   aij dxi dx j   ( x) | dx |2 ( ( x)  0 при x  a)
2 i , j 1
dxi dx j
f ( x)  f (a ) 1 n
  aij
  ( x)
2
| dx |
2 i , j 1 | dx | | dx |
Пусть
dx
ξ
| dx |

dx 
 ξ i  i , | ξ | 1
| dx | 

Тогда при любом dx≠0
f ( x)  f (a ) 1 n
1
1

a
ξ
ξ


(
x
)

Q
(
ξ
)


(
x
)

Q(ξ 0 )   ( x)

ij i j
2
| dx |
2 i , j 1
2
2
Достаточное условие экстремума
f ( x)  f (a) 1
 Q(ξ 0 )   ( x) (dx  0)
2
| dx |
2
Так как
lim  ( x)  0,
x a
То
o
  0 x  U (a,  ) |  ( x) |
Поэтому
Q (ξ 0 )
.
2
o
x U (a,  ) f ( x)  f (a)  0,
Но это и означает, что x=a является точкой строгого минимума.
Достаточное условие экстремума
Рассмотрим случай, когда второй дифференциал
представляет отрицательно определенную форму.
Пусть
g ( x)   f ( x)
dg (a)  df (a)  0, d 2 g (a)  d 2 f (a).
Следовательно, точка x = a является стационарной
точкой g(x), причем второй дифференциал g(x) в точке
x = a положительно определен. Отсюда следует, что
g(x) имеет в точке x = a строгий минимум, поэтому
функция f(x)= – g(x) имеет при x = a строгий максимум.
Пример
3632.
z  e2 x 3 y (8 x 2  6 xy  3 y 2 )
Стационарные точки
z x  (16 x 2  12 xy  6 y 2  16 x  6 y )e 2 x 3 y
z y  (24 x 2  18 xy  9 y 2  6 x  6 y )e 2 x 3 y
16 x 2  12 xy  6 y 2  16 x  6 y  0

2
2
 24 x  18 xy  9 y  6 x  6 y  0
8 x 2  12 x 2  12 x 2  8 x  6 x  0
8 x 2  6 xy  3 y 2  8 x  3 y  0
 2
2
8 x  6 xy  3 y  2 x  2 y  0
10 x  5 y  0, y  2 x
 x  0 ( y  0),

 x   1  y   1 
4 
2

8x2  2 x  0
Пример
Исследование на экстремум
 z xx  (32 x 2  24 xy  12 y 2  64 x  24 y  16)e 2 x 3 y

2
2
2 x 3 y
z

(48
x

36
xy

18
y

36
x

6
y

6)
e
 xy

2
2
2 x 3 y
z

(72
x

54
xy

27
y

36
x

36
y

6)
e
 yy
1) (0;0) z xx  16, z xy  6, z yy  6
16 6
 16 6 
[Q ]  
; 16  0,
 60  0  минимум

6 6
 6 6 
2) (1/ 4; 1/ 2) zxx  14e2 , zxy  (99 / 8)e2 , z yy  (3 / 2)e2
99 / 8 
14
99 / 8
 14
8457
[Q ]  
;


 0  нет экстремума

64
 99 / 8 3 / 2  99 / 8 3 / 2
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Производные и дифференциалы неявных функций,
производные и дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора для функций нескольких
переменных.
Экстремум функций нескольких переменных.
Лекция 12 завершена.
Спасибо за внимание!