Бинарные отношения

Бинарные отношения
Транзитивное замыкание



Для произвольного отношения A можно найти
минимальное транзитивное отношение a такое, что
a⊆b.
Минимальность отношения понимается в том
смысле, что для любого транзитивного отношения
g из a ⊆ g следует b ⊆ g. Таким отношением
является транзитивное замыкание отношения a.
Если X — это множество аэропортов, а xRy
эквивалентно «существует рейс из x в y», и
транзитивное замыкание R равно P, то xPy
эквивалентно «можно долететь из x в y самолётом»
(хотя иногда придётся лететь с пересадками).
Транзитивное замыкание
Транзитивным замыканием отношения
R называется бинарное отношение R’
такое, что x R’ y тогда и только тогда,
когда
существует
такая
цепочка
элементов из X:
z0 = x, z1, z2, ..., zn = y,
что между соседями в этой цепочке
выполнено отношение R:
z0 Rz1, z1R z2, ..., zn-1 Rzn.
Нетранзитивное отношение
 Отношение R, определенное на некотором
множестве и отличающееся тем, что для
любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не
следует xRz.
 Пример нетранзитивного отношения:
«x отец y»
 Нетранзитивным является отношение "".
Пусть x=2, y=3, z=2, тогда справедливо xy и
yz, но x=z, т.е. (x, z)R.
Транзитивность
Отношение
R1
называется
транзитивным относительно отношения
R2, если:
из (x, y) R1 и (y, x) R2 следует,
что (x, z) R1;
из (x, y) R2 и (y, x) R1 следует,
что (x, z) R1.
Негатранзитивность отношений
 (x,y) ∉ R и (y, z) ∉ R → (x, z) ∉ R
 В графе негатранзитивного отношения отсутствие
связи (кольца или дуги) между двумя вершинами
влечет отсутствие петель в обоих вершинах.
 Отношения R1 - ">" и R2 - " " негатранзитивны, так
как отношенияR1доп - "",R2доп - "=" транзитивны.
Возможно одновременное выполнение свойств
транзитивности и негатранзитивности. Например,
отношение R1 одновременно транзитивно и
негатранзитивно, а R2, как известно, транзитивным
не является.
Свойства бинарных отношений
 Полнота
∀(x, y) ∈ X либо xRy либо yRx, либо и то и другое
одновременно – полносвязное или связное
отношение
 Ацикличность
Отношение R называется ацикличным, если из
наличия какого-либо пути между вершинами
соответствующего
графа
следует
отсутствие
обратной дуги (обратного пути) между этими
вершинами (в графе отсутствуют любые циклы ).
∀n x1Rx2∧ x2Rx3∧ x3Rx4∧… ∧ xn-1Rxn но не
наоборот.
Свойства операций над отношениями
 Rk -1=( Rk -1
 Rk -1=( Rk  -1
(R1 o R2) -1 = R1 -1 o R2 -1.
(R1 o R2 )oR3 = R1o(R2 o R3).
(R1  R2 )oR3 = (R1 oR3 )( R2o R3 ).
Свойства операций над отношениями
(R1  R2 )oR3  (R1 oR3 )( R2o R3 ).
если R1 R2 то R1o R3 R2o R3;
если R1  R2 то R1-1 R2-1;
если R1  R2 то R3oR1  R3oR2.
(R1 R2)d = R1d R2d;
(R1 R2)d = R1d R2d;
(R d)d = R.
Связи между бинарными
отношениями
 Отношение R симметрично тогда и только
тогда, когда R = R-1.
 Если
R
рефлексивно,
то
Rd
антирефлексивно, если R антирефлексивно,
то Rd рефлексивно.
 Отношение R слабо полно тогда и только
тогда, когда Rd антисимметрично.
 Отношение R асимметрично тогда и только
тогда, когда Rd полно.
Отношения эквивалентности (подобия,
равносильности)
Отношение R на множестве A2
называется
отношением
эквивалентности, если оно обладает
следующими свойствами:
рефлексивность
(симметричность
транзитивность \
Обозначается =, ≈, ~, ≡
Отношение эквивалентности
Условия 1-3 в таких обозначениях
выглядят более естественно:
x=x для всех x∈A (рефлексивность)
Если x=y, то y=x (симметричность)
Если x=y и y=z, то x=z (транзитивность)
Примеры









отношение тождества IX = {(a, a)|a∈X} на непустом множестве X;
отношение параллельности на множестве прямых плоскости;
отношение подобия на множестве фигур плоскости;
отношение равносильности на множестве уравнений;
отношение "иметь одинаковые остатки при делении на
фиксированное натуральное число m" на множестве целых
чисел. Это отношение в математике называют отношением
сравнимости по модулю m и обозначают a≡b (mod m);
отношение "принадлежать одному виду" на множестве
животных;
отношение "быть родственниками" на множестве людей;
отношение "быть одного роста" на множестве людей;
отношение "жить в одном доме" на множестве людей.
Классы экввалентности
 Система непустых подмножеств
{M1, M2, …}
 множества M называется разбиением этого
множества, если
M = M1∪M2∪ …
 и при i≠j
Mi∩Mj =Ø.
 Сами множества M1, M2, … называются при
этом классами данного разбиения.
Примеры
 Разложение всех многоугольников на группы по числу
вершин - треугольники, четырехугольники,
пятиугольники и т. д.;
 Разбиение всех треугольников по свойствам углов
(остроугольные, прямоугольные, тупоугольные);
 Разбиение всех треугольников по свойствам сторон
(разносторонние, равнобедренные, равносторонние);
 Разбиение всех треугольников на классы подобных
треугольников;
 Разбиение множества всех учащихся данной школы
по классам.
Пример 1
Пример 2
 А и B равны по модулю n, если их остатки при
делении на n равны.
 Например по модулю 5 равны 2, 7, 12 …
 [0] = {0, n, 2n, …}
 [1] = {1, n+1, 2n+1, …}
…
 [n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}
Класс эквивалентности
 Классом эквивалентности C(a) элемента a
называется
подмножество
элементов,
эквивалентных a. Из вышеприведённого
определения немедленно следует, что, если и
b∈C(a), то C(a) = C(b).
 Теорема:
отношение
эквивалентности,
заданное
между
элементами
базового
множества
х,
определяет
разбиение
множества х на непересекающиеся классы
эквивалентности базового множества (в
каждый
из
классов
входят
взаимно
эквивалентные отношения).
Фактор-множество
Получающееся при этом множество
классов
называется
фактормножеством {ck}.или X / ˜.
Отношение порядка
 Бинарное отношение a на множестве X
называется отношением порядка, если оно
Транзитивно
∀ x,y,z ∈ A xRy ∧ yRz → xRz
и антисимметрично
∀ x,y ∈ A xRy ∧ yRx → x=y
 Множество X с определенным на нем
отношением
порядка
a
называется
упорядоченным множеством и обозначается
<X; a>.
Отношение строгого порядка
 Отношение порядка R называется отношением
строгого порядка на множестве X, если a
антирефлексивно
 ∀x∈X ¬(xRx)
 Отношение строгого порядка обозначается символом
< или Pуп
 Пусть f и g - функции с одинаковыми областями
определения. Определим отношение > следующим
образом: f > g, если для любого x из области
определения функции f(x) > g(x). Очевидно, что
данное отношение является отношением строгого
порядка.
Пример
f > g. Пары функций f и h, а также g и h несравнимы.
Отношение толерантности
Отношение безразличия является
отношением симметрии и
рефлексивности.
x Iуп y <=> ( x Pуп у и yPуп x ).
Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат
Pуп, то нельзя сказать, что x лучше y,
или x лучше y.
Основные свойства
Pуп  Pdуп = Pdуп;
Pуп  Pdуп = Pуп;
I =Pуп  Pdуп .
Rуп = Pdуп; Pуп = Rdуп , т.е. Pуп и Rуп
образуют двойственную пару.
P∪P-1∪I=Х × Х – все декартово
произведение
Отношение нестрогого порядка
На базе введенных отношений строгого
упорядочения и безразличия можно
построить новое отношение
Rуп = Pуп Iуп,
которое
называется
нестрогим
упорядочением.
Отношение нестрогого упорядочивания
(x≥y) это полное и рефлексивное
отношение.
Отношение безразличия
Пусть
мы
имеет
некоторое
произвольное отношение R, причем
R ∩ R-1=Rs
– симметричная часть R.
Если R было рефлексивным, то Rs
можно
считать
отношением
безразличия.
Теорема
R\R-1=Rs=I, R\Rs=P, а значит, R=P∪U
Любое полное отношение R с
R\R-1=Rs=I, R\Rs=P
индуцирует
отношения
строгого
упорядочения P и безразличия I.
I – симметричная часть R, P –
асимметричная часть.
Отношение слабого порядка
 Асимметричное,
негатранзитивное
отношение Pсл назовем слабым порядком.
 x>y (слабый порядок, т.к. ассиметрично и его
дополнение x≤y, транзитивно, а значит и
негатранзитивно).
 Кроме того, по аналогии с Iуп введем
отношение Iсл

xIслy <=> ((x, y) Pсл и (y, x) Pсл)
 или

xIслy <=> ((y, x)Pсл и (x, y)Pсл).
 Назовем его отношением эквивалентности.
Отношение нестрогого слабого порядка
 Введем также отношение

Rсл = Pсл Iсл,
 называемое нестрогим слабым порядком. Из
определения следует, что Pсл  Pуп. Так как
Pуп только асимметрично, а Pсл асимметрично
и негатранзитивно, то из (x, y)Pсл всегда
следует (x, y)Pуп.
 В качестве примера Rсл можно привести
отношение "".
Свойства слабого порядка
Rсл = Pdсл , Rdсл = Pсл.
Iсл = Rsсл , Pсл = Rdсл.
Для любых x,yA выполняется одно и
только одно из соотношений: xPслy,
yPслx, xIслy.
Отношение Pсл транзитивно.
Отношение Iсл рефлексивно,
симметрично, транзитивно.
Отношение Rсл транзитивно и полно.
Отношение качественного порядка
 Дополним отношение строгого упорядочения Pуп свойством
транзитивности. Назовем полученное отношение качественным
порядком Pкач..
 Пусть
х, у - вещественные числа. Введем качественный
порядок:

хРкачу <=> x > у +1.
 Очевидно, что в данном случае отношение Ркач асимметрично и
транзитивно, но оно не является негатранзитивным.
 Дополнение к введенному отношению определим как

х Ркач у <=> х  у +1
 Положим у = 0; х = 0.9; z = -0.9. Тогда, очевидно, выполняются
отношения

(х, y) Ркач ; (y, z) Ркач ; (х, z)  Ркач.
 Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.
Отношение Парето
Введем на множестве точек n-мерного
евклидова пространства следующее
отношение
Par,
называемое
отношением Парето:
 х, уРаr <=>  i : хi  yi и  j : хj > уj.
Отношение Парето называется также
безусловным критерием предпочтения
(БКП).
Пример
x
y
а) x1 < y1
x2 > y2
нет отношения Раr;
y
x
б) x1 > y1
x2 = y2
есть отношение Раr,
x лучше y;
x
y
в) x1 < y1
x2 < y2
есть отношение Раr,
y лучше x.
Производные отношения
Iкач - отношение качественного
безразличия
хIкачу <=> ( xРкач у) и (уРкач х );
Rкач - нестрогий качественный
порядок Rкач = Рd кач.
Качественный
ассиметричные
отношения.
Так как
порядок
–
это
и
транзитивные
асимметрия+негатранзитивность=транзитивность,
значит слабый порядок качественный,
но не наоборот.
Другие отношение
 Отношение Rчаст называется нестрогим
частичным порядком, если оно рефлексивно,
транзитивно и антисимметрично. Нестрогий
частичный порядок можно определить по
формуле Rчаст = PкачI .
 Рефлексивное и транзитивное
бинарное
отношение называется предпорядком.
 Симметричный
предпорядок является
отношением
эквивалентности,
антисимметричный предпорядок - нестрогим
частичным порядком.