Лекция 3. Виды бинарных отношений 2008 г.

Дискретная математика.
Математическая логика
Лекция 3. Виды
бинарных
отношений
2008 г.
Проф., д.т.н. Гусева А.И. ,
доцент Порешин П.П.,
аспирант Цыплаков А.C.
.
Отношение тождества
Бинарное отношение T(M) ,
заданное на множестве М,
называется отношением
тождества U тогда и только
тогда, когда оно состоит только
из пар (а,а), где a  M
a  M ( a , a )  U ( M )
.
Отношение эквивалентности
Бинарное отношение T(M) , заданное
на множестве М, называется
отношением эквивалентности <=>
тогда и только тогда, когда оно
 рефлексивно
 симметрично
 транзитивно
Класс эквивалентности
Классом эквивалентности K(x)
элемента x , x  M
называется
множество всех элементов y , y  M
с которыми х находится в отношении
эквивалентности
K(x)={y/x<=>y}
Пример
На множестве M= { a, b, c, d, e, f}
построить бинарное отношение
эквивалентности R, при условии, что
пара (a, b)  R
b
а
f
e
c
d
b
а
f
e
b
c
d
а
f
e
c
d
Отношение
упорядочивания

Бинарное отношение T(M) , заданное на
множестве М, называется отношением
упорядоченности тогда и только тогда,
когда оно
 рефлексивно
 антисимметрично
 транзитивно


Обозначается отношение
упорядоченности (порядка) как
,  ( М )
Строгий, линейный и
частичный порядок
Если бинарное отношение T(M)
иррефлексивно, антисимметрично и
транзитивно, то оно называется
отношением строгой упорядоченности
,  ( М )
Если любые два элемента x , y  T (M)
находятся друг с другом в отношении
y  x , то
упорядоченности x  y или
это линейный порядок, в противном случае
– частичный порядок
Диаграмма Хассе
Упорядоченные множества принято
обозначать с помощью диаграмм
Хассе
H  M , 
Диаграмма Хассе представляет собой
графическое представление
упорядоченного множества, в
котором отсутствуют (но
подразумеваются) рефлексивные
петли и транзитивные дуги
Пример
Упорядочить множество
M= {a, b, c, d, e, f}
линейно при условии, что
пара (a, b)  , т.е.
построить  ( М )
b
а
c
d
e
f
Теорема Цермело
Всякое множество может
быть строго упорядочено
Экстремальные
характеристики отношения
упорядочивания
Рассмотрим подмножество Х
частично упорядоченного
множества У
У
Х
Максимальные элементы
Элемент xmax  X называется
максимальным элементом Х, тогда и
только тогда, когда не существует
больших, т.е.
(y  X ), xmax  y _ и _ x  y
Другими словами, из сравнимости
элементов xmax  X и x  X
вытекает, что
x  xmax
Минимальные элементы
Элемент xmin  X называется
минимальным элементом Х, тогда и
только тогда, когда не существует
меньших, т.е.
(y  X ), y  xmin _ и _ x  y
Другими словами, из сравнимости
элементов xmin  X и x  X
вытекает, что
xmin  x
Лемма Цорна (принцип
максиума)
Каждое непустое
подмножество Х в
множестве У содержит
по меньшей мере один
максимальный элемент
Наибольший элемент
Элемент xl arg est  X называется
наибольшим элементом, тогда и
только тогда, когда для любого
x , x  X
x  xl arg est
Наибольший элемент находится в
отношении сравнения со всеми
элементами их Х
Наименьший элемент
Элемент x smallest  X называется
наименьшим элементом, тогда и
только тогда, когда для любого
x , x  X
xsmallest  x
Теорема
Если в частично
упорядоченном
множестве существует
наибольший элемент,
то он единственный
Мажоранты
xma j  Y называется
Элемент
мажорантой (верхней границей или
верхним конусом) Х тогда и только
тогда, когда для любого
x , x  X
x  xmaj
Миноранты
Элемент xm ij  Y называется
мажорантой (верхней границей или
верхним конусом) Х тогда и только
тогда, когда для любого
x , x  X
xmij  x
Верхняя грань
xsup  Y называется
Элемент
верхней гранью (точной верхней
гранью) Х тогда и только тогда,
когда он является наименьшим
среди мажорант
Нижняя грань
xinf  Y называется
Элемент
нижней гранью (точной верхней
гранью) Х тогда и только тогда,
когда он является наибольшим
среди минорант
Принцип двойственности
Отношение, обратное
отношению
упорядоченности, так же
является отношением
упорядоченности
Пример
У={a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}
Х={c, d, e, g, h}
n
Макс={h, e}
Мин= {c, g}
Наибольший - нет
Мажоранты – нет
Миноранты ={a, b}
Sup - нет
Inf ={ b}
f
m
e
h
d
g
c
b
a
Отношение толерантности
Бинарное отношение T(M) , заданное
на множестве М, называется
отношением толерантности
(схожести) тогда и только тогда,
когда оно рефлексивно и
симметрично