Бинарные отношения

Бинарные отношения
Свойства операций над отношениями
 Rk -1=( Rk -1
 Rk -1=( Rk  -1
(R1 o R2) -1 = R1 -1 o R2 -1.
(R1 o R2 )oR3 = R1o(R2 o R3).
(R1  R2 )oR3 = (R1 oR3 )( R2o R3 ).
Свойства операций над отношениями
(R1  R2 )oR3  (R1 oR3 )( R2o R3 ).
если R1 R2 то R1o R3 R2o R3;
если R1  R2 то R1-1 R2-1;
если R1  R2 то R3oR1  R3oR2.
(R1 R2)d = R1d R2d;
(R1 R2)d = R1d R2d;
(R d)d = R.
Связи между бинарными
отношениями
 Отношение R симметрично тогда и только
тогда, когда R = R-1.
 Если
R
рефлексивно,
то
Rd
антирефлексивно, если R антирефлексивно,
то Rd рефлексивно.
 Отношение R слабо полно тогда и только
тогда, когда Rd антисимметрично.
 Отношение R асимметрично тогда и только
тогда, когда Rd полно.
Отношения эквивалентности (подобия,
равносильности)
Отношение R на множестве A2
называется
отношением
эквивалентности, если оно обладает
следующими свойствами:
рефлексивность
симметричность
транзитивность
Обозначается =, ≈, ~, ≡
Отношение эквивалентности
Условия 1-3 в таких обозначениях
выглядят более естественно:
x=x для всех x∈A (рефлексивность)
Если x=y, то y=x (симметричность)
Если x=y и y=z, то x=z (транзитивность)
Примеры









отношение тождества IX = {(a, a)|a∈X} на непустом множестве X;
отношение параллельности на множестве прямых плоскости;
отношение подобия на множестве фигур плоскости;
отношение равносильности на множестве уравнений;
отношение "иметь одинаковые остатки при делении на
фиксированное натуральное число m" на множестве целых
чисел. Это отношение в математике называют отношением
сравнимости по модулю m и обозначают a≡b (mod m);
отношение "принадлежать одному виду" на множестве
животных;
отношение "быть родственниками" на множестве людей;
отношение "быть одного роста" на множестве людей;
отношение "жить в одном доме" на множестве людей.
Классы эквивалентности
 Система непустых подмножеств
{M1, M2, …}
 множества M называется разбиением этого
множества, если
M = M1∪M2∪ …
 и при i≠j
Mi∩Mj =Ø.
 Сами множества M1, M2, … называются при
этом классами данного разбиения.
Примеры
 Разложение всех многоугольников на группы по числу
вершин - треугольники, четырехугольники,
пятиугольники и т. д.;
 Разбиение всех треугольников по свойствам углов
(остроугольные, прямоугольные, тупоугольные);
 Разбиение всех треугольников по свойствам сторон
(разносторонние, равнобедренные, равносторонние);
 Разбиение всех треугольников на классы подобных
треугольников;
 Разбиение множества всех учащихся данной школы
по классам.
Пример 1
Пример 2
 А и B равны по модулю n, если их остатки при
делении на n равны.
 Например по модулю 5 равны 2, 7, 12 …
 [0] = {0, n, 2n, …}
 [1] = {1, n+1, 2n+1, …}
…
 [n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}
Класс эквивалентности
 Классом эквивалентности C(a) элемента a
называется
подмножество
элементов,
эквивалентных a. Из вышеприведённого
определения немедленно следует, что, если и
b∈C(a), то C(a) = C(b).
 Теорема:
отношение
эквивалентности,
заданное
между
элементами
базового
множества
х,
определяет
разбиение
множества х на непересекающиеся классы
эквивалентности базового множества (в
каждый
из
классов
входят
взаимно
эквивалентные отношения).
Фактор-множество
Получающееся при этом множество
классов
называется
фактормножеством {ck}.или X / ˜.
Для
класса
эквивалентности
элемента
используются следующие
обозначения: : [a], a / ˜, a.
Отношение порядка
 Бинарное отношение a на множестве X
называется отношением порядка, если оно
Транзитивно
∀ x,y,z ∈ A xRy ∧ yRz → xRz
и антисимметрично
∀ x,y ∈ A xRy ∧ yRx → x=y
 Множество X с определенным на нем
отношением
порядка
a
называется
упорядоченным множеством и обозначается
<X; a>.
Отношение строгого порядка
 Отношение порядка R называется отношением
строгого порядка на множестве X, если a
антирефлексивно
 ∀x∈X ¬(xRx)
 Отношение строгого порядка обозначается символом
< или Pуп
 Пусть f и g - функции с одинаковыми областями
определения. Определим отношение > следующим
образом: f > g, если для любого x из области
определения функции f(x) > g(x). Очевидно, что
данное отношение является отношением строгого
порядка.
Пример
f > g. Пары функций f и h, а также g и h несравнимы.
Отношение толерантности
Отношение безразличия является
отношением симметрии и
рефлексивности.
x Iуп y <=> ( x Pуп у и yPуп x ).
Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат
Pуп, то нельзя сказать, что x лучше y,
или x лучше y.
Основные свойства
Pуп  Pdуп = Pdуп;
Pуп  Pdуп = Pуп;
I =Pуп  Pdуп .
Rуп = Pdуп; Pуп = Rdуп , т.е. Pуп и Rуп
образуют двойственную пару.
P∪P-1∪I=Х × Х – все декартово
произведение
Отношение нестрогого порядка
На базе введенных отношений строгого
упорядочения и безразличия можно
построить новое отношение
Rуп = Pуп Iуп,
которое
называется
нестрогим
упорядочением.
Отношение нестрогого упорядочивания
(x≥y) это полное и рефлексивное
отношение.
Отношение безразличия
Пусть
мы
имеет
некоторое
произвольное отношение R, причем
R ∩ R-1=Rs
– симметричная часть R.
Если R было рефлексивным, то Rs
можно
считать
отношением
безразличия.
Теорема
R\R-1=Rs=I, R\Rs=P, а значит, R=P∪U
Любое полное отношение R с
R\R-1=Rs=I, R\Rs=P
индуцирует
отношения
строгого
упорядочения P и безразличия I.
I – симметричная часть R, P –
асимметричная часть.
Отношение слабого порядка
 Асимметричное,
негатранзитивное
отношение Pсл назовем слабым порядком.
 x>y (слабый порядок, т.к. ассиметрично и его
дополнение x≤y, транзитивно, а значит и
негатранзитивно).
 Кроме того, по аналогии с Iуп введем
отношение Iсл

xIслy <=> ((x, y) Pсл и (y, x) Pсл)
 или

xIслy <=> ((y, x)Pсл и (x, y)Pсл).
 Назовем его отношением эквивалентности.
Отношение нестрогого слабого порядка
 Введем также отношение

Rсл = Pсл Iсл,
 называемое нестрогим слабым порядком. Из
определения следует, что Pсл  Pуп. Так как
Pуп только асимметрично, а Pсл асимметрично
и негатранзитивно, то из (x, y)Pсл всегда
следует (x, y)Pуп.
 В качестве примера Rсл можно привести
отношение "".
Свойства слабого порядка
Rсл = Pdсл , Rdсл = Pсл.
Iсл = Rsсл , Pсл = Rdсл.
Для любых x,yA выполняется одно и
только одно из соотношений: xPслy,
yPслx, xIслy.
Отношение Pсл транзитивно.
Отношение Iсл рефлексивно,
симметрично, транзитивно.
Отношение Rсл транзитивно и полно.
Отношение качественного порядка
 Дополним отношение строгого упорядочения Pуп свойством
транзитивности. Назовем полученное отношение качественным
порядком Pкач..
 Пусть
х, у - вещественные числа. Введем качественный
порядок:

хРкачу <=> x > у +1.
 Очевидно, что в данном случае отношение Ркач асимметрично и
транзитивно, но оно не является негатранзитивным.
 Дополнение к введенному отношению определим как

х Ркач у <=> х  у +1
 Положим у = 0; х = 0.9; z = -0.9. Тогда, очевидно, выполняются
отношения

(х, y) Ркач ; (y, z) Ркач ; (х, z)  Ркач.
 Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.
Отношение Парето
Введем на множестве точек n-мерного
евклидова пространства следующее
отношение
Par,
называемое
отношением Парето:
 х, уРаr <=>  i : хi  yi и  j : хj > уj.
Отношение Парето называется также
безусловным критерием предпочтения
(БКП).
Пример
x
y
а) x1 < y1
x2 > y2
нет отношения Раr;
y
x
б) x1 > y1
x2 = y2
есть отношение Раr,
x лучше y;
x
y
в) x1 < y1
x2 < y2
есть отношение Раr,
y лучше x.
Производные отношения
Iкач - отношение качественного
безразличия
хIкачу <=> ( xРкач у) и (уРкач х );
Rкач - нестрогий качественный
порядок Rкач = Рd кач.
Качественный
ассиметричные
отношения.
Так как
порядок
–
это
и
транзитивные
асимметрия+негатранзитивность=транзитивность,
значит слабый порядок качественный,
но не наоборот.
Другие отношения
 Отношение Rчаст называется нестрогим
частичным порядком, если оно рефлексивно,
транзитивно и антисимметрично. Нестрогий
частичный порядок можно определить по
формуле Rчаст = PкачI .
 Рефлексивное и транзитивное
бинарное
отношение называется предпорядком.
 Симметричный
предпорядок является
отношением
эквивалентности,
антисимметричный предпорядок - нестрогим
частичным порядком.
Функция
 Пусть X и Y – произвольные множества. Функцией f,
определенной на множестве X и принимающей значения в
множестве Y, называют бинарное отношение f между
элементами множеств X и Y, которое каждому элементу
множества X ставит в соответствие единственный для этого
элемента элемент множества Y.
 Это и позволяет говорить о том, что элементу x∈X сопоставлен
один и только один элемент y∈Y такой, что (x, y)∈f.
 Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или
кортеж) объектов (f, X, Y), где
 множество X называется областью определения D(f);
 множество называется областью значений R(f) (E(f)) ;
 множество упорядоченных пар f⊆X×Y или, что то же самое, график
функции
Обозначение
Образ и прообраз
 Элемент
y=f(x),
который
сопоставлен
элементу x, называется образом элемента
(точки) x (при отображении f), а элемент x=f1(y) называется прообразом элемента y.
 f(A)={f(x)| x∈A} - образ множества A (при
отображении f). Это множество иногда
обозначается как f[A] или Af.
 f–1(B)={x|f(x)∈B},
(полный)
прообраз
множества B
Свойства взятия образа
f(Ø)=Ø;
A≠Ø ⇒ f(A)≠Ø;
A⊂B⇒f(A)⊂f(B);
f(A∪B)=f(A)∪f(B);
f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)
Свойства взятия прообраза
f–1(A∪B)=f–1 (A)∪f–1 (B);
f–1 (A∩B)=f–1 (A)∩f–1 (B).
Отображения f:A→B и g:A→B
называются равными, если ∀x∈ A
f(x)=g(x).
Отображение в себя
f:X→X, которое сопоставляет каждой
точке x множества X её саму или, что
тоже самое, f(x) = x для каждого x∈X,
называется тождественным
(единичным).
idX id
1X
Композиция функций
 Отображение f: A→C, при котором каждому
элементу x∈A соответствует определённый
элемент z∈C, такой, что z=f2(y), где y=f1(x),
называется произведением, композицией,
или суперпозицией отображений f1 и f2.
 То есть для всякого x∈A однозначно
определяется элемент z∈C такой, что z =
f2(f1(x)).
 f1∘f2
Отображения
На множество
Во множество
«сюръекция»
Соответствие. при котором
каждому элементу множества А
указан единственный элемент
множества В, а каждому
элементу множества В можно
указать хотя бы один элемент
множества А, называется
отображением множества А на
множество В
«инъекция»
Соответствие. при котором
каждому элементу множества А
указан единственный элемент
множества В, а каждому элементу
В соответствует не более одного
прообраза из А, называется
отображением множества А во
множество В
Сюръекция
f[X] = Y
Инъекция
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Биекция
 A(x)=y, A-1(y)=x
Обратное отображение
f: X → Y
f–1: Y→X
1
Y  X
f
f(A∩B)=f(A)∩f(B)
Бинарные отношения и функции
Пример
Мощность множества
Число элементов множества М
называется его мощностью или
кардинальным числом и обозначается
|M|.
Множества А и В называются
эквивалентными, или
равномощными, А  В, если между их
элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.
Мощность
 |M| - число его
элементов
 булеан
‫א‬0
2 M  A | A  M 
 ‫ א‬1‫ א‬2‫ א‬3‫ א‬4…
С