Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 5. «Собственные векторы и собственные
значения матрицы»
Основные понятия:
1. Определения
2. Нахождение собственных значений матрицы
3. Нахождение собственных векторов матрицы
завершить
1. Определения
Ненулевой вектор х называется собственным вектором
матрицы А, если найдется такое число  , что
Ax   x
Число 
называется собственным
(характеристическим) значением (числом) матрицы А,
соответствующим вектору х.
далее
Характеристическим уравнением матрицы А
называется уравнение:
a11  
A  E 
a21
...
an1
a12
...
a1n
a22   ...
a2 n
0
...
...
...
an 2
... ann  
Пример 1.
назад
Пример 1. Составить характеристические уравнения для
матриц
 2 4 
A
,
0 5 
Решение:
1 0 1 


B  1 2 0 
 8 0 1


Решение (Пример 1):
Составим характеристическое уравнение для матрицы А:
 2 4 
1 0
A  E  0  

 0
0 5 
0 1
 2 4 
1 0


 0
0 5 
0 1

2
4
0
5
 0.
далее
Решение (Пример 1):
Составим характеристическое уравнение для матрицы В:
1 0 1 
1 0 0




B  E  0  1 2 0     0 1 0  0 
 8 0 1
0 0 1




1 
 1
8
0
2
1
0
0
1  
 0.
назад
2. Нахождение собственных значений матрицы
Для нахождения собственных значений матрицы А
необходимо решить характеристическое уравнение
a11  
A  E 
a21
...
an1
a12
...
a1n
a22   ...
a2 n
0
...
...
...
an 2
... ann  
Пример 2.
назад
Пример 2. Найти собственные значения матриц
 2 4 
A
,
0 5 
Решение:
 1 0 1


B  1 1 8 
0 2 0 


Решение (Пример 2):
Решим характеристическое уравнение матрицы А:
2   4
0
0
5
  2,
  2    5     0  
  5.
далее
Решение (Пример 2):
Решим характеристическое уравнение матрицы В:
1 
1
8
0
2
0
1
0 0
1  
 1    2    1     8  2     0 
  2,
  2      2  9   0    3,
  3.
назад
3. Нахождение собственных векторов матрицы
Для нахождения собственных векторов матрицы А
необходимо решить систему линейных однородных
уравнений
 A  0 E   x  0
Пример 3.
назад
Пример 3. Найти собственные векторы следующих матриц
 2 4 
A
,
0 5 
Решение:
 1 0 1


B  1 1 8 
0 2 0 


Решение (Пример 3) для матрицы А:
1) Решив характеристическое уравнение для матрицы А,
получили 1  2, 2  5.
2) Для собственного значения   2 составим систему
1
линейный однородных уравнений:
 A  1E   x  0 
4   x1   0 
 2  1

     
5  1   x2   0 
 0
 0 4   x1   0  4 x2  0,  x1  R,


 x      
 0 3   2   0  3x2  0
 x2  0
 X   2   c1 ;0  , c1  R.
далее
Решение (Пример 3) для матрицы А:
3) Для собственного значения 2  5 составим систему
линейный однородных уравнений:
4   x1   0 
 2  2
 A  2 E   x  0  
     
5  2   x2   0 
 0
 3 4   x1   0 

 x     
 0 0   2  0
3x1  4 x2  0,

 3x1  4 x2 
0  0
 X  5   4c2 ;3c2  , c2  R.
далее
Решение (Пример 3) для матрицы В:
1) Решив характеристическое уравнение для матрицы В,
получили 1  2, 2  3, 3  3.
2) Для собственного значения 1  2 составим систему
линейный однородных уравнений:
 1 0 1  x1 

 
 A  1E   x  0   1 0 0  x2  
 8 0 3  x 

 3 
 x1  x3  0,  x1  0,


  x1  0,
  x2  R, 
8 x  3 x  0  x  0
3
 3
 1
 X 1  2   0; c1 ;0  , c1  R.
далее
Решение (Пример 3) для матрицы В:
3) Для собственного значения 2  3 составим систему
линейный однородных уравнений:
 2 0 1   x1 

 
A


E

x

0

1

1
0
x


2 
2

 
 8 0 4   x 

 3 
2 x1  x3  0,
 x1  R,
 x2  x1 ,


  x1  x2  0,  
  x2  x1 , 
 x3  2 x1  x  2 x
8 x  4 x  0
3
1
 3
 1
 X 2 3   c2 ; c2 ; 2c2  , c2  R.
далее
Решение (Пример 3) для матрицы В:
4) Для собственного значения 3  3 составим систему
линейный однородных уравнений:
 4 0 1  x1 

 
 A  3 E   x  0   1 5 0  x2  
 8 0 2  x 

 3 
 x1  R,
4 x1  x3  0,
1


x


x
,
1

 2

1
  x1  5 x2  0,  
5   x2   x1 , 
5
8 x  2 x  0  x3  4 x1

3
 1
 x3  4 x1
 X 3 3   5c3 ; c3 ; 20c3  , c3  R.
назад
Спасибо за внимание!
Не забывайте готовиться к
лекциям и семинарам!
(Тема следующей лекции
«Квадратичные формы»)
Удачи!