1 Определение детерминанта матрицы 2 Вычисление

1
Определение детерминанта матрицы
Квадратная матрица 1 × 1 состоит из одного элемента A = (a11 ). Определитель такой матрицы равен |A| = det(A) = a11 .
µ
¶
a11 a12
Квадратная матрица 2×2 состоит из четырех элементов A =
. Определитель
a21 a22
такой матрицы равен |A| = det(A) = a11 · a22 − a12 · a21 .
¯
¯
¯ 3 2 ¯
¯ = 3b − 2a.
¯
Пример 1. Определитель ¯
a b ¯
2
Вычисление определителей третьего порядка
Квадратная матрица 3 × 3 состоит из девяти элементов


a11 a12 a13
||A||3×3 =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33
Определитель такой матрицы равен
¯
¯ a
a
|A| = det(A) = a11 · ¯¯ 22 23
a32 a33
¯
¯
¯
¯
¯ − a12 · ¯ a21 a23
¯
¯ a31 a33
Определитель матрицы треугольного
Пример 2.
¯
¯
¯
¯ 6 3 1 ¯
¯ 2 0
¯
¯
¯
¯ 0 4 7 ¯ = 6 · 4 · 2 = 48; ¯ 4 −1
¯
¯
¯
¯ 0 0 2 ¯
¯ 3 7
¯
¯
¯
¯ = 2 · (−1) · (−2) = 4;
¯
¯
3
¯
¯
¯
¯
¯ + a13 · ¯ a21 a22
¯
¯ a31 a32
¯
¯
¯.
¯
вида равен произведению диагональных элементов.
0
0
−2
¯
¯ 5 7 2
¯
¯ 0 0 3
¯
¯ 0 0 4
¯
¯
¯
¯ = 5 · 0 · 4 = 0.
¯
¯
Операции над матрицами: сложение и вычитание
µ
¶
µ
a11 a12
Пусть даны две матрицы A =
,B=
a21 a22
µ
a11 + b11
A+B =
a21 + b21
b11 b12
b21 b22
a12 + b12
a22 + b22
¶
, тогда матрица
¶
называется суммой матриц A и B, а матрица
¶
µ
a11 − b11 a12 − b12
A−B =
a21 − b21 a22 − b22
называется разностью матриц A и B.
µ
¶
µ
¶
1 2
2 −3
Пример 3. Даны матрицы A =
,B=
, тогда
0 −3
0 4
µ
¶ µ
¶
1 + 2 2 + (−3)
3 −1
A+B =
=
.
0 + 0 −3 + 4
0 1
1
4
Обратная матрица. Условия существования
µ
¶
a11 a12
Пусть дана матрица размера 2 × 2 A =
, определитель матрицы A равен d =
a21 a22
a11 a22 − a12 a21 . Обратной матрицей к матрице A называется матрица 2 × 2
 a
a12 
22
−
A−1 =  da21 a11d  .
−
d
d
Как следует из определения обратная матрица существует тогда и только тогда, когда d 6= 0.
µ
¶
2 3
Пример 4. При каком значении параметра λ матрица A =
не имеет обратной?
−λ 1
Условие отсутствия обратной матрицы выглядит следующим образом:
det A = 0 =⇒ 2 · 1 − 3 · (−λ) = 0 =⇒ 2 + 3λ = 0 =⇒ λ = −
5
2
3
Основная и расширенная матрицы системы линейных
уравнений
Равенство вида
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
называется линейным алгебраическим уравнением с n неизвестными x1 , x2 , . . . , xn . Числа
a1 , a2 , . . . , an называются коэффициентами при соответствующих переменных, число b называется свободным членом. Решением линейного алгебраического уравнения с n неизвестными
называется упорядоченный набор из n чисел (r1 , r2 , . . . , rn ), при подстановке которых вместо
соответствующих переменных уравнение обращается в истинное равенство:
a1 r1 + a2 r2 + . . . + an rn = b.
Набор m линейных алгебраических уравнений справа от большой фигурной скобки

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ,
..................................



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm .
называется системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1 , x2 , . . . , xn .
Матрица, составленная из коэффициентов уравнений системы


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 

A=
 ................... ,
am1 am2 . . . amn
2
называется основной матрицей системы линейных алгебраических уравнений. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов уравнений системы


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 

A|B = 
 ....................... ,
am1 am2 . . . amn bm
называется расширенной матрицей системы линейных алгебраических уравнений.
системы линейных
алгебраических уравнений
Пример
5. Основная матрица


x
−
x
=
0,
0
1
−1
 2
3
x2 + x3 = 1,
имеет вид  0 1 1 .

x1 + 2x2 = −1.
1 2 0
6
Системы линейных уравнений: метод Гаусса
В методе Гаусса решение системы линейных алгебраических уравнений производится в два
этапа: прямой ход и обратный ход.
Прямой ход. На прямом ходу метода Гаусса расширенная матрица системы линейных
алгебраических уравнений A|B допустимыми преобразованиями приводится треугольному
(или трапециадальному) виду. Допустимыми преобразованиями являются:
1. Перестановка строк.
2. Умножение (деление) любой строки матрицы на произвольное число, отличное от нуля.
3. Прибавление (вычитание) к любой строке матрицы другой строки, умноженной на произвольное число.
В результате прямого хода метода Гаусса система линейных алгебраических уравнений приобретает вид:

α11 x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn = β1 ,




α
 22 x2 + . . . + α2n xn = β2 ,
...................................


α
x
+ α(n−1)n xn = βn−1 ,


 (n−1)(n−1) n−1
αnn xn = βn .
Обратный ход. На обратном ходу линейные уравнения преобразованной системы решаются в обратном порядке. Из последнего уравнения получается xn = βn /αnn , после этого
становиться возможным получить xn−1 = (βn−1 − α(n−1)(n−1) · (βn /αnn ))/α(n−1)n , и т.д.
Пример 6. Укажите систему линейных алгебраических уравнений, подготовленную для обратного хода метода Гаусса:
½
x1 + x2 = 3,
1.
x1 + x2 = 1.
3

 x1 + 8x2 + 3x3 = 0,
−x2 + x3 = 1,
2.

x1 + x3 = 0.

 2x1 + x2 − x3 = 7,
x1 + x3 = 3,
3.

x1 + x2 + x3 = 1.

 x1 + 8x2 + 3x3 = 4,
−x2 + x3 = 2,
4.

5x3 = 10.
7
Основные понятия теории вероятности
Пусть задано множество всех возможных исходов некоторого испытания Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn },
оно называется пространством элементарных событий. Каждому исходу ωi приписано некоторое число от 0 до 1. Т. е. на пространстве элементарных событий определена функция
P (ωi ) со значениями на [0; 1], для которой выполняется P (ω1 ) + P (ω2 ) + . . . + P (ωn ) = 1.
Любое подмножество A ⊂ Ω пространства элементарных событий называется случайным
событием. Каждый исход ωAi ∈ A называется благоприятным для события A, остальные
исходы — неблагоприятными. Если испытание завершилось исходом ωj ∈ A, то событие A
произошло, иначе — не произошло. Если A = {ωA1 , . . . , ωAn }, то вероятностью этого случайного события называется число P (A) = P (ωA1 ) + . . . + P (ωAn ). Событие Ω, состоящее из
всех возможных исходов, называется достоверным, оно происходит при любом выполнении
испытания P (Ω) = 1. Событие ∅, не имеющее ни одного благоприятного исхода, называется
невозможным, оно не происходит ни при каком выполнении испытания P (∅) = 0.
Пример 7. Пусть при бросании игрального кубика каждый из шести исходов равно возможен,
1
тогда Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = .
6
Вероятность события A : „выпало четное число.”, которому благоприятствуют исходы 2,
4, 6,
1 1 1
1
1
P (A) = P (2) + P (4) + P (6) = + + = 3 · = .
6 6 6
6
2
8
Вероятность произведения событий
Пусть даны два случайных события A, B, тогда событие AB, состоящее в том, что произошло
и событие A, и событие B, называется их произведением.
Условной вероятностью события B при наступлении события A называется вероятность
события B, рассчитанная в предположении, что событие A уже произошло.
Например, из урны, в которой находятся 3 черных и 7 белых шаров, наугад вынимают
один за другим два шара. Пусть A : „первым вынули белый шар.”, B : „вторым вынули белый
шар.”
6
2
7
P (A) = , P (B|A) = = ,
10
9
3
т. к. один шар вынули, их осталось 9, при этом белых осталось 6, один белый уже вынули.
4
Два случайных события A, B называются независимыми, если P (A|B) = P (A) и P (B|A) =
P (B), т. е. осуществление одного события не влияет на вероятность второго.
Теорема произведения. P (AB) = P (A)P (B|A) или P (AB) = P (B)P (A|B). Если события
независимы, то P (AB) = P (A)P (B).
Пример 8. Пусть случайные события A, B, C попарно независимы, причем P (A) = 0,4,
P (B) = 0,8, P (C) = 0,3, тогда
P (AB) = 0,32;
9
P (AC) = 0,12;
P (BC) = 0,24;
P (ABC) = 0,096.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорему умножения мы уже вывели:
P (AB) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B).
Обобщая ее на произвольное количество случайных событий, получается формула
P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 A2 ) . . . P (An |A1 A2 . . . An−1 ).
Суммой случайных событий A, B называется событие A + B, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B. Теорема сложения:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
Событие A, состоящее в том, что событие A не произошло, называется противоположным
событию A. P (A) = 1 − P (A).
Пример 9. Устройство представляет собой параллельное соединение трех функциональных
элементов S1 , S2 , S3 . Устройство остается работоспособным до тех пор, пока функционирует
хотя бы один из трех элементов. Вероятность неполадки каждого из трех функциональных
элементов равна p. Какова вероятность правильной работы всего устройства?
Рассмотрим события A1 : „первый элемент функционирует.” A2 : „второй элемент функционирует.” A3 : „третий элемент функционирует.” Вероятности событий P (A1 ) = P (A2 ) =
P (A3 ) = 1 − p. В вопросе требуется найти вероятность P (A1 + A2 + A3 . Вероятность такого
события найти сложно. Проще найти вероятность события A1 A2 A3 : „все три элемента вышли из строя”, она очевидно по теореме произведения равна P (A1 A2 A3 ) = p3 , т. к. каждое из
этих трех событий является независимым. Тогда вероятность того, что устройство правильно
работает равна
1 − P (A1 A2 A3 ) = 1 − p3 .
10
Числовые характеристики дискретных случайных величина
Случайная величина — это набор значений, каждый из которых величина принимает с некоторой заданной вероятностью. Принято записывать случайную величину X в виде таблицы:
5
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
сверху записывают возможные значения, а снизу — вероятности того, что случайная величина примет именно это значение.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число, вычисляемое по формуле:
M (X) = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn .
(1)
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
¡
¢2
D(X) = M X − M (X) .
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) = M (X 2 ) − [M (X)]2 .
(2)
Средним квадратичным отклонением случайной величины называется арифметический
квадратный корень из ее дисперсии:
σ=
p
D(X).
Пример 10. Случайная величина задана следующей таблицей:
X
−1
3
p
0,4
0,6
Математическое ожидание этой случайной величины
M (X) = x1 p1 + x2 p2 = (−1) · 0,4 + 3 · 0,6 = −0,4 + 1,8 = 1,4.
11
Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называется закон,
сопоставляющий каждому возможному значению случайной величины xi вероятность этого значения P (xi ) = pi , причем P (x1 ) + P (x2 ) + . . . + P (xn ) = 1. Обычно распределение
вероятности записывается в виде таблицы (см. выше).
Пример 11. Пусть дан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
X:
X
1
2
3
4
p
0,2
0,3
0,4
a
тогда значение параметра найдется из равенства
0,2 + 0,3 + 0,4 + a = 1 =⇒ a = 1 − 0,2 − 0,3 − 0,4 = 0,1.
6
12
Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерное распределение
Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из множества действительных чисел R. Непрерывная случайная величина задается с помощью плотности распределения вероятности f (x). Вероятность того, что значение непрерывной случайной величины
при выполнении опыта попадает в числовой промежуток (α, β), где α, β ∈ R и α < β равна
Zβ
P (α < X < β) =
f (x)dx.
α
Равномерно распределенная на промежутке (a, b) случайная величина задается плотностью распределения вероятности:

0,

 1
f (x) =
,

 b−a
0,
при x < a,
при a < x < b, .
при x > b,
График функции плотности равномерного распределения приведен на рисунке 1.
f(x)
1/(b-a)
0
a
b
x
Рис. 1. Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины
7
Пример 12. Функция плотности равномерно распределенной в интервале (−1; 4) случайной
величины

 0, при x < −1,
a, при − 1 < x < 4, .
f (x) =

0, при x > 4,
Тогда параметр
a=
13
1
1
= = 0,2.
4 − (−1)
5
Статистическое распределение выборки
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, при этом элементов с признаком x1 извлечено n1 , элементов с признаком x2 — n2 , . . . , элементов с признаком xk — nk ,
причем n1 + n2 + . . . + nk = n. Наблюдаемые значения x1 , x2 , . . . , xk называются вариантами.
Последовательность всех вариант, записанных в возрастающем порядке называется вариационным рядом. Числа n1 , n2 , . . . , nk , сумма которых n1 + n2 + . . . + nk = n равна объему
выборки, называются частотами соответствующих вариант. Числа w1 = n1 /n, w2 = n2 /n,
. . . , wk = nk /n называются относительными частотами соответствующих вариант. Мода вариационного ряда — это варианта xm , частота (или относительная частота) которой больше
частот предшествующей и следующей вариант, т. е. xm−1 < xm ∧ xm+1 < xm .
Статистическое распределение выборки — это соответствие между вариантами и их частотами (или относительными частотами). Статистическое распределение выборки обычно
записывается в виде таблицы, в первой строке которой указываются значения вариант, а во
второй — значения частот:
x1
x2
...
xk
n1
n2
...
nk
или
x1
x2
...
xk
w1
w2
...
wk
Графическим представлением вариационного ряда являются: полигон частот и полигон
относительных частот. Полигон частот — это ломанная в прямоугольной декартовой системе координат, соединяющая точки (x1 , n1 ), (x2 , n2 ), . . . , (xk , nk ). Полигон относительных
частот — это ломанная в прямоугольной декартовой системе координат, соединяющая точки
(x1 , w1 ), (x2 , w2 ), . . . , (xk , wk ).
Рассмотрим распределение 80 предприятий по числу работающих на них:
x, чел. 150 250 350 450 550 650 750
n, прд.
1
3
7
30
19
15
5
Рассчитаем относительные частоты данной выборки:
x, чел.
150
250
350
450
550
650
750
w, прд. 1/80 3/80 7/80 3/8 19/80 3/16 1/16
На рисунках 2 (а,б) приведены полигоны частот и относительных частот данной выборки.
Очевидно, у данного вариационного ряда есть только одна мода — 450.
8
n
n
(ɚ)
30
0,40
(ɛ)
0,35
25
0,30
20
0,25
15
0,20
0,15
10
0,10
5
0,05
x
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
x
0,00
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Рис. 2. (а) — полигон частот; (б) — полигон относительных частот
Пример 13. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50, полигон частот
выборки имеет вид
ni
20
11
4
1
2
3
Число вариант xi = 4 в выборке равно
n4 = n − n1 − n2 − n3 = 50 − 4 − 20 − 11 = 16.
9
4 xi
14
Характеристики вариационного ряда
Рассмотрим произвольную выбору объема n, заданную своим статистическим распределением:
x1
x2
...
xk
n1
n2
...
nk
w1
w2
...
wk
Выборочной средней называется число
x̄ =
x1 n1 + x2 n2 + . . . + xk nk
= x1 w1 + x2 w2 + . . . + xk wk .
n
Выборочной дисперсией называется число
D(x) =
(x1 − x̄)2 n1 + (x2 − x̄)2 n2 + . . . + (xk − x̄)2 nk
.
n
Дисперсию можно вычислять и через относительные частоты
D(x) = (x1 − x̄)2 w1 + (x2 − x̄)2 w2 + . . . + (xk − x̄)2 wk .
p
Средним квадратическим отклонением называется число σ = D(x).
Пример 14. Мода вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 5 равна xm = 2.
15
Точечные оценки параметров распределения
Пусть измеряется некоторая величина x. В процессе измерений получены значения x1 , . . . , xn .
Несмещенная оценка математического ожидания величины x равна
x̄ = Mx =
x1 + . . . + xn
.
n
Несмещенная оценка дисперсии величины x равна
σ 2 = Dx = (x1 − Mx)2 + . . . + (xn − Mx)2 .
Пример 15. Проведено 4 измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5; 6; 9; 12. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна
5 + 6 + 9 + 12
= 8.
4
Пример 16. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без
систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 10, 12, 14. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна
(10 − 12)2 + (12 − 12)2 + (14 − 12)2 = 8.
10
16
Проверка статистических гипотез
Статистической гипотезой называется предположение о распределении вероятностей, которое необходимо проверить по имеющимся данным.
Основной (нулевой) гипотезой называется выдвинутая для проверки гипотеза H0 . Конкурирующей (альтернативной) гипотезой называется гипотеза H1 , которая противоречит основной.
Статистическим критерием (или просто, критерием) называется случайная величина K,
которая служит для проверки гипотезы. Вычисленное по имеющейся выборке значение критерия kнабл называется наблюдаемым (эмпирическим) значением критерия.
Область принятия гипотезы — это набор значений критерия, при которых основную гипотезу принимают. Критическая область — это набор значений критерия, при которых основную гипотезу отвергают. Критическими точками называются значения критерия kкр , отделяющие области принятия гипотезы от критических областей.
Пример 17. Если основная гипотеза H0 : a = 10, то конкурирующей гипотезой будет H1 :
a 6= 10.
17
Элементы алгебры логики высказываний
Предикат принято обозначать прописной латинской буквой, за которой в скобках через запятую перечисляются все переменные этого предиката. Следующие предложения, например
P (x) :
Q(x, y) :
R(x, y, z) :
S(x) :
3 + x = 5;
x2 + y 2 > 0;
x2 + y 2 > z 2 ;
−1 6 sin(x) 6 1,
являются предикатами. Предикат, содержащий одну переменную, называется одноместным
предикатом, например P (x) : 3 + x = 5. Предикат, содержащий две переменных, называется двухместным предикатом, например Q(x, y) : x2 + y 2 > 0. Предикат, содержащий три
переменных, называется трехместным предикатом, например R(x, y, z) : x2 + y 2 > z 2 . И т. д.
Например, при подстановке вместо x числа 2 предикат P (2) : 3 + 2 = 5 превращается в
истинное высказывание, т. е. 2 удовлетворяет предикату P (x). А при подстановке вместо x
числа 7 предикат P (7) : 3 + 7 = 5 превращается в ложное высказывание, т. е. 7 не удовлетворяет предикату P (x).
Предложение вида „Для любого x ∈ U истинно S(x).” принято заменять символической
записью
∀x∈U S(x),
где S(x) — это произвольный предикат. Символ ∀ называется квантором всеобщности, читается „для любого” или „для всех”.
Предложение вида „Существует хотя бы один x ∈ U , для которого истинно P (x).” принято
заменять символической записью
∃x∈U P (x),
где P (x) — произвольный предикат. Символ ∃ называется квантором существования, читается „существует” или „существует хотя бы один”.
11
Для произвольных предикатов P (x), Q(x) справедливы следующие эквивалентности:
∼ ∀x∈U P (x) ≡ ∃x∈U ∼ P (x);
∼ ∃x∈U Q(x) ≡ ∀x∈U ∼ Q(x);
∀x∈U (P (x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x∈U P (x) ∧ ∀x∈U Q(x);
∃x∈U (P (x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x∈U P (x) ∨ ∃x∈U Q(x);
Например, если
p : „Все целые числа являются простыми.”
то
∼ p : „Некоторые целые числа не являются простыми.”
Если
q : „Некоторые люди любят есть репу.”
то
∼ q : „Все люди не любят есть репу.”
Пример 18. Высказывание «всякое рациональное число равно самому себе» можно записать
в символическом виде
∀x ∈ Q(x = x).
18
Способы задания множеств
Перечислением. Все элементы множества перечисляются в фигурных скобках через запятую A = {a1 , a2 , . . . , an }.
С помощью теоретико-множественных операций. Если заданы множества A, B, то
можно задать множества A ∩ B, A ∪ B, A \ B и т. д.
Формулой. Каждый элемент множества вычисляется по некоторой формуле xn = f (n).
Рекуррентно. Каждый элемент множества вычисляется по некоторой формуле
xn = f (n, xn−1 , xn−2 , . . . , xn−k ), при этом элементы x1 , x2 , . . . , xk задаются вручную.
Пример 19. Множество x = {2, 3, 5, 7} задано перечислением.
Множество x = {3, 5} ∪ {8, 11} задано с помощью теоретико-множественных операций.
√
Множество xn = 3 + n задано формулой.
Множество xn = 2xn−1 + 3n, x1 = 0 задано рекуррентно.
12
19
Операции над множествами (объединение, пересечение, разность)
Пусть заданы множества A и B, тогда
1. Множество A ∩ B, состоящее из всех элементов x общих для обоих множеств и A, и B,
называется пересечением множеств A и B.
2. Множество A ∪ B, состоящее из всех элементов x, принадлежащиххотя бы одному из
множеств A или B, называется объединением множеств A и B.
3. Множество A \ B, состоящее из всех элементов x, принадлежащих A, но не принадлежащих B, называется разностью множеств A и B.
Пример 20. Пусть заданы множества A = {1, 3, 5, 8, 9, 12} и B = {1, 3, 5, 7}, тогда
1. A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 12}.
2. A ∩ B = {1, 3, 5}.
3. A \ B = {8, 9, 12}.
4. B \ A = {7}.
20
Элементы комбинаторики
Пусть E = {e1 , . . . , en } некоторое n-элементное множество. Тогда сочетанием из n элементов
по r, 0 6 r 6 n называется любое r-элементное подмножество множества E. Перестановкой
(размещением) без повторений из n элементов по r называется упорядоченный набор длины
r, 0 6 r 6 n из элементов множества E, при этом каждый элемент ei встречается в перестановке не более одного раза. Перестановкой (размещением) с повторениями из n элементов
по r называется упорядоченный набор длины r, r > 0 из элементов множества E, при этом
каждый элемент ei может встречается в перестановке сколько угодно раз.
Число сочетаний из n элементов по r равно
µ ¶
n
n!
r
=
Cn =
, (0! = 1).
r
r!(n − r)!
Число перестановок без повторений из n элементов по r равно
Arn = (n)r =
n!
.
(n − r)!
Число перестановок с повторениями из n элементов по r равно
br = nr .
A
n
Пример 21. Количество перестановок букв в слове «зачет» равно
N = A55 =
5!
= 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120.
(5 − 5)!
13
¯
¯ 1 5
№1. Определитель ¯¯
a b
¯
¯
¯ равен
¯
a + 5b
a − 5b
b + 5a
b − 5a
№2. Вычислите определители:
¯
¯
¯ 5 7 −1 ¯
¯
¯
• ¯¯ 0 4 −2 ¯¯ =
¯ 0 0 3 ¯
¯
¯
¯ −2 0 0 ¯
¯
¯
• ¯¯ 14 1 0 ¯¯ =
¯ 38 2 11 ¯
¯
¯
¯ 3 17 −2 ¯
¯
¯
• ¯¯ 0 0 1 ¯¯ =
¯ 0 0 6 ¯
¯
¯
¯ 2 13 1 ¯
¯
¯
• ¯¯ 0 4 3 ¯¯ =
¯ 0 0 6 ¯
µ
№3. Даны матрицы A =
µ
µ
µ
1 2
0 4
1 2
0 −3
¶
¶
µ
2 −3
, тогда A − B равна
,B=
0 4
¶
2 −3
0 −3
¶
−1 5
0 −7
µ
¶
3 −1
0 1
¶
µ
№4. Матрица A =
1 5
λ 3
¶
не имеет обратной λ равном
1
4
1
2
14
3
5
2
3
 №5. Расширенная матрица системы линейных алгебраических уравнений
 x2 − x3 = 0,
x2 + x3 = 1,
имеет вид . . .

x1 + 2x2 = −1.


0 1 −1
 0 1 1 
1 2 0


1 −1 0
 1 1
1 
1 2 −1


0 1 −1 0
 0 1 1
1 
1 2 0 −1


1 −1 1 0
 1 1 1 1 
1 2 1 1
№6. Укажите системы линейных алгебраических уравнений, подготовленные для обратного хода метода Гаусса:
½
x1 + x2 = 2,
1.
x2 = 1.

 x1 + 5x2 − 2x3 = 0,
x2 + 3x3 = 1,
2.

x1 + x3 = 11.

 2x1 + x2 − x3 = 7,
x1 + x3 = 3,
3.

x1 + x2 + x3 = 1.

 x1 + 5x2 − 2x3 = 4,
x2 + x3 = 2,
4.

x3 = 10.
№7. Вероятность невозможного события равна . . .
0,5
0
1
15
−1
№8. Пусть случайные события A, B, C попарно независимы, причем P (A) = 0,1, P (B) =
0,5, P (C) = 0,2, тогда
• P (AB) =
• P (AC) =
• P (BC) =
• P (ABC) =
№9. Два стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятность того, что первый
стрелок поразит мишень равна 0,9, второй стрелок — 0,8. Тогда вероятность того, что мишень
будет поражена. . .
0,5
0,72
0,9
0,98
№10. Случайная величина задана следующей таблицей:
X
1
5
p
0,4
0,6
Математическое ожидание этой случайной величины равно. . .
3
2,6
3,4
0,5
№11. Пусть дан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X:
X
1
2
3
4
p
0,1
0,2
0,4
a
тогда значение параметра a равно. . .
0,9
0,8
0,5
0,3
№12. Плотность распределения вероятностей равномерно распределенной на интервале
(1; 5) равна. . .
16
1,25
1
0,5
0,25
№13. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 48, полигон частот
выборки имеет вид
ni
20
11
4
1
2
3
4 xi
Число вариант xi = 4 в выборке равно. . .
14
15
16
17
№14. Мода вариационного ряда 1, 2, 3, 4, 4, 5 равна. . .
1
2
4
8
№15. Проведено 4 измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 6; 8; 9; 11. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна. . .
7,6
8,5
9,25
17
8
№16.Если основная гипотеза H0 : a > 10, то конкурирующей гипотезой будет. . .
H1 : a 6 20
H1 : a 6 10
H1 : a = 10
H1 : a > 10
№17. Высказывание «квадрат любого числа неотрицателен» можно записать в символическом виде. . .
∀x ∈ R, ∃x ∈ R(x2 > 0).
∃x ∈ R, ∀x ∈ R(x2 > 0).
∀x ∈ R(x2 > 0).
∃x ∈ R(x2 > 0).
№18. Укажите способ задания множеств. . .
• xn = xn−1 + xn−2 , x0 = 0, x1 = 1 —
• xn = n2 − 5n + 6 —
• x = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} —
• x = (0; 2.5) ∪ (2; 15) —
№19. Даны числовые множества A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, тогда. . .
• A∪B =
• A∩B =
• A\B =
• B\A=
№20. Количество перестановок букв в слове «тест» равно. . .
4
120
12
24
18