1_07

1.7. Зонная теория
ферромагнетизма
Спиновый парамагнетизм в теории
Стонера. Переход металл – диэлектрик.
Модель Хаббарда. Модель Мотта
Приближение сильной связи
.
 Электрон в твердом теле ведет себя как квазичастица: в отсутствии
примесей он не рассеивается, имеет определенный квазиимпульс
(не являющийся собственным числом оператора импульса), закон
дисперсии, отличный от закона дисперсии свободной частицы и,
соответственно, не имеет определенной координаты
 Рассмотрим идеальный кристалл в приближении сильной связи.
Хорошим квантовым числом в приближении сильной связи
электрона с узлом является номер узла. Если ввести узельные
операторы рождения и уничтожения электрона на узле, то
гамильтониан системы запишется следующим образом:
H    0 ai ai   t ij ai a j
i
 Первый
i  j,
член описывает “затравочную” (нулевую) энергию
электронов, локализованных на узлах; второй член описывает
перескоки на соседние узлы
2
Приближение сильной связи
.
 Перейдем к фурье-представлению:
 
1
a l 
 a p exp(i p R l )
N p

l
a 
1
N
a
p

p
 
exp(i p R l )
 Тогда гамильтониан принимает диагональный вид:
H
 p a
p

p
ap ;


 p   0   t(| R l | exp(i p R l )
Rl
 Закон дисперсии электрона с учетом взаимодействия только
ближайших соседей
 q   0  2t(cos qX a  cos qY a  cos qZ a)
 Одномерный случай:
 q   0  2t cos qa
 Эффективная масса электрона:
2
m 
2ta 2
*
3
Приближение сильной связи
.
 Этот закон дисперсии описывает полосу энергии, равную 2Zt, так
4
называемую зону проводимости. Ее ширина пропорциональна
вероятности перескока. При увеличении концентрации электронов
зона может последовательно заполняться в соответствии с
принципом Паули.
Парамагнетизм Паули
.
 Рассмотрим газ свободных электронов в слабом магнитном поле.
Суммарная энергия электрона будет зависеть от ориентации его
спина относительно внешнего поля:
 p    p   0H;
 p    p   0H
 Суммарный магнитный момент системы есть сумма магнитных
моментов электронов со спином вверх минус магнитный момент
электронов со спином вниз:
M  (n   n  ) 0 ;
n 
 f ( p
p
  0 H)  1 / 2  ()df (   0H),   1.
 Для малых полей
M  20H d()(  f )
 При низких температурах
M   20H(E f );
5
   20(E f ).
Ферромагнетизм в модели
Стонера
.
 Рассмотрим газ делокализованных электронов с кулоновским
взаимодействием
V  1/2

pp ' q'
V(q) ap q,ap'  q,'ap' 'ap
 В приближении среднего поля:
V  1/2
 V(q){ ap q,ap
pp ' q'
 1/2
 ap'  q,'ap ''    ap q,ap' '  ap'  q,'ap } 


 ( V(0)  V(| p  p'|' )fp fp''.
pp ' '
 Газ можно рассматривать как свободный с законом дисперсии


p  p  1 / N ( V(0)  V(| p  p'| ' )fp' '
p' '
6
Ферромагнетизм в модели
Стонера
.
 Кулоновское взаимодействие сильно экранировано, и поэтому при
малых импульсах можно пренебречь зависимостью матричного
элемента от импульса:
4 e 2
4 e 2
V(| q |)  2

 V  const
2
2
q  k0
k0

 Окончательно,
p  p  V / N fp'
p'
 Средняя намагниченность системы:
R
1
{N  N }, N 
N 
 Самосогласованное
 fp ,
p
N N  N .
уравнение Стонера для намагниченности
электронного газа с кулоновским взаимодействием:
R
7
1  
VR 
VR 

f

,

,

,


f

,

,
,  ,





p
p
N p  
2
2



f , p , x ,    {exp[( p  x  )]  1} 1 .
Ферромагнетизм в модели
Стонера
.
 Нормировка на число частиц:
N
 exp(
p
1
p  )   1
 Исследуем в общем случае условия существования фазового
перехода. При разложении до первой производной фермиевской
функции распределения по энергии имеем:
1 
 При низких температурах
V
N
fp
 
p
p
1  V()
 Разложим уравнение Стонера до третьей производной функции
распределения по энергии:
V
1
N
8
fp
V 3R 2
 (  )  24
p
p
 (
p
 3 fp
3
p
)
Ферромагнетизм в модели
Стонера
.
 В наиболее существенной области интегрирования ε~μ и
2   
3
(
1

2
sh
[
])
 fp
1
2T

 0
3
3



p
8T
ch 4 [
]
2T
 Условие Блоха – Стонера для существования при ненулевой
температуре спонтанной намагниченности:
|
fp
V
|1

N p p
 Условие на параметр взаимодействия при низких температурах:
2
V  Ef
3
 Ферромагнетизм Стонера возникает только при достаточно
большом параметре кулоновского взаимодействия
9
Модель Хаббарда
.
 Гамильтониан ферми-газа с кулоновским взаимодействием:
H
 p ap, ap
1/2
p
 Vp p p 'p
1
p1p2p1 / p2 ''
2 1


a
a
p1 , p2 , ' ap2 ' ' ap1 ' .
2'
 Хорошим квантовым числом является номер узла. Перейдем от
импульсного представления к узельным операторам:
ap

1

ai exp{i p ri }

N i
 Кинетическая часть гамильтониана имеет вид:
Hkin 
 t ij ai a j ,
i  j, 
 



1
t ij    p exp(i p[ ri  rj ]) ~ exp( | ri  rj | aB ) .
N p
 Амплитуда перескока быстро затухает в узкозонном веществе с
сильно локализованными носителями, и обычно достаточно учесть
перескоки только на ближайшие соседи
10
Модель Хаббарда
.
 Потенциальная часть гамильтониана в узельном представлении:
Hint 
Vijkl
1
Vijkl aia j'al'ak ,

2 ijkl '
 
 
 
 
1
'
 2  Vp1p 2p1 'p 2 ' exp[i{p1 ri  p2 rj  p2 rl  p1' rk }].
N p1 p 2 p 1 ' p 2 '
 Полагая, что главный вклад дает взаимодействие на одних и тех же
узлах , получаем:
H
 t ij aia j 
i  j,
1
Uai ai ai  ai  

2 i
 В приближении ближайших соседей:
H  t
 aia j  Unini ,
i  j, 
i
ni  ai ai
 Знак перескока выбирается из удобства отсчета получающихся зон
11
симметрично от центра зоны Бриллюэна: смена знака у перескока
не меняет спектр модели Хаббарда, если перескок происходит
только между ближайшими соседями
Модель Хаббарда
.
 Рассмотрим
сначала
предел
сильного
кулоновского
взаимодействия. Пусть в системе половинное заполнение, тогда
электроны заперты каждый на своем узле и энергия
E
 {E 0 (ni   ni  )  Uni ni  }  N1E 0  N2 (2E 0  U)
i
 Если теперь “включить” перескок t, то локализованные состояния
начинают расщепляться в зоны шириной порядка 2Zt, где Z – число
ближайших соседей (нижняя и верхняя Хаббардовские зоны). Пока
зоны не слились, вещество остается диэлектриком. При
критической величине расщепления щель исчезает, и система
переходит в состояние металла
12
Модель Мотта
.
 У ряда переходных соединений с увеличением температуры
происходит скачок проводимости, который может достигать многих
порядков величины. Возможное объяснение состоит в том, что с
увеличением температуры величина постоянной решетки
переходит
через
пороговое
значение,
при
котором
локализованные электроны становятся делокализованными
 Пусть сначала вещество находится в состоянии изолятора.
Валентный электрон движется вокруг своего иона, находясь в его
кулоновском поле, с энергией
e2
2
E

r
2mr 2
 Значение энергии в точке минимума:
e2
E
0
2a B
 образом, электрон находится в связанном состоянии, не проводит
13
ток, и состояние – изолятор
Модель Мотта
.
 Учтем, что в электронном газе кулоновское взаимодействие сильно
экранировано
 Рассчитаем отклик системы электронов на слабый приложенный
потенциал:
  n(e)  n(0) 
 0 


1
1

 1  exp[(  e  )] 1  exp[(  )]  
k 

k
k
f
  e k
k
k
 e (  E f ) T E f  e(E f ).
k
 Рассмотрим уравнение Пуассона
 2   4 e( 0  ),  0  (r)
 Переходя к фурье-компонентам, находим:
q 
14
4 e
1
2
,
r

D
q2  1 rD2
4 e 2 (E f )
Модель Мотта
.
 Координатная зависимость потенциала:


 ( r )  4  e  d3 q
 Дебаевский радиус
электронов:
exp[r / rD ]
exp[i q r ]

e
r
q2  rD2
экранирования зависит от концентрации
1
6 e 2n
1/3

~
n
Ef
rD2
 Экранирование ослабляет энергию связи, и при определенном
значении rD может наступить делокализация электрона, и переход
Мотта в металлическое состояние. Условие перехода:
n1 / 3 aB 
1  1/3 1
( )

4 3
4
 При возрастании плотности электронного газа (т.е. увеличении
15
давления и уменьшении межатомного расстояния) до величины,
когда на каждый электрон приходится сфера с радиусом порядка
боровского радиуса, система переходит из диэлектрического
состояния в металлическое, т.е. реализуется переход Мотта