Теория оболочек

Теория оболочек
Теория анизотропных оболочек
основные определения
описание геометрии оболочек
квадратичные формы и кривизны поверхности
Основные определения

Оболочками называются тела, ограниченные двумя криволинейными
поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими
размерами тела (рис.1).
Рис.1.Оболочка

Поверхность, равноудалённую от ограничивающих поверхностей Г1 и Г2 ,
называют срединной поверхностью.
Длинна нормали к серединной поверхности определяет толщину оболочки h,
которая может быть как постоянной, так и переменной.

Поверхности, равноудалённые от серединной поверхности, называются
эквидистантными или координатными .

Описание геометрии оболочек
Рис.2.Координатная поверхность
Рассмотрим координатную поверхность r = r(α,β) (Рис.2), приращения
координат dα и dβ, которые приведут к изменению вектора r на величину
(1)
Рассмотрим норму вектора dr, скалярное произведение самого на себя:
(2)
Описание геометрии оболочек
Таким образом
(3)
где ds – длина дуги СΔ,
χ – угол междц координатными линиями α,β,
коэффициенты первой квадратичной формы или параметры Ламе
(4)
Рассмотрим изменение вектора dr при перемещении вдоль дуги ds:
(5)
Квадратичные формы и кривизны поверхности
Для пространственной кривой, описываемой вектором r вдоль дуги ds,
справедливо выражение
(6)
где ρ – радиус кривизны,
k = 1/ ρ – кривизна,
v - единичный вектор главной нормали кривой s.
Дифференцирование (5) по s приводит к формуле:
(6)
Квадратичные формы и кривизны поверхности
Домножив левую и правую части этого уравнения на единичный вектор n,
нормальный к координатной поверхности.
(7)
или
(8)
где φ – угол между векторами v,n;
(9)


кривизны k1, k2 называют главными кривизнами,
R1,R2 - главными радиусами соответствующих кривизн оболочки.
Квадратичные формы и кривизны поверхности



Произведение кривизн к1к2 называют гауссовой кривизной.
Абсолютное значение гауссовой кривизны показывает степень
искривленности поверхности в окрестности точки; знак минус характеризует
форму.
Полусумму главных кривизн 1/2(к1 + к2) называют средней кривизной
поверхности.
Таким образом, для описания формы координатной поверхности оболочки в
системе координат α,β необходимо знать главные кривизны или главные
радиусы кривизн поверхности.