chap 6

ГЛАВА 6
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБОЛОЧКАХ
Теория расчета оболочек является одной из наиболее интенсивно развивающихся ветвей прикладной теории упругости. Связано это, в первую очередь, с высокой экономичностью конструкций, выполняемых с применением
оболочек, с расширением области их использования.
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя поверхностями и имеющее один размер (толщину) намного меньше двух других размеров.
Мы будем рассматривать оболочки постоянной толщины (рис. 6.1). Поверхность, проходящая через точки, расположенные посредине толщины оболочки, называется срединной поверхностью оболочки. В оболочках постоянной
толщины геометрия срединной поверхности определяет геометрию оболочки в
целом.
Рассмотрим участок произвольной поверхности a (рис. 6.2). В точке C
проведем нормаль n к ней. Любая плоскость b, содержащая эту нормаль, (т.е.
нормальная плоскость) пересекается с поверхностью a по плоской кривой ,
радиус кривизны которой в окрестности точки C обозначим R, а центр кривизны – O. Величина k = I/R называется кривизной кривой , в окрестности точки
С.
Если вращать плоскость b вокруг нормали n, получим на поверхности a
семейство кривых, проходящих через точку C. Центр кривизны O будет при
этом перемещаться вдоль нормали. Отметим два его положения: O1 и O2 –
наиболее и наименее удалённые от поверхности a. Этим центрам соответствуют максимальный и минимальный ( R1 и R2 ) радиусы, которые называются
главными радиусами кривизны поверхности a в точке C.
Соответственно k1 = I/R1 и k2 = I/R2 называются главными кривизнами.
Им соответствуют на поверхности a линии 1 и 2, называемые линиями главных кривизн. В любой точке поверхности линии главных кривизн нормальны
друг другу.
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
139
n
b
с
а
h
2

1
2
R2
R
R1
O2
Рис. 6.1
O
O1
Рис. 6.2
На всякую поверхность можно нанести ортогональную сетку, состоящую
из линий главных кривизн (рис. 6.3).
(б)
(а)
t
t
t
1
2
t
Рис. 6.3
Линии главных кривизн характерны еще и тем, что вдоль них отсутствует
кручение поверхности. Это означает, что если взять два элемента: t, образованный двумя парами линий главных кривизн, и t , образованный какими-то другими ортогональными линиями, то спроектировав их на нормальные плоскости
соответственно b и b , увидим (рис. 6.3), что второй из них закручен, а первый–
нет.
Величина
k  k1 k 2 
1
R1R2
(6.1)
называется гауссовой кривизной. Важной характеристикой поверхности является знак гауссовой кривизны, который зависит от того, как расположены центры
главных кривизн по отношению к поверхности (рис. 6.4).
ГЛАВА 6
140
Гауссова кривизна срединной поверхности предопределяет общую жесткость оболочки, т.е. её способность сохранить первоначальную форму при действии внешних сил. Наиболее жестки в этом смысле оболочки, со срединной
поверхностью, обладающей положительной гауссовой кривизной, сокращенно
называемые оболочками положительной гауссовой кривизны. Менее жестки
оболочки, характеризующиеся нулевой гауссовой кривизной.
n
n
n
R1
R2
K>0
R1  
R1
R2
R2
K=0
K<0
Рис. 6.4
Наименее жестки оболочки с отрицательной гауссовой кривизной.
Срединные поверхности оболочек, применяемых в строительстве, могут
быть образованы различными способами. Укажем некоторые, наиболее важные, случаи.
– Поверхности вращения (рис. 6.5) образованы вращением плоской кривой
вокруг прямой линии. Для таких поверхностей линиями главных кривизн
являются меридианы и параллели.
– Поверхности переноса, (рис. 6.6) образованы перемещением плоской
кривой t, лежащей в вертикальной плоскости b, по двум направляющим
кривым s, лежащим также в вертикальных плоскостях, перпендикулярных плоскости b.
– Линейчатые поверхности (рис. 6.7) образованы перемещением прямой
линии по двум прямым (но не параллельным) или кривым направляющим.
Примечание. Иногда одну и ту же поверхность можно образовать разными
способами. Так, цилиндрическая поверхность может считаться поверхностью
вращения, переноса и линейчатой; гиперболоид вращения – линейчатой поверхностью.
Если отношение толщины оболочки h к наименьшему из главных радиусов кривизны не превышает 1/20, то такая оболочка считается тонкой. (В реальных конструкциях покрытий это отношение может доходить до 1/200-
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
141
k=0
k>0
параболоид
k<0
конус
гиперболоид
Рис. 6.5
s
K<0
t
K>0
s
s
s
t
t
Рис. 6.6
коноид
гипар
S2
K>0
K>0
t
S2
S1
t
S1
Рис. 6.7
142
ГЛАВА 6
-1/500). Теория расчета тонких оболочек основана, кроме общих гипотез теории упругости, на следующих гипотезах:
1. Прямой отрезок, нормальный к срединной поверхности, остается после
деформации прямым и нормальным к деформированной срединной поверхности, а длина его не изменяется.
2. Нормальными напряжениями, действующими по нормали к срединной
поверхности можно пренебречь.
(Эти предположения не отличаются от гипотез теории изгиба пластинок).
Внутренние усилия в оболочке делятся на две группы:
а) усилия мембранного типа (рис.6.8, (а)): нормальные N1 , N 2 и сдвигающие S12 , S 21 ; такие усилия могут возникать в плоском диске или в тонкой мембране;
б) усилия моментного типа (рис. 6.8, (б)): изгибающие моменты M 1 , M 2 ,
крутящие моменты M 12 , M 21 , поперечные силы Q1 и Q2 ; такие усилия
могут возникать в плоских пластинках.
Для тонких оболочек можно с достаточной точностью принять, что
(6.2)
S12  S21  S , M12  M 21  M k .
В оболочке возникают деформации: линейные 1., 2., угловые , деформации искривления X 1 , X 2 и кручения .
Перемещение оболочки обычно характеризуется тремя проекциями перемещения рассматриваемой точки срединной поверхности на координатные оси
x, y и z. Эти проекции обозначаются через u, v и w (рис. 6.9).
Между усилиями и деформациями существует такое соответствие:
M1  X 1
N1  1 ,
N2   2 ,
M2  X2
S  ,
Mk  
Усилиям Q1 и Q2 не соответствуют, как и в пластинках, никакие деформации, т.к. в силу гипотезы 1 в поперечных сечениях оболочки нет деформаций
сдвига. Таким образом, в теории оболочек рассматриваются 8 усилий, 6 деформаций и 3 перемещения. Каждая из этих величин является функцией двух координат (в общем случае криволинейных – 1 и  2 ).
Внешняя нагрузка, действующая на оболочку, задается в виде проекций
на координатные оси x, y и z, причем проекции обозначаются через X , Y и Z
(рис. 6.9).
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
143
(б)
(а)
N2
S21
M2
N1
S12
M1
Q2 M21
M12 Q1
Рис. 6.8
(б)
(а)
y
2
w
X
Y
u
v
y
x
1
z
x
2
Z
Z
z
1
Рис. 6.9
Если в какой-либо области оболочки действуют только мембранные усилия, то такое напряженное состояние называется безмоментным. При этом
напряжения в поперечных сечениях распределяются равномерно по толщине, и
несущая способность материала используется наиболее полно. Поэтому с применением оболочек можно перекрывать в десятки раз большие пролеты, чем с
применением пластинок той же толщины, благодаря чему оболочки оказываются весьма экономичными конструкциями. При проектировании оболочек
нужно стремиться к тому, чтобы усилия моментного типа были возможно
меньше по величине и действовали в ограниченных областях.
6.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Напряженное состояние, характеризуемое лишь нормальными и сдвигающими силами, действующими в плоскостях, касательных к срединной поверхности оболочки (рис. 6.8, (а)) называется безмоментным напряженным состоянием. Условия, при которых изгибающие и крутящие моменты и связанные с ними перерезывающие силы настолько малы, что ими можно пренебречь,
следующие:
1. Оболочка должна иметь плавно изменяющуюся, непрерывную поверхность; переломов поверхности, изменения толщины быть не должно.
2. Нагрузка на оболочку должна быть плавной и непрерывной. В соответствии с принципом Сен-Венана может быть учтено и действие сосредоточенной силы.
ГЛАВА 6
144
3. Условия закрепления краев должны быть таковы, чтобы края имели возможность перемещений в направлении нормали к поверхности оболочки.
Неподвижное закрепление краев нарушает безмоментное напряженное
состояние.
4. Силы, приложенные к краям оболочки, должны лежать в плоскости, касательной к ее поверхности.
На рис. 6.10 показан элемент произвольной оболочки вращения, заданный в сферической системе координат (, , r):  – угол, образованный перпендикуляром к оболочке и осью вращения;  – угол между двумя меридианами.
(б)
(а)
N
z
N

N
a
S
b
Z ds2
X N +
S
ds1 Y
d
ds2+ S+
S+ c
z
n
r d
d
R2
N
Y
dz
d
R1
Z
dr
d
d /2
O1
t
N
r
a
N+
d
dz
R2

r
O2
N

d
R1
d
O1
Рис. 6.10
Из рис. 6.10 можно установить, что
(6.3)
r  R2 sin , ab  ds2  rd  R2d , ad  ds1  R1d ,
где R1 – радиус кривизны меридиана; R2 – длина нормали к поверхности оболочки, замеренная от касательной к поверхности t до оси вращения, – радиус
кривизны широты; r – радиус горизонтального сечения оболочки на расстоянии
Z от ее вершины. Пусть оболочка подвергается действию распределенной
нагрузки Y – касательной и Z – нормальной к меридиану. В силу симметрии
оболочки и нагрузки в малом элементе abcd, выделенном из оболочки соседними меридиональными и кольцевыми сечениями, возникают лишь нормальные силы N и N . Сдвигающая сила S = 0.
Составим теперь уравнение равновесия элемента оболочки, пренебрегая
при этом малыми высших порядков. Уравнение проекций сил на нормаль n
Z ds1ds2  2 N ds2 sin
d
d
 2 N ds1 sin
 0.
2
2
(6.4)
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
145
С учетом того, что sin
d d
d d


, sin
2
2
2
2
и согласно (6.3)
d ds1 d ds2
,
уравнение (6.4), после деления на ds1ds2 приобретает


2 2 R1 2
2 R2
вид:
N
R1

N
 Z  0.
R2
(6.5)
Это одно из уравнений равновесия. Другое получим, составляя сумму
проекций сил на направление касательной t к меридиану.
Составляющая нагрузки в направлении оси t Y ds1ds2 ; на верхнюю сторону (грань) ab элемента действует сила
N ds2  N rd  N R2 sin d .
Соответствующая сила на нижней грани элемента
N



dr
 N   d  r 
d d ,

d



где учтено приращение не только усилия, но и грани. Из последних двух выражений, пренебрегая малой величиной второго порядка, находим, что равнодействующая в направлении t равна
N 
dr
d
N r dd .
dd 
rdd 
d

d
Силы, действующие на боковые стороны элемента, равны N ds1  N R1d , а
их равнодействующая в направлении радиуса r параллельного круга равна
N R1d sin d  N R1dd . Компонент этой силы в направлении t
 N R1 cosdd .
N
Суммируя эти силы и внешнюю нагрузку, получим
d
N r dd  N R1 cos dd  Y R1rdd  0 .
d
Сокращая на dd , получим второе уравнение равновесия
d
N r   N R1 cos  R1rY  0 .
(6.6)
d
dr
 ad cos  R1d cos , то есть
Из рис. 6.10, (б) следует, что d d 
d
R1 cos  dr d . Следовательно
d
N r   N dr  R1rY  0 .
(6.7)
dr
d
Таким образом, для определения двух неизвестных продольных усилий в меридиональном – N и кольцевом – N направлениях получена система, состоящая
ГЛАВА 6
146
из двух уравнений равновесия. Задача статически определима.
Когда присутствует и составляющая внешней нагрузки X , приложенная
по касательной к параллели, в оболочке возникает и сдвигающая сила S. Если
составить третье из уравнений равновесия: суммы проекций сил на касательную к средней параллели малого элемента, то получим систему из трех уравнений
 N r 
S
 N R1 cos  Y R1r  0 ,


N
 Sr 
 R1   SR1 cos   X R1r  0 ,


N N

 Z  0.
R1 R2
 R1
(6.8)
Первое из уравнений (6.8) отличается от (6.7) тем, что в него добавлена составляющая, связанная со сдвигом. И в этом случае, когда неизвестных – три, задача расчета оболочки – статически определима.