06.Предельные законы теории вероятностей

Предельные законы
теории вероятностей
Неравенство
Чебышева
 Пусть имеется СВ X с математическим
ожиданием
и дисперсией
m .
Каково бы ни D
было положительное
число , вероятность того, что
величина отклонится от своего
математического ожидания не меньше
чем на
, ограничена сверху числом
D
:
2



P X  m    
D

2
 Если СВ X , для которой существует
математическое ожидание m , может
принимать только неотрицательные
значения(т.е. P X  0  0 ), то вероятность
того, что принятое ею значение окажется
не меньше 1, не превосходит числа m :
P X  1  m.
 Следствие P X  m     1 
D

2
.
P X  m     P X  m     1,
P X  m     1  P X  m    
P X  m     1 
D

2
.
D

2
,
Теорема Чебышева
 Пусть имеется бесконечная
последовательность независимых
случайных величин X 1 , X 2 ,..., X n с одним и
тем же математическим ожиданием и
дисперсиями, ограниченными одной и той же
M  X 1   M  X 2   ...  M  X n   m,
постоянной:
D X 1   C, D X 2   C, ...., D X n   C.
 Тогда каково бы ни было положительное
число  ,
 X 1  X 2  ...  X n

P
 m     1, при n  .
n


Локальная приближенная
формула Лапласа
( n -велико)
Pn ( k ) 
где
x
1
npq
  ( x),
k  np
npq
;
 ( x) 
1
e
2
x2

2
;
 ( x)   ( x)
Интегральная формула
Лапласа
 Формула позволяет найти
k k2
 P (k )  P (k
k  k1
n
n
1
 k  k2 )
x2
0
x2
x1
x1
0
Pn (k1  k  k2 )    ( x )dx    ( x )dx    ( x )dx 
x1
x2
0
0
    ( x )dx    ( x )dx.
 Пусть
x
x
t2

2
1
 ( x )    (t )dt 
  e dt;
2

0
0
 (  x )   ( x )
Свойства интегральной функции
Лапласа
1)
 (  x )   ( x )
2) при
x   x  0,5
 Тогда
Pn (k1  k  k2 )  ( x1 )  ( x2 ),
где
x1 
k1  np
npq
, x2 
k 2  np
npq
.
средние величины
представляют собой
обобщенную
характеристику признака в
статистической
совокупности в конкретных
условиях места и времени
Значимость использования
средних величин
СРЕДНЯЯ
ВЕЛИЧИНА
заменяет индивидуальные
значения варьирующего
признака единиц
наблюдения,
на усредненную
величину, достаточно
объективно
отражающую
свойства совокупности
принципы применения
средних величин
 обоснованность выбора единиц
совокупности
 определение качественного содержания
усредняемого
признака
 учет взаимосвязи изучаемых признаков
 Средняя арифметическая простая
 Средняя арифметическая




взвешенная
Средняя гармоническая
Средняя геометрическая
Средняя хронологическая
Структурные (описательные
средние) - мода, медиана
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОСТАЯ
вычисляется, как сумма отдельных
значений признака деленная на их число
xi
x 
n
где xi - индивидуальное значение i-ого признака,
n - общий объем совокупности
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОСТАЯ
Например:
Имеются данные о стаже 7 работников
фирмы (лет):
15, 12, 16, 21, 11, 10, 13 .
Х = 15+12+16+21+11+10+13 = 98 =14 лет.,
7
7
Средний стаж одного работника составил 14 лет.
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ВЗВЕШЕННАЯ
вычисляется, если имеются многократные
повторения значения признака и совокупность
разбита на группы
xi * f i
x 
f i
где - Х i значения признака в i-ой группе ,
fi -число повторов (частоты) в i-ой группе,
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ВЗВЕШЕННАЯ
Данные о возрасте 20 работников
Возраст, лет
20
25
26
30
32
42
ИТОГО
Число работников, чел.
4
5
2
2
4
3
20
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ВЗВЕШЕННАЯ
за х - примем признак возраст,
за f - количество работников определенного
возраста
Х = 20*4+25*5+26*2+30*2+32*4+42*3 = 571 = 28, 55 лет
20
20
средний возраст работника составляет около 29 лет.
Рассчитывается, если отсутствуют данные о
величине частот признака (f), но имеются
данные об индивидуальных значениях признака
(x) и величине, представляющей собой
произведение признака на частоту (W =x*f). При
этом неизвестное значение f легко определить
как отношение W на х, то есть f= W/x
W i
x 
Wi

x
где х – отдельные варианты;
W – число вариантов
Данные для расчета средней заработной плат
Фонд
Среднемесячная
заработной заработная плата 1
работника
фирмы,
платы, W
рублей, х
А
1
2
Веста-тур 102000
8500
Омега
129600
7200
Курс
170000
6800
Итого
401600
Фирмы
W/х
3=1/2
12
18
25
55
Тогда размер средней заработной платы одного
работника фирмы составит
Х= 401600 = 7302 рубля
55
.
Рассчитывается, когда индивидуальные
значения признаков представлены
относительными величинами динамики
(цепными), то есть когда требуется
охарактеризовать интенсивность
развития явлений и процессов за
длительный период.
n
x 
n
x
i
1
где n – число значений признака,
П – знак перемножения х
.
x  х1 * х 2 * х3 * ...хn
n
где х - относительные величины динамики
Например: необходимо определить средний темп изменения
численности перевезенных пассажиров железнодорожным
транспортом по Российской Федерации за 4 квартал 2008
года, данные условные.
.
Данные о числе перевезенных пассажиров
Месяцы
Число перевезенных
ОВД
пассажиров, млн. чел.
(цепная)
Октябрь
63
Ноябрь
65
1,032
Декабрь
70
1,077
Х= √1,032*1,077= 1,054*100=105,4%
.
Следовательно, в среднем за месяц
число перевезенных пассажиров
железнодорожным транспортом в
четвертом квартале 2008 года
увеличивалось на 5,4%.
исчисляется из показателей
изменяющихся во времени и
представленных на конкретный момент
времени (дату)
.
x1 / 2  х 2  х 3  ...  хn / 2
x
n 1
где х – значение признака
n – число моментов времени
Например: рассчитать на начало месяца среднюю
величину остатка денежных средств на расчетном счете
(за 1-ое полугодие 2008 года, данные условные)
Данные об остатке денежных средств
.
Дата
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
Величина денежных средств, тыс. руб.
13200
15000
16100
13000
14550
15100
Х= 13200/2+15000+16100+13000+14550+15100/2
6-1
= 14560 тыс. руб.
Таким образом, в среднем остаток денежных
средств на расчетном счете компании на начало
.
месяца в первом полугодии 2008 года составлял
14560 тыс. руб.