Средние величины - liveinternet.ru

Тема 4: «Средние величины»
Вопросы темы:
1. Сущность и значение средних величин
2. Научные принципы и условия расчета средних величин
3. Средняя арифметическая простая и взвешенная
4. Математические свойства средней арифметической
5. Средняя гармоническая; другие виды средних величин
6. Особенности применения средних величин в
экономическом анализе.
Средняя величина (СВ)
выражает то общее, что характерно для
изучаемого явления в конкретных условиях
места и времени.
Назначение СВ состоит в том, чтобы
представить конкретный признак совокупности
(например, возраст студентов II курса) одним
числом, несмотря на количественные различия
значений этого признака внутри совокупности.
Таким образом, средняя величина – это
обобщающая
характеристика
качественно
однородной совокупности однотипных явлений
по
какому-либо
одному
количественно
варьирующему признаку.
В средней величине взаимопогашаются
отклонения значений признака отдельных единиц
совокупности,
обусловленные
действием
случайных факторов, и учитываются изменения,
вызванные действием основных факторов. Это
позволяет СВ отражать типичный уровень
признака и абстрагироваться от индивидуальных
особенностей, присущих отдельным единицам.
Основные условия расчета
и анализа СВ
1) Средние величины должны подсчитываться
только для качественно однородных
совокупностей
2) Для получения полной и разносторонней
характеристики изучаемого явления следует
использовать не отдельные средние, а
систему СВ, поскольку любое явление – это
результат воздействия многих факторов, т.е.
совокупность множества признаков, по
каждому из которых и подсчитывается
средняя величина.
3) В экономическом анализе СВ, как правило,
дополняются отдельными
индивидуальными показателями,
характеризующими развитие явления или
процесса – например, минимальным и
максимальным значением признака. Это
делается для того, чтобы понять, насколько
«типична» данная средняя величина. Ведь
за относительно высокой СВ могут быть
скрыты плохие результаты работы
отдельных предприятий.
4) Необходимо правильно выбрать форму СВ,
верно определить способ ее расчета.
В зависимости от способа расчета и
особенностей экономического анализа
различают следующие виды средних величин:
1) средняя арифметическая
2) средняя гармоническая
3) средняя геометрическая
4) средняя квадратическая
5) средняя хронологическая
6) структурные средние – мода и медиана
Для рассмотрения основных видов средних
величин введем буквенные символы:
х – варьирующий признак
х1 х2 х3 … хn – отдельные значения признака
x – среднее значение признака
n – число единиц совокупности
f – частотá признака (показывает, как часто каждое
значение признака встречается в совокупности)
f1 f2 f3 … fn – частоты отдельных вариантов признака
w = x ∙ f – произведение значений признака на их
частоту.
Σ – знак суммы
Средняя арифметическая
а) простая
 xi x1  x 2  x3  ...  xn
x

n
n
Средняя арифметическая
а) взвешенная
 xifi x1f1  x 2f2  x3 f3  ...  xnfn
x

f1  f2  f3  ...  fn
 fi
Задача № 1
Имеются следующие данные об экспорте
металлорежущих станков по месяцам (в
штуках):
I
II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
122 127 132 125 129 140 112 132 136 139 148 166
Рассчитать среднемесячный показатель экспорта
станков за отчетный год
x
x

n
122  127  132  125  129  140  112  132  136  139  148  166


12
1608

 134 шт.
12
Средняя арифметическая простая –
это
частный
случай
средней
арифметической
взвешенной
и
применяется в тех случаях, когда расчет
осуществляется по несгруппированным
данным (каждый вариант встречается в
совокупности один раз или одинаковое
число раз).
Задача № 2
Имеются следующие условные данные о
поставке товара по пяти заключенным
контрактам:
№№
Цена за 1 шт. в
Количество
штук (f)
контрактов долларах США
(х)
1
35,25
2000
2
35,40
1500
3
35,45
1000
4
35,50
800
5
35,60
700
Итого:
6000
Рассчитать среднюю цену за 1 штуку данного
товара по всем пяти контрактам.
xf

x
f

35,25  2000  35,4 1500  35,45 1000  35,5  800  35,6  700


6000
 35,4 долл.
Средняя
арифметическая
взвешенная
подсчитывается путем деления суммы
взвешенных значений признака на сумму
частот.
Её применяют в тех случаях, когда
варианты
признака
встречаются
в
совокупности неодинаковое число раз, т.е.
имеют различный статистический вес.
В отличие от средней арифметической
простой, величина средней арифметической
взвешенной зависит не только от размера
значений признака, но и от величин
соответствующих им частот. Причем по
своему цифровому значению СВ будет
ближе к вариантам с максимальной
частотой.
Некоторые математические свойства средней
арифметической
1) Сумма отклонений отдельных значений
признака (вариант) от средней
арифметической, взвешенных по
соответствующим частотам (весам), равна
нулю
 (x  x)  0
а) для средней простой:
б) для средней взвешенной:  ( x  x )f  0
2) Если от каждого варианта вычесть или к
каждому варианту прибавить какое-то
постоянное число, то СВ уменьшится или
увеличится на это же число.
3) Если каждый вариант умножить или
разделить на какое-то постоянное
число, то и СВ увеличится или
уменьшится во столько же раз.
4) Если все частоты (статистические веса)
разделить или умножить на какое-то
постоянное число, то значение СВ от
этого не изменится
Эти свойства используют для упрощенного
расчета средней арифметической.
Средняя гармоническая
а) средняя гармоническая простая
n
n
x

1
1
1
1
1


 ... 

xi
x1 x 2 x 3
xn
Средняя гармоническая
а) средняя гармоническая взвешенная
w1  w 2  w 3  ...  w n
 wi
x

wi
w1 w 2 w 3
wn


 ... 

xi
x1
x2
x3
xn
Изменим исходные данные задачи № 2: вместо
показателей количества товаров введем данные о
сумме реализации этих товаров по каждому
заключенному контракту.
№№
Цена за 1 шт. в
Сумма
контрактов долларах США (х) реализации в
долларах (w)
1
35,25
70500
2
35,40
53100
3
35,45
35450
4
35,50
28400
5
35,60
24920
Итого:
212370
Рассчитать среднюю цену за 1 штуку данного
товара по всем пяти контрактам.
212370
 wi
x

 35,4 долл.
w i 70500 53100 35450 28400 24920





xi
35,25
35,4
35,45
35,5
35,6
Выводы:
1) В средней гармонической статистическим
весом являются не прямые частоты
признака, а их произведения на величину
признака: W=x∙f
2) Вместо средней гармонической всегда
можно подсчитать среднюю
арифметическую, предварительно
рассчитав размер частот.
(В задаче № 3 прямой частотой
признака является количество товара,
реализуемого по соответствующим
ценам. Его определяем путем деления
суммы реализации на значения цен по
w
каждому контракту ( ) и по всем
wi
x
заключенным контрактам: 
xi
При выборе формулы средней величины
исходят
из
общего
правила,
что
все
производимые арифметические действия должны
приводить
к
экономически
осмысленному
результату, т.е. чтобы в результате умножения
w
исходных величин (х∙f) или их деления (
)
x
получились вполне реальные, экономически
значимые показатели.
В задаче № 2: х∙f – это сумма реализации;
w
В задаче № 3:
- это количество товара
x
Динамика экспорта
Португалии
Показатель Экспорт
динамики
млн.
долл.
США
Годы
Производные цепные показатели
Абсолю Коэф-нт Темпы
тный
роста
роста
прирост
Кр
Тр
Δу (млн.
долл.)
Коэф-нт
Темп
прироста прироста
Кпр
Кпр (%)
Абсолютное
значение
1%
прироста
А (млн.
дол.)
2002
25536
-
-
-
-
-
-
2003
30714
5178
1,203
120,3
0,203
20,3
255
2004
33023
2309
1,075
107,5
0,075
7,5
307
2005
32137
-886
0,973
97,3
-0,027
-2,7
330
2006
42890
10753
1,335
133,5
0,335
33,5
321
Источник: составлено по данным «Monthly Bulletin of
Statistics». U.N.; N-Y; 2007, № 6, p. 116.
Абсолютный прирост
Δу = уi – yi-1 – цепной показатель
Δy = yi – y0 – базисный показатель
Δy = yn – y1 – показатель прироста за весь
y n  y 1 период
y 
n  1 - средний абсолютный прирост,
где n – число уровней динамического ряда.
Коэффициенты и темпы роста
yi
Kp 
y i1
yi
Kp 
y0
yn
Kp 
y1
Tp  K p  100
- цепной показатель
- базисный показатель
- коэффициент роста за весь
период
- темп роста
Средний коэффициент роста
1) K p  m K1  K 2  K 3 ...  K m ,
где m – число коэффициентов роста
yn
2) K p  n 1 ,
y1
где n – число уровней динамического ряда
Коэффициент и темпы прироста
y i  y i1
Kp 
y i1
yi  y0
Kp 
y0
K пp  K p  1
1) Tпp  K пp  100
2) Т пр  Т р  100
- цепной показатель
- базисный показатель
Абсолютное значение одного
процента
y
A
Tпр
( y i  y i 1 )  y i1 y i1
А

( y i  y i 1 )  100 100
Динамика экспорта
Португалии
Показатель Экспорт
динамики
млн.
долл.
США
Годы
Производные цепные показатели
Абсолю Коэф-нт Темпы
тный
роста
роста
прирост
Кр
Тр
Δу (млн.
долл.)
Коэф-нт
Темп
прироста прироста
Кпр
Кпр (%)
Абсолютное
значение
1%
прироста
А (млн.
дол.)
2002
25536
-
-
-
-
-
-
2003
30714
5178
1,203
120,3
0,203
20,3
255
2004
33023
2309
1,075
107,5
0,075
7,5
307
2005
32137
-886
0,973
97,3
-0,027
-2,7
330
2006
42890
10753
1,335
133,5
0,335
33,5
321
Источник: составлено по данным «Monthly Bulletin of
Statistics». U.N.4 2007, № 6, p. 116.
Абсолютный прирост
Δу = уi – yi-1 – цепной показатель
Δy = yi – y0 – базисный показатель
Δy = yn – y1 – показатель прироста за весь
y n  y 1 период
y 
n  1 - средний абсолютный прирост,
где n – число уровней динамического ряда.
Коэффициенты и темпы роста
yi
Kp 
y i1
yi
Kp 
y0
yn
Kp 
y1
Tp  K p  100
- цепной показатель
- базисный показатель
- коэффициент роста за весь
период
- темп роста
Средний коэффициент роста
1) K p  m K1  K 2  K 3 ...  K m ,
где m – число коэффициентов роста
yn
2) K p  n 1 ,
y1
где n – число уровней динамического ряда
Коэффициент и темпы прироста
y i  y i1
Kp 
y i1
yi  y0
Kp 
y0
K пp  K p  1
1) Tпp  K пp  100
2) Т пр  Т р  100
- цепной показатель
- базисный показатель
Абсолютное значение одного
процента
y
A
Tпр
( y i  y i 1 )  y i1 y i1
А

( y i  y i 1 )  100 100